2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：第2部分专题1第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用含答案

参考答案与解析专题1集合与常用逻辑用语1．解析：选D。

由题意得，A＝{x｜1＜x＜3},B＝错误!，则A∩B ＝错误!。

选D。

2．解析：选C.由已知可得B＝{x｜（x＋1)（x－2）＜0，x∈Z｝＝｛x｜－1＜x＜2，x∈Z}＝｛0，1｝,所以A∪B＝{0，1,2，3｝,故选C.3．解析：选D。

集合S＝（－∞，2］∪[3,＋∞)，结合数轴,可得S∩T＝(0，2］∪［3，＋∞)．4．解析:选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0,＋∞）．由x2－1＜0,得－1＜x＜1,故B＝（－1，1）．所以A∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C.5．解析:选D。

根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析:选D.取a＝－b≠0,则|a｜＝｜b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0,｜a－b|＝｜2a|≠0,所以|a＋b|≠|a－b｜，故由｜a｜＝｜b｜推不出|a＋b|＝|a－b｜.由|a＋b｜＝｜a－b|, 得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝｜b｜, 故由|a＋b|＝｜a－b|推不出｜a｜＝|b|.故“|a｜＝｜b|"是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．故选D.专题2函数1．解析：选C。

对于选项A，考虑幂函数y＝x c，因为c＞0，所以y＝x c为增函数，又a＞b＞1，所以a c＞b c，A错．对于选项B，ab c＜ba c⇔错误!错误!＜错误!，又y＝错误!错误!是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.2．解析：选B.因为f（x）＋f（－x)＝2，y＝错误!＝1＋错误!，所以函数y＝f(x)与y＝错误!的图像都关于点（0,1）对称,所以错误!x i=0，错误! y i＝错误!×2＝m，故选B。

第1讲函数与方程、数形结合思想一函数与方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决，方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究,以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系(2016·高考山东卷）已知双曲线E：错误!－错误!＝1（a＞0,b ＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB｜＝3｜BC｜,则E的离心率是________．【解析】如图，由题意知|AB｜＝错误!，｜BC｜＝2c.又2|AB|＝3|BC|，所以2×错误!＝3×2c，即2b2＝3ac,所以2（c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去）．【答案】2［名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b,c的关系式,求值试题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式．［变式训练]1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ）A．100 B．99C．98 D．97C ［解析] 设等差数列{a n}的公差为d,因为｛a n｝为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3。

又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5,所以d ＝1，所以a100＝a5＋95d＝98.（2016·高考全国卷丙）设函数f（x）＝ln x－x＋1.(1）讨论f（x)的单调性;（2)证明当x∈（1，＋∞）时，1＜错误!＜x；（3)设c＞1，证明当x∈（0，1)时,1＋（c－1）x＞c x.【解】（1）由题设，f（x）的定义域为（0，＋∞)，f′(x)＝错误!－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当0＜x＜1时，f′（x)＞0，f（x)单调递增;当x＞1时，f′(x)＜0，f（x)单调递减．（2）证明:由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值,最大值为f（1)＝0。

