数值分析实验报告2——Runge现象

数值分析实验报告数值分析实验报告姓名：张献鹏学号：173511038专业：冶金工程班级：重冶二班目录1拉格朗日插值 (1)1.1问题背景 (1)1.2数学模型 (1)1.3计算方法 (1)1.4数值分析 (2)2复化辛普森求积公式 (2)2.1问题背景 (2)2.2数学模型 (3)2.3计算方法 (3)2.4数值分析 (5)3矩阵的LU分解 (6)3.1问题背景 (6)3.2数学模型 (6)3.2.1理论基础 (6)3.2.2实例 (7)3.3计算方法 (7)3.4小组元的误差 (8)4二分法求方程的根 (9)4.1问题背景 (9)4.2数学模型 (9)4.3计算方法 (9)4.4二分法的收敛性 (11)5雅可比迭代求解方程组 (11)5.1问题背景 (11)5.2数学模型 (11)5.2.1理论基础 (11)5.2.2实例 (12)5.3计算方法 (12)5.4收敛性分析 (13)6Romberg求积法 (14)6.1问题背景 (14)6.2数学模型： (14)6.2.1理论基础 (14)6.2.2实例 (14)6.3计算方法 (15)6.4误差分析 (16)7幂法 (16)7.1问题背景 (16)7.2数学模型 (16)7.2.1理论基础 (16)7.2.2实例 (17)7.3计算方法 (17)7.4误差分析 (18)8改进欧拉法 (18)8.1问题背景 (18)8.2数学模型 (19)8.2.1理论基础 (19)8.2.2实例 (19)8.3数学模型 (19)8.4误差分析 (21)1 拉格朗日插值1.1 问题背景对于函数211)(x x f +=,55≤≤-x 求拉格朗日插值。

10=n ，把)(x f 和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较，观察数值积分中的Lagrange 插值。

1.2 数学模型取等距差值节点=-5+/n ，=0，1，…..，n ，构造n 次lagrange 插值多项式：当n =10时，十次插值多项式L 10(x )以及函数f (x )的图像可以由Matlab 画出。

数值分析实验报告（02）一、实验目的通过上机绘制Runge 函数图像，理解高次插值的病态性质。

二、实验内容在区间[-1,1]上分别取n=10,n=20用两组等距节点对龙格(Runge)函数21()125f x x =+作多项式插值，对每个n 值分别画出()f x 和插值函数的图形。

三、编程思路（相关背景知识、算法步骤、流程图、伪代码）四、程序代码（Matlab 或C 语言的程序代码）function yt=Untitled8(x,y,xt)%UNTITLED5 ´Ë´¦ÏÔʾÓйش˺¯ÊýµÄÕªÒª% ´Ë´¦ÏÔʾÏêϸ˵Ã÷n=length(x);ny=length(y);if n~=nyerror('²åÖµ½ÚµãxÓ뺯ÊýÖµy²»Ò»ÖÂ');endm=length(xt);yt=zeros(1,m);for k=1:nlk=ones(1,m);for j=1:nif j~=klk=lk.*(xt-x(j))/(x(k)-x(j));endend ;yt=yt+y(k)*lk;endn=input('n=');x=linspace(-1,1,n);y=1./(1+25.*x.^2);xf=linspace(-1,1,100);yf=1./(1+25.*xf.^2)xl=xf;yl=Untitled8(x,y,xf);plot(xf,yf,'-b',xl,yl,'-r')五、数值结果及分析（数值运行结果及对结果的分析）当n=10时当n=20六、实验体会（计算中出现的问题，解决方法，实验体会）出现符号错误，代码函数变量不明重新输入，查询错误，找到并改正编码需要认真仔细，一定要头脑清晰，避免出现一些低级错误。

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

试验2.1 多项式插值的振荡现象实验目的：观察多项式插值的振荡现象，了解多项式的次数与逼近效果的关系。

实验内容：问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。

Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上的函数225x11)x (+=f ，考虑区间[-1，1]上的一个等距划分，分点为n2i 1x i +-=，i=0，1，2，…，n则拉格朗日插值多项式为：)x (l 25x11)x (Ln i ni 2i∑=+=，其中的)x (l i ，i=0，1，2，…，n 是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：1、选择不断增大的分点数目n=2，3，………，画出原函数)x (f 及插值多项式函数)x (Ln 在[-1，1]上的图像，比较并分析试验结果。

2、选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数4()1x h x x=+，()arctan g x x =，重复上述的实验看其结果如何。

实验步骤及结果分析：1、选择不断增大的分点数目n=2，3，4，5，6，7，8，9，10做)x (f 的拉格朗日插值多项式)x (Ln ，并与原函数值做比较，如下图所示。

