2018-2019学年度北师大版必修3教学案：第三章 §3 模拟方法——概率的应用 Word版含解析

§3 模拟方法——概率的应用●三维目标1．知识与技能使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．2．过程与方法培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．3．情感、态度与价值观鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用；体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．●教学建议本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型⇒引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法⇒通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略⇒通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.记住几何概型的概念和特点(重点)．2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．1．本试验的结果有多少个？ 【提示】 无数个．2．每个试验结果出现的可能性均等吗？ 【提示】 均等．3．它与古典概型有何区别？【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的． 1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．2．计算步骤①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n 和m .这是计算的难点； ③利用概率公式P (A )＝m n计算.于1 m 的概率有多大？【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．【自主解答】 如图所示，记A ＝{剪得的两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×13＝1 m ，故事件A 发生的概率P (A )＝13.1．解决本题借助图形更容易理解．2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，则任取一点x 0，求使f (x 0)≤0成立的概率． 【解】 令f (x )≤0，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，所以当所取的点x 0满足－1≤x 0≤2时，f (x 0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x 0，使f (x 0)≤0成立的概率为310.【思路探究】 先利用图形找到点P 所落的区域，再利用面积比求概率．【自主解答】 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，设ED ＝13AD ，则AE ＝23AD .过E 作MN∥BC ，则MN ＝23BC .∴S △AMN ＝12MN ·AE ＝12×23BC ×23AD ＝49×12BC ·AD ＝49S △ABC .设事件A ：“△PBC 的面积小于3”，而点P 落在△ABC 内任一点的概率相同，当点P 落在MN 上时，S △PBC ＝13S △ABC ＝3.当点P 落在线段MN 上部时，S △PBC >13S △ABC ＝3.当P 落在线段MN 下部时，S △PBC <13S △ABC ＝3.∴事件A 的概率只与四边形BCNM 的面积有关，属几何概型．∵S △ABC ＝9，S △AMN ＝49S△ABC ＝4，∴P (A )＝S △ABC －S △AMN S △ABC＝9－49＝59.如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域面积全部试验结果构成的区域面积.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：区域Ω是长30 m ，宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m 2)．P (A )＝184600＝2375≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率数为0.31.1111锥M －ABCD 的体积小于16的概率．【思路探究】 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．【自主解答】 如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ， 则13×S ABCD ×h <16. 又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正方体，所求事件须满足V M －ABCD <16，结合体积公式可确定点M 在正方体内的位置，从而解决问题．2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域体积全部试验结果构成的区域体积.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于13棱长的概率．【解】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于13棱长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.选错几何度量致误在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．【错解】 设“AM ＜AC ”为事件A .在边AB 上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过点C 、M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝ACAB＝22. 【错因分析】 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C 和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．【防范措施】 弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB 的大小而不是线段AB 的长度．【正解】 设“AM ＜AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为P (A )＝67.590＝0.75.几何概型的计算步骤：判断是否为几何概型↓确定并计算基本事件空间↓计算事件A 所含基本事件对应的区域的几何度量↓代入公式计算图3－3－11．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A 区域的概率应为( )A.12B.18C.14D ．1 【解析】 总区域是圆的整个区域，A 对应区域占整个圆的12，所以球落在A 区域的概率为12，故选A.【答案】 A2．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m 的概率是( )A.13B.12C.16D.14 【解析】 把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2 m ，故所求概率为13.【答案】 A3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．【解析】 总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ，∴P ＝110.【答案】 1104．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？【解】 记D ＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，则P (D )＝取出的种子体积所有种子的体积＝101 000＝0.01.一、选择题1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出的2毫升水样中有大肠肝菌为事件A ，则事件A 构成区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.【答案】 D 2．(2012·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45【解析】 设AC ＝x ，CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8.又x >0,12－x >0，所以0<x <4或8<x <12.所以P ＝(4－0)＋(12－8)12＝23.【答案】 C图3－3－23．(2013·临沂检测)如图3－3－2，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是( )A.13B.14C.15D.16【解析】 设A ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，则A 的几何度量为60°，而区域的总几何度量为360°，故P (A )＝60°360°＝16.【答案】 D4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38 【解析】 小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安全飞行”的概率为两者体积之比，即为127.【答案】 C图3－3－35．如图3－3－3，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23【解析】 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概率的定义可知P ＝S △ABE S 矩形＝12.【答案】 C 二、填空题6．在区间[－2,2]上，随机地取一个数x ，则x 2位于0到1之间的概率是________．【解析】 x 2位于0到1之间时x ∈[－1,1]，∴P ＝24＝12.【答案】 12图3－3－47．如图3－3－4所示，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．【解析】 因为小正方形的面积与大正方形的面积的比值为49.所以所投的点落入小正方形内的概率是49.【答案】 498．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．【解析】 P ＝18·43πa 3a 3＝16π.【答案】 16π三、解答题9．设m 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2＋mx ＋m 4＋12＝0有实数根的概率．【解】 方程有实数根⇔Δ＝m 2－4(m 4＋12)≥0⇒m ≤－1或m ≥2.又∵m ∈[0,5]，∴方程x 2＋mx ＋m 4＋12＝0有实数根的m 的取值范围为[2,5]．∴方程x 2＋mx ＋m 4＋12＝0有实数根的概率为P ＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .(1)若a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f (x )有零点的概率； (2)若a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f (1)＞0的概率．【解】 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.f (x )有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0.即a 2≥4b ；而事件“a 2≥4b ”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以f (x )有零点的概率P 1＝1225.(2)a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数， f (1)＝－1＋a －b ＞0， 即a －b ＞1，由右图可知f (1)＞0的概率P 2＝12×3×34×4＝932.图3－3－511．如图3－3－5所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．【解】 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而点Q 在直径AB 上，是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式，得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32.(教师用书独具)利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积． 【自主解答】 (1)利用计算器或计算机产生一组－1～1之间和一组0～2之间的随机数a ，b ，其中a ，b 分别是随机点的横坐标和纵坐标；(2)统计出落在正方形内的点数N 和落在阴影部分的点数N 1；(3)计算频率N 1N，即为点(a ，b )落在阴影部分的概率的近似值；(4)设阴影部分的面积为S ，用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4.∴N 1N ≈S 4. ∴S ＝4N 1N即为阴影部分面积的近似值．如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆．试用随机模拟法近似估计π的值．【解】 设“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内”为事件A .(1)利用计算机或计算器产生一组－2～2之间和一组0～2之间的随机数a ，b ，其中a ，b 分别是随机点的横坐标和纵坐标；(2)统计出试验总次数N 和满足条件x 2＋y 2<4的点(x ，y )的个数N 1；(3)计算频率f n (A )＝N 1N，即为概率P (A )的近似值．半圆的面积为S 1＝2π，矩形的面积为S ＝8.由几何概型的概率公式得P (A )＝π4， 所以N 1N ≈π4，所以4N 1N 即为π的近似值．。