第1讲 坐标系与参数方程极坐标方程及其应用 共研典例 类题通法1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．极坐标与直角坐标的互化方法(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．[题组通关]1．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．(2016·唐山模拟)在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．[解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．3．(1)(2015·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．[解] (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．参数方程及其应用 共研典例 类题通法几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α.其中α是参数．当圆心为(0，0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.其中α是参数．(2)椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ.其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.其中φ是参数． (3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α其中t 为参数．(2016·长沙模拟)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． 【解】 (1)曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[题组通关]1．(2016·呼和浩特模拟)过点P (－1，0)作倾斜角为α的直线，与曲线x 23＋y 22＝1相交于M ，N 两点．(1)写出直线MN 的参数方程； (2)求|PM |·|PN |的最小值．[解] (1)因为直线MN 过点P (－1，0)，且倾斜角为α，所以直线MN 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(2)将直线MN 的参数方程代入曲线x 23＋y 22＝1中得，2(－1＋t cos α)2＋3(t sin α)2＝6，整理得， (3－cos 2α)t 2－4cos α·t －4＝0，Δ＝16 cos 2α－4×(－4)×(3－cos 2α)＝48＞0.设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝43－cos 2α，所以当cos α＝0时，|PM |·|PN |取得最小值43.2．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)， P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．3．(2016·洛阳统考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． [解] (1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ， 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入上面方程， 得x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.(2)|MC 2|min －1≤|MN |≤|MC 2|max ＋1.|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋9sin 2φ＝7cos 2φ－8cos φ＋10，当cos φ＝－1时，|MC 2|2max ＝25，|MC 2|max ＝5；当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝547，|MC 2|min ＝3427. 所以3427－1≤|MN |≤5＋1，即|MN |的取值范围是⎣⎡⎦⎤3427－1，6.极坐标方程与参数方程的综合应用共研典例 类题通法对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解，这样思路会更加清晰．(2016·河南六市联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 【解】 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． [题组通关]1．(2016·郑州市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t y ＝12t(t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中， 得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0， 所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2.2．(2016·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin(θ－π4)＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.3．(2016·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin α，y ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)．(1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．[解] (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2 ＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ， 所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2，3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1， 得x 2＋x －1－t ＝0， 由Δ＝1＋4(1＋t )＝0， 解得t ＝－54.综上可求得t 的取值范围是－54≤t ≤5.课时作业1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos αy ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos(θ－3π4)(a >0)．(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．[解] (1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4(舍去)，故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为(2，π4)．(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)． 由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.2．(2016·山西高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)C 1：ρsin(θ＋π6)＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝⎛⎭⎫32，12，所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.3．(2016·贵阳市监测考试)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．[解] (1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |. (2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3、⎝⎛⎭⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.4．将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求|AC |－|BD |.[解] (1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝12t (t 为参数)． (2)将⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝12t 代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435， 且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2，又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 5．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－3t 2，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． [解] (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ. 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ， 又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．6．(2016·兰州诊断考试)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝ 3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)设圆上任意一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4， 整理得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2－2x －2y －1＝0.将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2－2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0，设t 1，t 2为该方程的两根，所以t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8＋4sin 2α，因为α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， 所以2α∈⎣⎡⎭⎫0，π2， 所以|AB |∈[22，23)．。

一、考前学会7种审题方法错误!在高考中，不少同学遇到较为综合的数学试题不会审题，破解题目无从下手，找不到该题的切入点；另有一些同学虽然对该题解答有一定的思路但也因解答不规范出现“会而不对,对而不全"．如何审题、如何解答规范已成为制约考生的两大难点，针对这些问题本文特聘全国著名专家名师导学，教你活用七种审题方法及规范解答模板，使解答数学问题不再难．一审条件—————-—---——-——-——————-—-条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．(满分12分)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求错误!；（2）若AD＝1，DC＝错误!，求BD和AC的长．［审题路线图］（1)（2）［规范解答] （1）S△ABD＝12AB·AD sin∠BAD,S△ADC＝12AC·AD sin∠CAD.(1分)因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD,所以AB＝2AC.（4分）由正弦定理,得错误!＝错误!＝错误!。

(6分）（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝错误!。

（8分）在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos∠ADC.(10分)故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.（12分）解三角形的步骤第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步:求结果．第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系,然后进行恒等变形．第五步:反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．[跟踪训练]1．(2016·太原模拟)已知a,b，c分别为锐角△ABC内角A,B,C 的对边,且错误!a＝2csin A.(1)求角C；(2）若c＝错误!，且△ABC的面积为错误!，求a＋b的值．［解] （1）由错误!a＝2c sin A及正弦定理得，3sin A＝2sin C sin A,因为sin A≠0，所以sin C＝错误!，因为△ABC是锐角三角形，所以C＝错误!.(2)因为C＝错误!，△ABC的面积为错误!,所以错误!ab sin 错误!＝错误!，即ab＝6。

