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数列知识点与技巧总结一、数列的定义与性质1.1 数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数，其中每个数称为该数列的项，通常用下标 n 来表示。
数列可以用通项公式或递推公式来表示。
1.2 数列的基本性质（1）首项：数列中的第一个数称为首项，通常用 a1 表示。
（2）公差：如果数列中的每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个常数称为该数列的公差，通常用 d 表示。
（3）通项公式：通项公式用来表示数列中的第 n 项与 n 之间的关系，通常用 an 表示。
（4）递推公式：递推公式可以根据数列中的前几项来求出后面的项。
通常用 an = an-1 + d 表示。
1.3 常见数列（1）等差数列：相邻两项之间的差等于常数的数列称为等差数列。
通项公式为 an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列：相邻两项之间的比等于常数的数列称为等比数列。
通项公式为 an = a1 * q^(n-1)。
（3）斐波那契数列：这是一个特殊的数列，前两项是 1，以后每一项都等于其前两项的和。
通项公式为 an = an-1 + an-2。
1.4 数列的求和公式（1）等差数列求和：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列求和：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 q 不等于 1。
二、数列的常见问题与解题方法2.1 确定数列类型当遇到一个数列时，首先要确定它的类型，即是等差数列、等比数列还是其他特殊类型的数列。
2.2 确定数列的首项和公差（或公比）确定了数列类型之后，要进一步确定数列的首项和公差（或公比），这样才能利用数列的性质来解题。
2.3 求解数列的通项公式对于已知数列的前几项，可以利用数列的性质来求解其通项公式，这样可以方便计算出数列中任意一项的值。
2.4 判断数列的性质有时需要判断一个给定的数列是不是等差数列或等比数列，可以利用数列的性质进行判断。
数列方法大全一、求通项公式各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，1n n a a n +=+，求n a 。
变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例3:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q，得：qq a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中nnn qa b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
数列题型及解题方法题型1：等差数列解题方法：首先确定数列的首项和公差，然后使用递推公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。
题型2：等比数列解题方法：首先确定数列的首项和公比，然后使用递推公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。
题型3：斐波那契数列解题方法：斐波那契数列是指后一项等于前两项之和的数列，即an = an-1 + an-2。
根据题目给出的条件，可以使用递归或循环的方式计算斐波那契数列的第n项。
题型4：数列求和解题方法：对于等差数列和等比数列，可以使用求和公式直接计算数列的和。
等差数列的和用Sn = (n/2)(a1 + an)表示，等比数列的和用Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)表示。
根据题目给出的条件，代入公式计算即可得到所求的和。
题型5：数列拓展解题方法：有时候题目需要在基本的数列模型上进行拓展，可以根据数列的特点和题目的要求进行分析和解答。
可以使用递推公式或者递推关系式进行推导，并根据题目给出的条件计算所求的项或和。
题型6：递推关系式解题方法：有时候数列无法使用基本的递推公式进行求解，需要根据数列的特点建立递推关系式。
递推关系式是指数列的每一项与前面的若干项之间存在某种关系，通过这个关系可以递推求解数列的项或和。
根据题目给出的条件，建立递推关系式，并根据初始条件求解所求的项或和。
数列解题方法与技巧
解题方法和技巧有很多种，以下是一些常见的数列解题方法和技巧：
1. 找规律：观察数列中的数字是否有一定的规律或者模式，例如等差数列、等比数列等。
通过找到规律可以推断出数列中的其他数字。
2. 列方程：将数列中的数字用变量表示，然后列出方程，通过求解方程来确定数列中的其他数字。
3. 递推关系：如果数列中的第n个数字可以通过前面的数字推断出来，可以利用递推关系来求解数列。
4. 数列求和公式：如果要求解数列的和，可以利用数列求和公式来计算。
5. 辅助数列：有些数列可以通过构造辅助数列来求解，例如斐波那契数列可以通过构造一个新的辅助数列来求解。
6. 数学工具：利用一些数学工具和技巧，例如数学归纳法、二项式定理等来求解数列。
7. 模拟计算：有时候可以通过模拟计算来求解数列，即通过计算数列中的前几个数字，找到数列中的规律，然后根据规律来计算其他数字。
8. 看题意：有时候可以根据题目中的提示和要求来判断数列的性质和规律，然后进一步求解。
以上是一些常用的数列解题方法和技巧，但具体的解题方法和技
巧还需要根据具体的数列问题来确定。
在解题过程中，还需注意审题、理清思路、细心计算等问题。
数列解题方法总结数列是数学中一个重要的概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
解决数列问题是数学学习中的一个重要内容，也是数学建模和应用问题中常常遇到的情况。
本文将总结一些常见的数列解题方法，并且展开讨论它们的应用。
一、等差数列的解题方法：等差数列是最常见的一类数列，它的特点是任意两个相邻的项之间的差值都相等。
解决等差数列问题的方法非常简单，可以利用等差数列的通项公式来求解。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
应用等差数列的解题方法可以解决一些简单的数学问题，如求和、确定项数等。
二、等比数列的解题方法：等比数列是一种特殊的数列，它的特点是任意两个相邻的项之间的比值都相等。
解决等比数列问题的方法也比较简单，可以利用等比数列的通项公式来求解。
通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
应用等比数列的解题方法可以解决一些和增长、衰减、利率等有关的问题。
三、斐波那契数列的解题方法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的特点是每一项都是前两项的和。
解决斐波那契数列问题的方法相对复杂一些，可以利用递推关系式来求解。
递推关系式为：an = an-1 + an-2，其中an表示第n项。
应用斐波那契数列的解题方法可以解决一些和排列组合、递归、动态规划等有关的问题。
四、其他数列的解题方法：除了上述三种常见的数列，还有一些其他类型的数列，如等差等差数列、等比等比数列、二次数列等等。
解决这些数列问题的方法也各不相同，需要根据具体情况来选择。
可以利用数列的性质、递推关系、通项公式等方法来解决问题。
总之，解决数列问题需要灵活运用数学知识和方法，理解数列的特点和规律，并且应用数列的解题方法来进行推理和计算。
通过不断的练习和探索，可以提高解决数列问题的能力，培养数学思维和解决实际问题的能力。
高中物理数学高中数列10种解题技巧
当涉及到高中物理和数学中的数列问题时，以下是10种解题技巧：
确定数列类型：首先，确定数列是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
这将有助于你选择正确的解题方法。
寻找通项公式：对于等差数列和等比数列，寻找通项公式是解题的关键。
通过观察数列中的规律，尝试找到递推关系式，从而得到通项公式。
求和公式：对于需要求和的数列，使用相应的求和公式可以简化计算过程。
例如，等差数列的求和公式是Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，d表示公差。