[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝，则称这种模型为几何概型．G 1的面积G 的面积(2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答]　如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝.1313在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1，故易知所求概率为＝.1－ －1 2－ －1 23答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答]　如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－××＝，μΩ＝1，所以P (A )＝＝.12121278μA μΩ78在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝ 构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝＝.π×124×4π16答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答]　把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝＝0.05.0.12如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝.构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝＝.1333127讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的倍的2概率．[尝试解答]　如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.2记“弦长超过半径的倍”为事件C ，2则C 表示的范围是∠AOB ∈(，)．π23π2则由几何概型概率的公式，得P (C )＝＝.270°－90°360°12如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝.事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度 练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．1513解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为，故红色所占角度为周角的，即P 1＝＝72°.同理，蓝色占周角的，1515360°513即P 2＝＝120°，360°3所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解]　在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝＝.AC ′AB 22[错因]　因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解]　在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝＝67.5°.180°－45°2∴P (AM <AC )＝＝.67.5°90°341．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1解析：选C 由几何概型公式得：P ＝＝0.004.25002．(辽宁高考)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A. B. C. D.16132345解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝＝.10－212233．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为，则＝( )12ADAB A. B. C. D.12143274解析：选D由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝2＋AD 2，解得2＝，即＝.(34AB)(AD AB )716AD AB 744．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，射线OA 落在∠xOT内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，∵∠xOT ＝60°，∴P (B )＝＝.60°360°16答案：165．两根相距6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．解析：由题意P ＝＝.2613答案：136．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到 min 23时间段内按错键．P (A )＝＝.2330145一、选择题1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( )A. B. C. D.13122334解析：选A 区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P ＝.132．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )23A. B. C. D ．无法计算438323解析：选B 由几何概型的公式知：＝，又：S 正方形＝4，∴S 阴影＝.S 阴影S 正方形23833．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )解析：选AA 游戏盘的中奖概率为，B 游戏盘的中奖概率为，C 游戏盘的中奖概率为3813＝，D 游戏盘的中奖概率为＝，A 游戏盘的中奖概率最大．2r 2－πr 2 2r 24－π4r 2πr 21π4．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. B. C. D.12233214解析：选B 如图，当取点落在B 、C 两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P ＝＝.360°－120°360°235．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )A. B. C. D.π4π10π20π40解析：选A 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在单位圆14内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.14π1π4二、填空题6．函数f (x )＝x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．解析：由f (x 0)≤0得x 0－2≤0，x 0≤2，又x 0∈[－5,5]，∴x 0∈[－5,2]．设使f (x 0)≤0为事件A ，则事件A 构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P (A )＝.710答案：7107．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．解析：如图所示，从点A 出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B 上的时候，满足已知C 条件，当弦的另一个端点在劣弧A 或劣弧A 上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC 是正三BC 角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是.13答案：138．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是________．解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4××π×22＝16－4π，14所以所求概率是＝1－.16－4π16π4答案：1－π4三、解答题9．在△ABC 内任取一点P ，求△ABP 与△ABC 的面积之比大于的概率．23解：设P 点、C 点到AB 的距离分别为d P 、d C ，则S △ABP ＝AB ·d P ，S △ABC ＝AB ·d C ，1212所以＝，要使>，S △ABP S △ABC dP dC dP dC 23只需使P 点落在某条与AB 平行的直线的上方，当然P 点应在△ABC 之内，而这条与AB 平行的直线EF 与AB 的距离要大于d C 的.23由几何概率公式，得P ＝＝2＝.S △CEF S △ABC (3－23)1910．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．解：用x 轴、y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．若甲早到，当y －x ≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x ≤y .如图，事件A “两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．故P (A )＝＝.12×602－12×30260238。