课时作业 [A 组]1．(2016·张掖第一次诊断考试)设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{0}C ．{－1，0}D ．{0，1}C [解析] 依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1，0}，选C.2．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a ＜1bB ．a 2＞b 2C.ac 2＋1＞bc 2＋1D ．a |c |＞b |c |C [解析] 取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D ，故选C.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1A [解析] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1. 4．(2016·河北三市第二次联考)已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )A.34B.35C.45D.710C [解析] 所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45. 5．(2016·合肥第一次教学质量检测)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π6D [解析] 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.6．当a ＞0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )B [解析] 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，因为a ＞0，所以x ＝－2a ＜0，故排除A ，C ；当x 趋向于－∞时，e x趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.7．(2016·湖南省东部六校联考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为( )A ．4B ．8C ．10D ．12B [解析] 第一次循环：s ＝2，i ＝4，k ＝2；第二次循环：s ＝4，i ＝6，k ＝3；第三次循环：s ＝8，i ＝8，k ＝4，当i ＝8时不满足条件，退出循环，故输出s 的值为8.8．(2016·广州五校联考)设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cA [解析] 因为a ＝log 123＜log 122＝－1，0＜b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝213＞20＝1，所以a ＜b ＜c .9．(2016·重庆第一次适应性测试)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n （n ＋3）2 C ．n (n ＋1)D.n （3n ＋1）2C [解析] 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，选C.10．(2016·唐山统一考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6π＋4B ．π＋4 C.5π2D ．2πD [解析] 由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该几何体的体积为π×12×1＋12π×12×2＝2π，故选D.11．方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( ) A ．1 B ．2C ．0D ．不确定B [解析] 方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．12．(2016·广州五校联考)已知Rt△AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA→|OA →|，b ＝OB→|OB →|，OP →＝a ＋2b ，则PA →·PB →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [解析] 以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系． 设A (m ，0)，B (0，n )，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，OP →＝a ＋2b ＝(1，2)， PA →＝(m －1，－2)，PB →＝(－1，n －2)，Rt△AOB 的面积为1，即有mn ＝2，则PA →·PB →＝1－m －2(n －2)＝5－(m ＋2n )≤5－22mn ＝5－2×2＝1，当且仅当m ＝2n ＝2时，取得最大值1.13．(2016·河南八市重点高中质检)已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．[解析] 由题可得，圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2.设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.故直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.[答案] 3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝014．(2016·山西四校第二次联考)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[解析] 由题意可知，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2x 2－y 2＝1，解得x ＝±1＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以p 2＋x 2＝2|x |，即p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 24＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 24，解得p ＝23或－23(舍去)．[答案] 2 315．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________． [解析] 如图，建立平面直角坐标系，则A (0，1)，B (0，0)，C (1，0)，所以AB →＝a ＝(0，－1)，BC →＝b ＝(1，0)，AC →＝c ＝(1，－1)，所以a ＋b ＋c ＝(2，－2)，|a ＋b ＋c |＝2 2.[答案] 2 216．(2016·广州五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[解析] 如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)＜f (2a )，所以3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.[答案] (－3，1)[B 组]1．(2016·郑州第一次质量预测)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z －＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0D [解析] 因为2z －z －＝21＋i －1＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.2．(2016·高考天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C [解析] 由x ＞y 推不出x ＞|y |，由x ＞|y |能推出x ＞y ，所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要而不充分条件．3．(2016·河南八市重点高中质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C.43D.34D [解析] 因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 4．(2016·贵州适应性考试)若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )，且|a |＝32，则λ＝( ) A ．－12B.32－1C.12D.32A [解析] 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12，选项A 正确．5．(2016·武汉调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2，b 2，c 2成等差数列，则cos B 的最小值为( )A.12B.22C.34D.32A [解析] 因为a 2，b 2，c 2成等差数列，所以a 2＋c 2＝2b 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－a 2＋c 222ac＝a 2＋c 24ac ≥2ac 4ac ＝12(当且仅当a ＝c 时取“＝”)，故选A. 6．(2016·河南八市重点高中质检)已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中A ，B ，C 的对边，若a ＝4，c ＝6，△ABC 的面积为63，则b 为( )A ．13B ．8C ．27D ．2 2C [解析] 因为S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×6×sin B ＝63，所以sin B ＝32，且△ABC为锐角三角形，所以B ＝π3，所以b 2＝16＋36－2×4×6×cos π3＝28，故b ＝27，选C.7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152D [解析] 该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E ­ABCD 与三棱锥E ­BCF 的体积之和，而V E ­ABCD ＝13S ·h ＝13×9×2＝6，所以只能选D.8．(2016·山西四校第二次联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2D ．3－2 2C [解析] 因为a 1，12a 3，2a 2成等差数列，所以12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8（1＋q ）a 1q 6（1＋q ）＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.9．若⎝⎛⎭⎪⎫9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )A ．84B ．－252C ．252D ．－84A [解析] 由题意可得C 2n ＝36，所以n ＝9，所以⎝⎛⎭⎪⎫9x －13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －13x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r9·99－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r·x 9－3r 2，令9－3r 2＝0，得r ＝6，所以展开式中的常数项为C 69×93×⎝ ⎛⎭⎪⎫－136＝84.10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2x －2y ≥－43x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[－1，1]C ．[－1，3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 D [解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2x －2y ≥－43x －y ≤3所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1，1)的直线，当直线经过区域M 内的点A (0，2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点B (1，0)时斜率最小，为－12，故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，选D.11．已知函数f (x )＝|x |＋1x，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )B [解析] 由f (x )不是奇函数，排除A 、C 选项．当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，排除D 选项，故选B.12．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)D [解析] 由x ＜g (x )得x ＜x 2－2， 所以x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，所以－1≤x ≤2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.所以当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上可得f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 13．(2016·河南八市重点高中质检)△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →|＝4，|AC →|＝3，则AM →·BC →＝________．[解析] AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝12×(9－16)＝－72. [答案] －7214．(2016·山西四校第二次联考)定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________．[解析] 令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，点(x ，y )的轨迹为半圆，⎠⎛0416－x 2d x表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π.[答案] 4π15．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径， 所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.[答案] 6π16．(2016·河北“五校联盟”质检)给定方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0，下列命题中： ①该方程没有小于0的实数根； ②该方程有无数个实数根；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数根； ④若x 0是方程的实数根，则x 0＞－1. 正确命题的序号是________．[解析] 由题意可知求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋sin x －1＝0的解，等价于求函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象交点的横坐标，作出它们的图象，如图所示．可知②③④正确．[答案] ②③④。

