高等数学分析4.4复合函数的求导法

复合函数的导数解析与归纳复合函数是高等数学中的重要概念，它描述了多个函数相互嵌套的关系。

在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则，结合对各个函数的导数进行求解。

本文将从导数的定义出发，通过数学推导和实例分析，深入探讨复合函数的导数求解方法，并对其进行归纳总结。

1. 导数的定义回顾导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或df(x)/dx。

对于函数y = f(x)，当自变量x在某一点x0处有可微的增量Δx时，函数值的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)与自变量增量Δx之比的极限，即f'(x0) = lim(Δy/Δx)，就是函数f(x)在x0处的导数。

2. 复合函数与链式法则复合函数是由多个函数嵌套得到的函数，形如f(g(x))。

在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则，它是求解复合函数导数的基本工具。

假设函数f(x)和g(x)都是可导函数，则复合函数h(x) = f(g(x))也是可导的。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：h'(x) = f'(g(x)) *g'(x)。

3. 复合函数的导数解析与归纳通过具体的例子，我们来解析复合函数的导数求解过程。

例1：设y = (3x^2 + 2x - 1)^4，求y'。

解：将y看做外层函数，内部函数为3x^2 + 2x - 1，根据链式法则，我们有：y' = dy/du * du/dx= 4(3x^2 + 2x - 1)^3 * (6x + 2)= 24x(3x^2 + 2x - 1)^3 + 8(3x^2 + 2x - 1)^3例2：设y = sin(2x^3 + 5)，求y'。

解：将y看做外层函数，内部函数为2x^3 + 5，根据链式法则，我们有：y' = dy/du * du/dx= cos(2x^3 + 5) * 6x^2= 6x^2cos(2x^3 + 5)通过以上的例子，我们可以总结出复合函数导数的求解步骤：1) 将函数表示为复合函数形式；2) 将复合函数看做外层函数和内部函数的组合；3) 根据链式法则，求解内部函数和外层函数的导数；4) 将求得的导数相乘，得到最终的复合函数导数。

复合函数的求导法则定理2设函数y =f (u )，u =ϕ(x )均可导，则复合函数y = f (ϕ(x )) 也可导.且 或 或证： 设变量x 有增量∆x ，相应地变量u 有增量∆u ，从而y 有增量∆y . 由于u 可导，即推论设y = f (u ) ，u = ϕ(v )，v = ψ(x ) 均可导，则复合函数y =f [ϕ(ψ(x ))] 也可导，且例1 设y = (2x +1)5，求y '.解 把2x + 1 看成中间变量u ，将 y = (2x + 1)5看成是y = u 5，u = 2x + 1复合而成，，x u x u y y '⋅'='，)()(x u f y x ϕ'⋅'='.xuu y x y d d d d d d ⋅=.0lim 0=∆→∆u x 所以xu u y x x ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim ，x u x u u y x u u y '⋅'=⋅=→→∆∆∆∆∆∆00lim lim .x u x u y y '⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆x u u y x y x x 00lim lim .x v u x v u y y '⋅'⋅'='由于 所以例2 设y =sin 2x ，求y '.解 这个函数可以看成是y = sin x ·sin x , 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将y = sin 2 x 看成是由y = u 2，u = sin x 复合而成. 而 所以例3 设y =sin 3x ，求 .解：例4 设y =lncos x ，求,5)(45u u y u ='='.2)12(='+='x u x .)12(102544+=⋅='⋅'='x u u y y x u x ,2)(2u u y u ='='.cos )(sin x x u x ='='.cos sin 2cos 2x x x u u y y x u x =⋅='⋅'='，则，x u u y sin 3==xuu y x y d d d d d d ⋅=x u cos 32=.cos sin 32x x ⋅=y'y'解： 例5 设解：例6 设y = e tan x ，求 y '.解y = e tan x 可以看成是由y = e u ，u =tan x 复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.x u u x u x x u y y )(tan )('⋅'='⋅'='e .sec sec 22xu x x tan e e =⋅=，则，x u u y cos ln ==x u u y x y d d d d d d ⋅=)sin (1x u-⋅=. tan )sin (cos 1x x x -=-⋅=.)12(sin 3y'x y ，求+='x y'))12((sin 3+='x x ))12(sin()12(sin 32+⋅+='x x x )12()12cos()12(sin 32+⋅+⋅+=2)12cos()12(sin 32⋅+⋅+=x x .)12cos()12(sin 62++=x x例7求y '.解例8 设f (x )=arcsin(x 2)，求f '(x ). 解例9求y '.解例10 求y '. 解,12x y -=设xx x x y '-⋅-='-)1()1(212212.12xx --=x x x x f '⋅-=')(11)(24.124xx -=,sin ln x y =设x x x xx y '⋅=')(sin sin 1)(x x x x '⋅=)(cos sin 1.cot 21x x ⋅=,xx y --=e 设x x x x x x y '--='---)()(2121e e []x x x xx x '-'-=---)()()(2121e e []x x x x x '-⋅--=---)(1)(2121e e ).1()(2121x x x ---+-=e e 21x x y +=设例11求y '.解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例12 设y =sin(x ln x )，求y '.解 先用复合函数求导公式，再用乘法公式y '= cos(x ln x )·(x ln x )' = cos(x ln x )·(x ·(ln x )'+x 'ln x ) = (1+ln x )cos(x ln x ) .例13解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数的求导.2222)1()1(1)(x x x x x y +'+-+'='222112211x xx xx ++-+=.)1(1)1(1)1(2322222x x x x x +=++-+=])1[ln( 2'++x x 求21x +])1[ln(2'++x x '++⋅++=)1(1122x x x x ])1(1[1122'++⋅++=x x x补证一下(x α)' = αx e ln所以(x α)' = (e αln x )'= e αln x ·(αln x ) '⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅++=221111x x x x .112x+=，因为 ln ln x x x αααe e ==xx 1ln ⋅=ααe .11-=⋅=ααααx x x。