北师大版高中数学必修(三)《概率的应用》教学设计课题：模拟方法-----概率的应用问题提出：小明家的晚报在下午5:30~6:30的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6:00~7:00的任何一个时间随机地开始晚餐。

（1）你认为晚报在晚餐之前被送到和晚餐之后被送到哪一种可能性更大？（2）晚报在晚餐之前被送到的概率是多少？猜测：（1）晚报在晚餐之前被送到可能性更大。

（2）概率大约是----（学生猜测估计）动手实践用两个转盘（或随机数表）来模拟上面的过程，一个转盘模拟晚报的送达，另个转盘模拟开始晚餐，两个转盘各转到一次并记录下结果就完成一次模拟。

（1）转动每个转盘50次，并记录下每次结果。

（2）根据全班模拟的结果，估计“晚报在晚餐之前被送到”的概率附：随机数表10 09 78 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 7617 39 29 27 49 45 37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02 29 16 65 08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 47 64 35 08 03 36 06 99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 43 97 04 43 52 76 59 02 80 79 99 70 80验证：方法一、用两个转盘分别模拟晚报送达和开始晚餐时间方法二、用随机数表替代转盘模拟晚报送达和开始晚餐时间模拟实验结果和猜测结果一致证明：方法一、利用线性规划知识可求晚报在晚餐之前被送到概率P= (过程略)方法二、P=P=思考交流（1）设晚报在下午5:45~6:45的任何一个时间随机地被送到，而小明一家人还是在下午6:00~7:00的任何一个时间随机地开始晚餐，“晚报在晚餐之前被送到”的概率较前面的问题是变大还是变小了？将你的结论与同学交流。