热点题型三 基本初等函数【命题预测】预测2017年高考继续加强对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解. 考点一 函数的大小比较【典例1】【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【考点定位】幂函数的图象与性质．【思路点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决． 【典例2】【2014辽宁理3】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【答案】C 【解析】132122110221,log 0,log log 31,33a b c -<=<==<==>所以c a b >>，故选C . 【考点定位】1.指数对数化简；2.不等式大小比较.【思路点拨】本题考查指数函数、对数函数的性质，比较函数值大小问题，往往结合函数的单调性，通过引入“-1，0，1”等作为“媒介”.本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用. 考点二 指数函数的运算和性质【典例3】 【 2014湖南10】已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 【答案】B【考点定位】指对数函数 方程 单调性【思路点拨】本题主要考查了函数的零点判定，解决问题的关键是根据存在关于y 轴对称的点则函数f (x )与g (x )必然存在交点，所以构造函数h (x )= f (x )- g (x )在(),0-∞必然存在零点，根据函数单调性不难得到只需h (0)>0即可，然后求解得到a 的范围.【典例4】【2014高考陕西版理第11题】已知,lg ,24a x a ==则x =________.【解析】由42a=得12a =，所以1lg 2x =，解得x =【考点定位】：指数方程；对数方程.【思路点拨】本题主要考查的是指数方程和对数方程，属于容易题；在解答时正确理解指数式和对数式的意义有助于正确完成此题. 【知识补充】指数函数的图像与性质1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数a 的范围，分a 1>和0a 1<<两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． 考点三 对数函数的运算和性质【典例5】【2014高考重庆理第12题】函数2()log )f x x =的最小值为_________.【答案】14-【考点定位】：1、对数的运算；2、二次函数的最值.【思路点拨】本题考查了对数运算，二次函数，换元法，配方法求最值，本题属于基础题，注意函数的定义域.【典例6】【2014山东.理5】 已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A.33xy > B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)xy +>+ D.221111x y >++ 【答案】A【解析】由(01)x y a a a <<<知，,x y >所以，33x y >，A 正确.通过举反例可以说明其它选项均不正确.对于B ，取2,,,33x y x y ππ==>此时sin sin x y =，sin sin x y >不成立；对于C ，取1,2,,x yx y ==->此时ln 2ln 5<，22ln(1)ln(1)x y +>+不成立；对于D ，取2,1,,x yx y ==->此时1152<，221111x y >++不成立；故选A .【思路点拨】本题考查指数函数、对数函数、正弦函数及幂函数的单调性.比较函数值大小问题，往往结合函数的单调性，通过引入“-1，0，1”等作为“媒介”.本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用. 【知识补充】 对数函数的图像与性质【应试技巧总结】1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍．2．指数函数(0,xy a a =>且1)a ≠与对数函数(0,xy a a =>且1)a ≠互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．4.求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决．5.指数函数(0,xy a a =>且1)a ≠的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分1a >与01a <<来研究． 6．对可化为20xx ab ac +⋅+=或()200x x a b a c +⋅+≥≤形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围．7．指数式ba N =(0a >且1)a ≠与对数式log a Nb =(0a >且1,0)a N ≠>的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．8．在运算性质log log n a a M n M = (0a >且1,0)a M ≠>时，要特别注意条件，在无0M >的条件下应为log log n a a M n M = (n N *∈，且n 为偶数)．9.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 【跟踪训练】1.【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22a a-+= ．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa. 【考点定位】对数的计算.【思路点拨】本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为指数式，变形 即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求 解.2. 【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 . 【答案】(0,1)【考点定位】幂函数的性质.3. 【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩错误！未找到引用源。