观察图像可知：n=2,3时插值函数和原函数差别很大，n=4，5，6时插值函数与原函数的逼近程度相对较好，继续增加插值次数n ，插值函数在插值区域的中间部分收敛，而在这区间外是发散的，此外，n=7,9时在插值中间区域逼近效果不好。

因此，适当提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数太高反而产生相反的效果。

2、选择其他的函数进行插值。

原函数4()1x h x x=+，区间[-5，5]，插值结果如下图：观察图像可知：低次插值时，插值效果不好。

n=7,8,9,10时，在区间[-2，2]，插值函数与原函数逼近程度好，但在区间外插值函数发散。

数值分析实验报告（四）题目：Runge现象的产生和克服学院：机电工程学院（二专业）专业：机械设计制造及其自动化班级：1008108班姓名：***学号：**********号Runge现象的产生和克服摘要：对于多项式插值运算，随着插值阶数的逐渐增多，如果带入离散点过于密集，使得定义域中的“边缘区域”，没有有效的点，将导致插值函数的边缘区域大幅度的偏离函数的真值，该现象称之为“Runge现象”。

0 前言（目的与意义）：了解Runge现象，体会插值运算的不准确性，以及其差值带来的误差甚至是错误。

1 数学背景：插值运算的误差公式：|w n (x)||R n (x)|<M n+1(n+1)!M n+1=max{f(n+1)(x i)}于是，如果函数的n+1阶导数一旦很大，则会出现函数的误差很大的情况。

2 程序及代码：（1）lagrange多项式插值函数syms f x p dp lx L;f=1/(1+25*x^2);N=input('请输入插值节点数N=');xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);syms x;p=p*(x-xx(i));enddp=diff(p);for j=1:(N+1)x=xx(j);k=eval(dp);syms x;lx=p/((x-xx(j))*k);L=L+lx*ff(j);endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96];for i=1:length(aa)x=aa(i);S(i)=eval(L);fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e)ezplot(f,[-1,1])hold onezplot(L,[-1,1])hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off（2）分段线性插值函数syms f x p lx;f=1/(1+25*x^2);N=input('请输入插值节点数N=');xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);endsyms xfor i=1:Nfor j=1:(N+1)if j==ilx(i,j)=(x-xx(i+1))/(xx(i)-xx(i+1)); else if j==i+1lx(i,j)=(x-xx(i))/(xx(i+1)-xx(i)); elselx(i,j)=0;endendendendp=lx*ff';aa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96];for i=1:length(aa)x=aa(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendS(i)=eval(p(j-1));fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e)ezplot(f,[-1,1])hold onxxx=(-1:0.01:1);for i=1:length(xxx)x=xxx(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendSS(i)=eval(p(j-1));endplot(xxx,SS,'r')hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off（3）：三转角插值法函数syms f x df s s1 s2 s3 s4;f=1/(1+25*x^2);df=diff(f);N=input('请输入插值节点数N=');h=2/N;xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);dff(i)=eval(df);endsyms xfor i=1:Ns1=(x-xx(i+1))^2*(h+2*(x-xx(i)))*ff(i)/h^3; s2=(x-xx(i))^2*(h+2*(xx(i+1)-x))*ff(i+1)/h^3; s3=(x-xx(i+1))^2*(x-xx(i))*dff(i)/h^2;s4=(x-xx(i))^2*(x-xx(i+1))*dff(i+1)/h^2;s(i)=s1+s2+s3+s4;endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96]; for i=1:length(aa)x=aa(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendS(i)=eval(s(j-1));fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e) ezplot(f,[-1,1])hold onxxx=(-1:0.01:1);for i=1:length(xxx)x=xxx(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendSS(i)=eval(s(j-1));endplot(xxx,SS,'r')hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off（4）.三弯矩插值法函数：syms f x ddf s;f=1/(1+25*x^2);ddf=diff(diff(f));N=input('请输入插值节点数N=');h=2/N;xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);ddff(i)=eval(ddf);endsyms xfor i=1:NA=(ff(i+1)-ff(i))/h-h*(ddff(i+1)-ddff(i))/6;B=ff(i)-h^2*ddff(i)/6;s(i)=(xx(i+1)-x)^3*ddff(i)/(6*h)+(x-xx(i))^3*ddff(i+1)/(6*h)+A*(x-xx(i))+B; endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96];for i=1:length(aa)x=aa(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendS(i)=eval(s(j-1));fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e)ezplot(f,[-1,1])hold onxxx=(-1:0.01:1);for i=1:length(xxx)x=xxx(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendSS(i)=eval(s(j-1));endplot(xxx,SS,'r')hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off3 总结与评价：函数的Runge现象可以通过三转角插值和三弯矩插值来解决，而且对于三转角和三弯矩插值来说，带入的数据越多，其插值效果越好4 实验结果：图1：观察Runge现象图2：分段线性插值图3：三转角插值：图4：三弯矩插值：。