利用递推关系求解：对于一些复杂的数列问题，可以利用递推关系式逐步求解。
通过已知的前几项，推导出后续项的值。
利用数列性质：数列有许多性质和特点，例如对称性、周期性等。
利用这些性质可以简化问题，找到解题的突破口。
利用数列图像：将数列表示为图像，有时可以更直观地理解数列的规律。
通过观察图像，可以得到一些有用的信息。
利用数列的性质进行变形：有时，对数列进行一些变形可以使问题更容易解决。
例如，将等差数列转化为等比数列，或者将复杂的数列转化为简单的数列。
利用数列的对称性：如果数列具有对称性，可以利用对称性来简化问题。
例如，利用等差数列的对称性可以减少计算量。
利用数列的周期性：如果数列具有周期性，可以利用周期性来简化问题。
通过观察周期内的规律，可以推断出整个数列的性质。
多角度思考：对于复杂的数列问题，尝试从不同的角度思考，采用不同的解题方法。
有时，换一种思路可能会带来新的启示。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
数学必备技巧解决初中数列题的常用方法数列作为初中数学中的重要内容，经常在考试中出现。
解决数列题需要一些技巧和方法，本文将介绍几种常用的解题方法，帮助初中生们更好地应对数列题。
一、等差数列的解题方法等差数列是最常见的数列类型之一。
解决等差数列的题目，我们可以通过以下几种方法来进行推导和计算。
1. 特定项求解法：对于等差数列an=a1+(n-1)d，已知首项a1和公差d，如果要求第n项an的值，可以直接代入公式进行计算。
2. 公式法：等差数列有一个通用的求和公式Sn=n/2(a1+an)，利用这个公式可以快速求解等差数列的前n项和。
3. 差项法：对于等差数列，相邻两项之间的差值始终是一个固定的数字，即公差d。
因此，如果已知相邻两项的差值，可以通过差项来推导出其他项的值。
二、等比数列的解题方法等比数列也是常见的数列类型之一。
解决等比数列的题目，我们可以通过以下几种方法来进行推导和计算。
1. 递推法：对于等比数列，每一项都是前一项乘以相同的比率q。
因此，可以通过递推的方式求得第n项的值：an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 公式法：等比数列也有一个通用的求和公式Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
利用这个公式可以快速求解等比数列的前n项和。
3. 比值法：对于等比数列，相邻两项之间的比值始终是一个固定的数字，即公比q。
如果已知相邻两项的比值，可以通过比值来推导出其他项的值。
三、特殊数列的解题方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列类型，如等差数列与等比数列的混合、递推式中包含二次项等。
针对这些特殊数列的题目，我们可以采用以下方法来解题。
1. 混合法：对于混合数列，可以将其分解为等差和等比两个部分进行求解，再将结果合并。
2. 矩阵法：对于递推式中包含二次项的数列，可以使用矩阵的方法来求解。
将数列的递推式表示成矩阵形式，然后通过求矩阵的幂得到数列的通项式。
3. 倒推法：有时候，我们可以从题目给出的末项或者求和结果出发，逆向推导数列的各项的值。
数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。
下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。
下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。
4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。
数列解题方法技巧汇总
1. 找规律：观察数列的前几项并找出它们之间的规律，以此推断出后面的项。
2. 递推法：通过前面的项推导出后面的项，可以采用递推关系式或递推公式来计算。
3. 通项公式：数列中任意一项可以通过通项公式来计算，这要求我们找出数列中的一些特征，例如等差、等比等等。
4. 数列套路：掌握一些数列的套路，例如等差数列的求和公式、等比数列的求和公式、等比数列求通项公式等等。
5. 折线法：将数列的前几项按照一定的规律连接起来，形成一条折线，然后通过这条折线来推导出数列中的规律。
6. 矩阵法：将数列转化成矩阵形式，然后通过矩阵的乘法来计算数列中的每一项。
7. 生成函数法：将数列中的每一项看成某个函数的系数，然后将整个数列转化成一个生成函数，通过对生成函数的展开来求解数列中的每一项。
8. 等差数列和等比数列的转换：将等比数列通过取对数或对数值相乘改为等差
数列，从而可以采用等差数列的求和公式求解。
9. 反向思维：将给出的数列倒序排列，倒推数列的规律。
10. 郝氏减法：将数列中位置相邻的两项作差，将结果构成一个新的数列，这个新的数列往往具有更为明显的规律，容易推算。
数列常用解题方法归纳总结一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn ab n n n ⇔=+0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。
a d a a S n n n n 110000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133== 5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
{}如：是公差为的等差数列，求a d a a n k k k n111+=∑ 解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠∴11111111a a d a a k k k nk k k n+=+=∑∑=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……［练习］ 求和：…………111211231123+++++++++++n（…………，）a S n n n ===-+2113、错位相减法：{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。
S qS S q b n n n n -如：……S x x x nxn n =+++++<>-12341231()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341()<>-<>-=++++--121121：……x S x x xnx n n n ()()x S x x nx xnnn≠=----11112时，()x S n n n n ==++++=+112312时，……4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪⎭⎪--121121…………相加()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=2211212313414（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++=1111111112222222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414=+++=12111312）例1设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }前8项的和为（ ）A ．128B ．80C ．64D ．56 （福建卷第3题）略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的和为64，故应选C ．例2 已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64B ．81C ．128D ．243 （全国Ⅰ卷第7题）答案：A ．例3 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．186 （北京卷第7题）略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项和等于90，故答案是C ．例4 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 （错误!未找到引用源。