第3讲 平面向量平面向量的概念与线性运算 自主练透 夯实双基 1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组通关]1．(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.2．已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时，λ的取值不可能为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2B [解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得，AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故λ≠0.3．(2016·广州综合测试(一))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3B ．－13C.13D ．3A [解析] 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD→＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.4．(2016·广州综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34B [解析] 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．平面向量的数量积 共研典例 类题通法 1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(1)(2016·合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2，且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( )A.2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2016·高考天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118【解析】 (1)由a ⊥(a －2b )得，a·(a －2b )＝|a|2－2a·b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a·b ＋|b|2＝|b |＝2，选项B 正确．(2)法一：如图，建立平面直角坐标系，则A (0，32)，B (－12，0)，C (12，0)，E (0，0)，D (－14，34)，由DE →＝2EF →，得F (18，－38)，则AF →＝(18，－538)，BC →＝(1，0)，所以AF →·BC→＝18.法二：AF →·BC →＝(AD →＋32DE →)·BC →＝(12AB →＋34AC →)·BC →＝12AB →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.【答案】 (1)B (2)B(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．[题组通关]1．(2016·重庆适应性测试(二))设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3D.332A [解析] 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos2π3＝－12，|a |＝（e 1＋2e 2）2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－923＝－332，选A.2．(2016·福建省毕业班质量检测)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，CM →＝2MB →，则AM →·BC →＝( )A ．－113B ．－43C.43D.113C [解析] 因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →，所以AM →·BC→＝⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13×32－23×22＋13AB →·AC →＝13＋13×3×2cos π3＝43，故选C.平面向量与三角函数的综合问题 共研典例 类题通法已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cosA ，sinB )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．[跟踪训练](2016·合肥市第二次质量检测)已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解] (1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos x ＝0， 展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时， f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. 课时作业1．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8D [解析] 由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m－2)＝0，解得m ＝8，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23C [解析] 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线，所以－2(λ＋2)－2λ＝0，所以λ＝－1.3．(2016·山西省第二次四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3B [解析] 因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝22，所以〈a ，b 〉＝π4. 4．(2016·唐山市统一考试)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B [解析] 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →C [解析] 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.6．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274 D ．－274B [解析] 依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB→＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos 60°＝3×32×12＝94，故选B.7.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( ) A ．－52B.32 C ．－4D ．－2C [解析] 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－t BC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C [解析] 在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－t BC →|≥|AC →|，得BA →2－2t BA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.9．(2016·海口市调研测试)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [解析] 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫12BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.10．(2016·石家庄市第一次模考)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1，0)B [解析] 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．11．已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么OA →·OB →的取值范围是( )A ．[－2，4)B ．(－2，4)C ．(－4，2)D ．(－4，2]A [解析] 依题意，(OA →＋OB →)2≥13(OB →－OA →)2，化简得OA →·OB →≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA →|－|OB →|<|AB →|＝|OB →－OA →|，两边平方可得(|OA →|－|OB →|)2<(OB →－OA →)2，化简可得OA →·OB →<4，所以－2≤OA →·OB →<4.12．称d(a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )B [解析] 由于d(a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．13．(2016·南昌市第一次模拟测试)已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________．[解析] 因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π3，a·c ＝2，所以|c |＝a·c|a |cos π3＝22×12＝2.[答案] 214．(2016·合肥市第一次教学质量检测)已知等边△ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →＝________．[解析] 如图所示，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝⎛⎭⎫12AC→－AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. [答案] －215．已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．[解析] 因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. [答案] 316．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． [解析] 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎫32e 1－12e 2·⎝⎛⎭⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.[答案] π2。