模拟方法-------概率的应用高一数学组一、学习目标：1、了解模拟方法的思想；2、能够区别古典概型和几何概型；3、进行简单的几何概型概率计算。

二、重点难点重点：几何概型定义理解难点：几何概型概率计算三、教学过程环节一：回顾旧知1、古典概型的特点；2、判断下列是否为古典概型：（1）从1、2、3、4四个数中任意取出两个数；（2）在数轴0到3之间任取一点。

环节二：新课探究1、投针试验（蒲丰试验）引出重要思想：模拟方法2、模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题,常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验。

3、撒芝麻试验引出几何概型的定义4、几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。

（2）特征：无限性、等可能性（3）公式度）长度（面积、体积、角全部结果所构成的区域积、角度）的区域长度（面积、体构成事件A P 环节三：例题精讲题型一：和长度有关的几何概型例1 在区间［20,80］内随机取一实数a ，则实数a 属于区间［50,75］的概率是( C )A 、41B 、43C 、125 D 、127 变式练习：在区间［20,80］内随机取一实数a ，则实数a 属于区间［65,90］的概率是( A )B 、41B 、43C 、125D 、127 例2 有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于81米的概率为（ 43 ）题型二：和面积有关的几何概型例3 如图，大正方形靶盘的边长为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分。

短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（131 ） 例4 在平面直角坐标系xOy 中，设F 表示|x|≤2且|y|≤2的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向F 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是（16）例5 P152送报问题例6 分别在区间［1，6］，［1，4］内各任取一个实数依次为m,n ，则m ＞n 的概率是( C )A 、0.3B 、0.667C 、0.7D 、0.714例7 甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是( C )A 、21B 、31C 、41D 、32环节四：知识总结1、几何概型特点2、几何概型概率公式环节五：作业布置153页A 组：2（必做）；B 组：2（选做）。

模拟方法——概率的应用一．教学目标：1．通过试验初步体会几何概型及其基本特征；2．会把一些简单的实际问题转化为几何概型，会运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题；3．通过亲身试验，感受数学不仅仅是抽象的符号，还和我们的生活密切相关。

通过试验体会辩证的唯物主义思想，和实事求是的科学作风。

二．教学重点、难点：重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题三．教学方法与教学手段：自主探究、数学试验四．教学过程：（一、）复习巩固1．请同学们回忆下求随机事件的概率的方法有哪些呢?2．古典概型的基本特点是什么呢？（二、）创设情景，引入新课：问题1：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2：取一个边长为2a的正方形及其内图1切圆（如图1）随机地向正方形内射箭,假设射箭都能中靶,求射中圆内的概率为多少？问题3: 有一杯1 L的水,其中有1个微生物,用一个容器从这杯水中取出10ml,求容器中的水含有这个微生物的概率.归纳上述三个问题的特点，引入几何概型。

同时让学生思考古典概型的方法还能用吗？如何几何概率计算呢？进一步分析上述三个概率问题的求法。

问题1分析：剪刀落在中点的时候，显然能够得到符合要求的两段绳子，我继续剪可以么？到什么时候为止？落在中间的点有无穷多，我把这些点全取出。

总基本事件也有无穷多，古典概型的方法还能用吗？怎么处理？练习:取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？问题2分析:由于靶点随机的落在正方形内,而靶点落在圆内时,事件A发生解：记“射中圆内”为事件A，正方形的面积圆的面积=)(A P =4π 答：射中圆内的概率为4π由于问题2的可操作性，下面通过试验“用频率估计概率的方法”来研究它的概率问题。