第4题） 略解：∵422412,3S S S d d --===,故选B. 例5在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn +++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则ab = ．（安徽卷第15题）答案：－1．例6 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++（江西卷第5题） 答案：A ．例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________．（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口．略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相加，得()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦()()111122n n n n n -+=++=+，故应填(1)2n n ++1． 例8 若(x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 (重庆卷第10题) 答案：B ．使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．例9 已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2n a，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. （福建卷第20题） 略解：（Ⅰ）由已知，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2+…+2+1=2n -1．∵. b n •b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n+1-1)2= -2n ＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 21+n ．对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：∵ b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n =2n +1·b n +1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n （b n +1-2n +1）=2n （b n +2n -2n +1）=2n （b n -2n ）=…=2n （b 1-2）=-2n <0，∴ b n -b n +2<b 2n +1.例10 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（全国Ⅰ卷第19题）略解：（Ⅰ）1n n b b +-=1122n n n n a a +--=122n n na a +-=22nn =1，则{}n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．（Ⅱ）01211222(1)22n n n S n n --=+++-+，12121222(1)22n nn S n n -=+++-+．两式相减，得01121222221n n n n n S n n -=----=-+=(1)21n n -+．对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)求和：12111nS S S +++．（江西卷第19题）略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有22233(6)64,(93)960.S b d q S b d q =+=⎧⎨=+=⎩解之，得2,8;d q =⎧⎨=⎩或6,540.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去，为什么？)故132(1)21,8n n na n nb -=+-=+=．（Ⅱ）35(21)(2)n S n n n =++++=+，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+111111(1232435=-+-+-+11)2n n +-+1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++． “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．例12 设数列{}n a 的前n 项和为22nn n S a =-，（Ⅰ）求14,a a ；（Ⅱ）证明： {}12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式．（四川卷第21题）略解：（Ⅰ）∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，11122n n n a S +++=+112n n n a S ++=++得，112n n n a S ++=+ ①∴222122226,8a S S =+=+==，3332328216,24a S S =+=+==，443240a S =+=．（Ⅱ）由题设和①式知，()()11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）()()()21112211222222n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+()112n n -=+⋅此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．例13 数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos)4sin ,1,2,3,,22n n n n a a n ππ+=++=（I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=+++，242k k T a a a =+++， 2(2kk kS W k T =∈+)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．（湖南卷第20题）略解：（I ）22311(1cos )4sin 44,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )4sin 24,a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *-∈=时，22212121(21)(21)[1cos]4sin 4,22k k k k k a a a ππ+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当2()n k k N *∈=时，22222222(1cos )4sin 2,22k k k k k a a a ππ+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为22(1),21(),2,2().n n n n k k N a n k k N **⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩（II ）由（I ）知，1321k k S a a a -=+++=044(1)2(1),k k k +++-=-242k kT a a a =+++2122222,k k +++=-12(1).22k k k k S k k W T --==+ 于是，10,W =21,W =33,2W =43,2W =55,4W =61516W =. 下面证明:当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，11(1)(1)(3)0,222k k k k kk k k k k k W W +-+---=-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时，1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a n =)(n f 来表示，就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。