1. 对Runge 函数22511)(x x R +=用在区间[-1, 1]下列条件作插值逼近，并和)(x R 的图像进行比较。

（1） 用等距节点ih x i +-=1，h=0.2, 绘出它的10次Newton 插值多项式的图像。

（2） 用节点)2212cos(1π++-=i x i (i=0,1,…,10)，绘出它的10次Newton 插值多项式的图像。

（3） 用等距节点ih x i +-=1，h=0.2, 绘出它的分段线性插值多项式的图像。

（4） 用等距节点ih x i +-=1，h=0.2, 绘出它的三次自然样条线性插值多项式的图像。

解：Newton 插值曲线与原曲线比较x 轴y 轴当x 在中间取值范围时，Newton 插值曲线与原曲线比较接近，但是当x 在两端时，Newton 插值曲线与原曲线相差越来越大，出现了Runge 现象。

插值余项∏=-=ni in n x x x x x x f x R 010)(],,,,[)( .由插值多项式的唯一性知)()(x N x L n n =，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即∏∏==+∈-=-+=-=ni i n ni i n n n b a x x x x x f x x n f x N x f x R 000)1(],[),(],,,[)()!1()()()()(ξξ 由此有)!1()(],,,[)1(0+=+n f x x x f n n ξ .牛顿前插公式为002000!)1()1(!2)1()(f n n t t t f t t f t f th x N nn ∆+--++∆-+∆+=+ .其余项为),(),()!1()()1()()()(010n n n n x x f h n n t t t th x N x f x R ∈+--=+-=+ξξ牛顿后插公式为n nn n n n n f n n t t t f t t f t f th x N ∇-++++∇++∇+=+!)1()1(!2)1()(2 . 其余项为),(),()!1()()1()()()(0)1(1n n n n n n x x f h n n t t t th x N x f x R ∈+++=+-=++ξξLagrange 插值曲线与原曲线比较x 轴y 轴在这里由于x 不是等距节点，Lagrange 插值曲线与原曲线比较接近，没有出现Runge 现象。

《数值分析》实验报告实验序号：实验五 实验名称: 分段线性插值法1、 实验目的：随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge 现象）。

为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。

2、 实验内容：求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x )，用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。

设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10，求一个插值函数)(x ϕ，满足以下条件：（1）),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ; （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。

对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=x x x f 。

在区间[]11-，上画出f (x )和分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。

1. 分段线性插值的算法思想：分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ，然后再作它们的线性组合。

分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。

插值基函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(111111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l 设在节点a ≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L （x ）满足：（1） L(x)∈C[a,b]（2） L(x[i]=y[i])（3） L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性插值函数￠（x ）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。

⾼等数值分析插值程序题Runge现象插值程序题1.对Runge函数RR(xx)=1/(1+25xx2)在区间[-1,1]做下列插值逼近，并和RR(xx)的图像进⾏⽐较，并对结果进⾏分析。

（1）等距节点xx ii=?1+ii?,?=0.1,0≤?≤20,20次netown插值多项式图像；（2）节点xx ii=cos?2ii+142ππ?,(i=0,1,2,…,20),20次Lagrange插值多项式的图像；（3）等距节点xx ii=?1+ii?,?=0.1,0≤?≤20,20次分段线性插值函数图像；（4）等距节点xx ii=? 1+ii?,?=0.1,0≤?≤20,20次三次样条插值函数的图像。

解：（1）20次等距节点netown插值多项式和R(xx)的图像⽐较图如下所⽰（求值点之间的间隔为0.0001，以下相同）：从图像可以看出，在插值区间中部netown插值多项式与原Runge函数符合得较好；但在插值区间的两端两者的差别很⼤（netown在区间[-1,-0.9]的最⼩值为-59.7819），此时的插值余项不满⾜要求，因此⽤等距20次netown插值多项式来对Runge 函数在区间[-1,1]做插值逼近并不合适，会出现明显的Runge现象。

（2）20次⾮等距节点Lagrange插值多项式（切⽐雪夫多项式零点插值）和R(xx)的图像⽐较图如上所⽰。

此时插值的节点并不等距，插值节点两边密，中间疏，虽然此时Lagrange插值多项式也是20次，但相⽐等距netown插值，⾮等距Lagrange插值曲线与原函数吻合得很好，没有出现明显的Runge现象，两端⽐较密的插值节点较好地抑制了Runge现象。

为了⽐较节点选取对⾼次插值结果的影响，⽤20次等距Lagrange插值也原函数在区间[-1,1]进⾏了插值，其与原函数图像⽐较如下：其图像与（1）中netown插值⼏乎⼀样，因此对⾼次插值多项式，插值时适当的选取插值节点，能有效的抑制Runge现象。

实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。

本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。

前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。

数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。

在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton 法。

对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。

重复运行计算，直至满足精度为止。

这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。

当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。

另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。

程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。

其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。

二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。