两人一组合作试验，用扎针来模拟射箭，用针孔代替射箭的靶点。

《模拟方法－－概率的应用》教学设计（高中数学必修3第三章第3节）一、教材分析(一)、教材的地位和作用：“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

本节课注重概念的建构和公式的应用，为体会随机模拟中的统计思想打下基础。

（二）、教学重点与难点重点：正确理解几何概型的概念；用随机模拟的方法估计概率。

难点：掌握几何概型的概率求法，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。

教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。

二、教学目标[知识与技能]（1）体会几何概型的意义，能够运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的概率计算公式[过程与方法]了解模拟方法估计概率的过程，通过转盘游戏，将有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知解决概率问题的方法。

[情感与态度价值观]体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

三、教法、学法分析本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识。

§3 模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式： P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型.思路2.图1中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?图1为解决这个问题,我们学习几何概型.思路 3.在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=41.两次出现相同面的概率为41+41=21. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 图2于是事件A 发生的概率为P(A)=31. 第二个问题,如图3,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的,而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的,即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如图4所示,有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系,然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=6160)5060(=-，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于20分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=60)4060(-=31. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为31. 点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐,则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如图5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x(6≤x≤7)时开始,晚报在y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.图5由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P(A)=87=的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 答案：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定 答案：C提示：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.图6答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图6所示,这样线段OM 长度(记作OM)的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P(A)=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(. 拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.图7这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出(如图7).所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g . 2.〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见图8).样本空间为Ω：{(φ,x)|0≤φ≤π,0≤x≤2a }为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤21sinφ(见图9). 所求概率是P=ππϕϕπa l a d l g 22sin )2(0=••=Ω⎰的面积的面积. 图8 图9注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚,总计N 枚),统计与平行线相交的次数n,则P≈N n .又因a 与l 都可精确测量,故从N n a l ≈π2,可解得π≈anlN 2.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业习题3—3 A 组1、2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容在高考中是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取获得好成绩.。

第三章概率3模拟方法——概率的应用一、教学目标1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；2．使学生能够运用模拟方法估计概率．二、设计思路与教学建议1．教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．2．教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．求区域A的近似面积通常有两种方法．一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．在上述几何概型中，P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积正方形的面积,再由这个式子就可求得区域A的近似面积．图2 图3 教科书在讲解时分3步进行，以帮助学生理解．第一步是向图2的正方形中撒芝麻，区域A是一个面积为大正方形的14的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14的芝麻落在区域A中，因此近似的有落在区域A内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积/正方形的面积.第二步是反过来，向图3的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域B中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的20%，得出区域B的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域B是学生熟悉的长方形．第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行．教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型．本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的．在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为b(b<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).<A）的针，利用几何概型的概率计算公式，可以求得针与任一平行直线相交的概率为2BΠA．大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出Π的近似值．如果所投针数为N，与平行线相交的针数为M，由2BΠA≈MN，可得Π≈2BNAM．关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健，刘秀芳，徐承彝编?北本?：高等教育出版社??1990).【阅读理解】就我国现在的情况，很多地方还没有普及计算机（甚至还没有普及计算器）.为体现出学习背景的公平性，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，计算机（计算器）产生随机数作为了解．但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此,在教参前面的内容里，我们介绍了如何利用计算器产生随机数;在教科书的这一节，我们在阅读理解栏目里介绍了利用计算机模拟来估计不规则区域A的面积，这种计算方法称为蒙特卡洛（Monte―Carlo）方法.具体的模拟过程见备用课程资源．利用计算机完成1 000次模拟，教科书中的表格给出了部分数据．根据模拟结果，区域A的面积约为0.667，其理论值为23，二者非常地接近．教师可通过介绍，让学生了解计算机模拟的优越性．【问题提出】让学生通过自己的分析来判断随机事件发生的可能性的大小．对第（1）问，教师可以先让学生思考，作出自己的判断，再与同学交流各自的看法，并说明理由．【动手实践】让学生用转盘来进行模拟，对“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率作出估计．教师应先准备好教科书上所示的转盘，两人一组，一人转动转盘，另一人记录结果，做完50次模拟后一组内两人再交换.图4每个班级模拟的结果可能是不一样的，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为7/8，即0.875．</a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).在平面上建立如图所示直角坐标系，图中直线x=6，x=7，y=5.5, y=6.5围成一个正方形区域G．设晚餐在x（6≤x≤7）时开始，晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到，这个结果与平面上的点（x,y）对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此,试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当yg的面积/G的面积=7/8.【思考交流】教师可先让学生思考，作出自己的判断并说明理由．若晚报在下午5：45～6：45之间的任何一个时间随机地被送到，则晚报在5：45～6：00之间送到，或晚餐在6：45～7：00之间开始，都使得晚报的送达在晚餐开始之前，但相对于上面的问题来说，这个时间段变短了，因此“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率相对上面的问题来说变小了．用两个转盘去完成至少50次模拟，估计出“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率，模拟的结果与上面的结论应是吻合的．仿照前面的方法，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为23/32，这个值比7/8小．【练习】1．因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上，所以，如果一个随机试验只有两个等可能的结果，就可以用抛掷一枚硬币来模拟，比如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属，只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷硬币来模拟．2．对于第一个转盘，可以在随机数表中去掉0，5，6，7，8，9，用1，2，3，4分别代表转动转盘指针指向转盘的1，2，3，4部分?痹谒婊?数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟．对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分的面积之比为165∶15=11∶1．可以在随机数表中考虑相邻的两个数字，这样产生的随机数为00,01，02，…,99．在产生的两位随机数中去掉12，13，…,99，用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为1的部分，用01，02，…,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编号为2的部分．在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后，每次产生一个两位随机数就完成一次模拟．用模拟方法估计概率，每个人的模拟结果可能是互不相同的.。