复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。

2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。

4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。

5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。

根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。

例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。

复合函数求导公式是什么怎么求导复合函数的求导公式是怎样的，该怎么求导呢?同学们清楚吗，不清楚的同学来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式是什么怎么求导”，仅供参考，欢迎大家阅读。

复合函数求导公式是什么怎么求导总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。

主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。

先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。

复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。

对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。

将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。

拓展阅读：微积分到底是什么微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

高等数学入门——复合函数的求导法则一、复合函数的定义在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。

假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。

其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。

二、复合函数的求导法则对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。

具体的求导法则如下：1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。

2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。

3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。

三、示例分析为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。

假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。

求出内层函数g(x)的导数：g'(x) = 2然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：[f(g(x))]'= f'(g(x)) * g'(x)= (4x + 2) * 2= 8x + 4因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。

四、总结通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：1. 求出内层函数的导数。

2. 求出外层函数对内层函数的导数。

3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。

复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。

通过理解和掌握复合函数的求导法则，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。

希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。

复合函数求导过程复合函数是函数学中非常重要的一个概念，它是指两个或多个函数相互组合形成一个新的函数。

在求导过程中，我们需要使用链式法则（chain rule）来对复合函数进行求导。

链式法则是求导过程中的一个重要工具，可以用来求解复杂的函数关系。

下面我们将详细介绍复合函数的求导过程，希望能对您有所帮助。

一、复合函数的定义假设我们有两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)是f(x)的自变量。

我们可以定义复合函数h(x)如下：h(x)=f(g(x))在这里，g(x)是h(x)的自变量，而f(x)是h(x)的函数。

二、链式法则的介绍在求导过程中，链式法则是一个基础且非常重要的原则。

它表明，当我们求复合函数的导数时，要先对外层函数求导，然后再对内层函数求导，最后将两个导数相乘。

具体来说，如果h(x)=f(g(x))，则复合函数h(x)的导数可以表示为：h'(x)=f'(g(x))*g'(x)这个公式将我们从求导复杂函数的困境中解放出来，使我们能够更容易地求出复合函数的导数。

三、复合函数的求导步骤为了更好地理解复合函数的求导过程，我们将通过一个例子来详细介绍。

假设我们要求函数h(x)=(2x^2+3x+1)^3的导数。

在这个例子中，复合函数h(x)是由外层函数f(x)=x^3和内层函数g(x)=2x^2+3x+1组成的。

首先，我们需要分别对外层函数f(x)和内层函数g(x)求导。

对于f(x)=x^3而言，它的导数可以很容易地求得：f'(x)=3x^2对于内层函数g(x)=2x^2+3x+1，它的导数可以通过求各项的导数之和得到：g'(x)=(2*2x^1)+(3*1x^0)+(0x^0)=4x+3然后，我们将外层函数和内层函数的导数相乘，得到复合函数h(x)的导数：h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=3(2x^2+3x+1)^2*(4x+3)至此，我们成功地求得了函数h(x)=(2x^2+3x+1)^3的导数。