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f（x2)，那么就说函数f（x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f（x1)>f(x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描自左向右看图象是上自左向右看图象是(2如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f （x)在这一区间具有（严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．（×）(2）对于函数f(x），x∈D，若x1,x2∈D且（x1－x2）·［f(x1）－f(x2)］〉0，则函数f（x)在D上是增函数．( √)(3）函数y＝f（x）在［1,＋∞）上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）（4）函数y＝错误!的单调递减区间是（－∞，0)∪(0，＋∞）．（×) (5）所有的单调函数都有最值．（×)(6)对于函数y＝f(x)，若f（1)〈f(3），则f（x)为增函数．( ×）1．(2014·北京)下列函数中,在区间(0，＋∞)上为增函数的是（) A．y＝x＋1 B．y＝（x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0。

5(x＋1)答案A解析A项，函数y＝错误!在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在（0，＋∞）上为增函数，故正确；B项,函数y＝（x－1)2在(－∞，1）上为减函数，在［1，＋∞）上为增函数，故错误；C项,函数y＝2－x ＝(错误!)x在R上为减函数，故错误；D项,函数y＝log0.5（x＋1）在（－1，＋∞）上为减函数，故错误．2．若函数f(x)＝|2x＋a｜的单调递增区间是[3，＋∞），则a的值为( ）A．－2 B．2 C．－6 D．6答案C解析由图象易知函数f(x）＝｜2x＋a|的单调增区间是[－错误!，＋∞)，令－错误!＝3,∴a＝－6。