学习目标 1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积．知识点一几何概型的概念思考往一个外圆内方的铜钱上投一粒小米，则小米可能的落点有多少个？怎样计算小米落入方孔中的概率？梳理向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成________，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1)＝________________，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是________________的有限区域，相应的概率是______________．知识点二模拟方法思考如图，椭圆与圆只有2个公共点A、B，一个质点落在圆内任一点的可能性相同，则质点落在椭圆内的概率怎么计算？梳理模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率．____________可以来估计某些随机事件发生的概率．类型一几何概型的概念例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2) 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的概率计算例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图形解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A的概率．跟踪训练2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(整点报时)，求他等待的时间不多于10分钟的概率．类型三模拟方法的应用例3假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A发生的概率吗？反思与感悟解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．跟踪训练3在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.1．下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中出现的结果有无限个2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13B.12C.14D.163．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π84．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为( )A.13B.12 C .14 D.565.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积约为( )A.43B.83C.23D ．无法计算1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大． 用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验．答案精析问题导学 知识点一思考 小米可能的落点有无限多，故不能，用古典概型计算小米落入方孔中的概率，但因为小米的落点个数与铜钱的面积成正比，故可用方孔与铜钱面积之比来计算小米落入方孔中的概率． 梳理 正比G 1的面积G 的面积空间中或直线上 体积之比或长度之比知识点二思考 这是一个几何概型，但椭圆的面积公式还没学，故不能用几何概型概率公式直接计算，但可以用模拟方法估计． 梳理 模拟方法 题型探究例1 解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36(种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型． 跟踪训练1 解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性； (2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解 如图所示，设上辆车于时刻T 1到达，而下辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为10，设T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A ，则事件A 发生即当点t 落在线段TT 2上，即D ＝T 1T 2＝10，d ＝TT 2＝6. 所以P (A )＝d D ＝610＝35.故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.跟踪训练2 解 记“等待的时间不多于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的概率公式求得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.例3 解 (随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P (A )＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数.跟踪训练3 解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值．当堂训练1．A [几何概型与古典概型是两种不同的概型．]2．B [向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设“点落在△ABD 内”为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.]3．B [若以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.]4．D5．B [∵S 阴影S 正方形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.]。