第七节 函数的图像及其变换

第1课时函数的图像与图像变换【学习目标】1.掌握基本的描点作图法2.掌握图像变换及其规律【知识梳理】一、描点法作图方法步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）：（4）描点连线，画出函数的图象.二、函数图象的变换1•平移变换①水平平移：〉=加如）（4>0）的图彖，可由y=Ax）的图彖向左（+）或向虫一）平移a个单位而得到.②竖直平移：y=J（x）±b（b>0）的图彖，可由y=J[x）的图彖向上（+）或向上（一）平移b 个单位而得到.2. 对称变换⑴®y=f（—x）与y=fix）的图象关于y轴对称.②y=~f（x）与y=・几¥）的图彖关于x轴对称.®>'=与y=/U）的图彖关于原点对称.（2）由对称变换可利用y=f（x）的图象得到）=加）|与y=f（\x\）的图象.①作出y=/U）的图彖，将图彖位于*轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y=\f[x）\的图象;②作出y=/U）在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图彖，即得y=fi\x\）的图象.3. 伸缩变换®y=a/（x）（a>Q）的图象，可将y=/U）图彖上每点的纵坐标伸时）或缩（«<1时）到原来的a 倍，横坐标不变.®y=j[ax）（a>Q）的图象，可将y=/U）的图彖上每点的横坐标伸（a<l时）或缩（a>l时）到原来的吕倍，纵坐标不变.4. 翻折变换①作为y=/U）的图彖，将图彖位于*轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y=\f[x）\的图象;②作为y=M在y轴上及y轴右边的图彖部分，并作y轴右边的图彖关于y轴对称的图象,即得y=fl\x\）的图象.【预习自测】同一坐标系中用描点作图法画出卜列各组函数的图彖：X(1)y=2X,y=2'r(2)y=2x9y=-2v:y=log2x,y=log1x(3)y=2v,y=-T x11 •2 ■I•2・1-/・2012(4)y=2v ,y=23y=2r-111・2 •111・2 1 Ol 2-/ -•2 -2V +1,y =2XJ >2yX第1课时函数的图像与图像变换课后-:拓展案1【课后拓展】L.J1-定义运算圖说洛则函数心吨的图象是(2. ________________________________________________________ 若关于x的方程|x|=Q—x只有一个解，则实数a的取值范围是3•如下图所示，向高为的水瓶A、E、C、D同时以等速注水，注满为止.5. 已知函数/(x)=|x12—4x+3|.1若水量V与水深"函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是:2若水深h与注水时间/的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是:⑶若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c),则水瓶的形状是:(4) __________________________________________________________ 若水深与注水时间t的函数的图象是图中的(d),则水瓶的形状是・(1) 求函数几。

函数图像课题：函数的图象教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换． 教学过程： 知识回顾：数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.考点：作图，识图，用图（注意抓住特殊点，零点，与坐标轴的交点） 三种变换1．平移变换： （1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称； （4）函数1()y fx -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称. 3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 一画图1、画出下列函数的图像 (1)（2）|1|||1x x y --=练习（1）112++=x x y （2）2()|45|f x x x =--二识图12. （湖北卷）函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ D ）16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y(0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)解析：图中的图象所表示的函数当0≤x ≤1时，它的解析式为32x y =，当1<x ≤2时，解析式为332y x =-+，∴解析式为|1|2323--=x y (0≤x ≤2)，选B 。

§7.函数图象及其变换【学习目标】1.掌握用描点法和变换法作基本初等函数的图象.2.掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等图象变换法则.3.掌握识图与作图的方法与技能，对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，以及处理涉及函数图象与性质的一些综合性问题.【课前热身】1.（2018·安徽）设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是（ ）A. B.C. D.2.已知函数y ＝2x ＋a 的图象如图所示，则（ ） A.a ＜－1 B.a ＞－1 C.a ＜1 D.a ＞13.函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系为______.4. 把函数y=log 3(x-1)的图象向右平移21个单位，再把横坐标变为原来的21，所得到的函数解读式为________.【考点解读】一、描点作图法1.作函数图象的步骤①确定函数的定义域； ②化简函数的解读式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）； ④描点、连线，画出函数的图象.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，要对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究，而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点. 二、变换作图法用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换.1.平移变换①水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到.即)()()0(a x f y x f y a a +=→=>向左平移个单位；)()()0(a x f y x f y a a -=→=>向右平移个单位.②竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到.即a x f y x f y a a +=→=>)()()0(向上平移个单位；a x f y x f y a a -=→=>)()()0(向下平移个单位.2.对称变换①函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称. ②函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称. ③函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称. ④函数)(y f x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称. ⑤函数)2(x a f y -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线a x =对称. 3.翻折变换①函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到.②函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到.4.伸缩变换①函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到，即y =f (x )ay ⨯→y =af (x ).②函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到，即f (x )y =f (x )a x ⨯→y =f (ax ).三、识图与用图1.讨论图象的分布范围，即x 、y 的取值范围；2.讨论图象的变化趋势，即函数的单调性、极值、最值等；3.讨论图象的对称性、周期性等.【经典例解】题型一：作函数图象【例1】作出下列函数的图象. （1）y ＝2x ＋1－1；（2）y ＝sin|x |；【变式】y ＝|log2(x ＋1)|. 题型二：图象变换【例2】（2018·辽宁）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A.23 B.43 C.32D.3 【变式】利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数.题型三：读图、识图【例3】函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图.则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是（）【变式】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解读式.题型四：用图【例4】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2 <log a x恒成立，求a的取值范围.【变式】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为【规律】1.函数图象是函数性质的具体体现，是函数的一种表示方法，必须牢记基本初等函数的图象.2. 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密地结合在一起，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想方法.为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的各种变换.3.在图象变换中，写函数解读式也要分步进行，每经过一个变换对应一个函数解读式.4. 函数图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，掌握绘制函数图象的一般方法、函数图象变化的一般规律，是利用函数图象解答有关函数性质问题的突破口.【考点演练】一、选择题1.（2018·江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()((0)0)S t S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（ ）2.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解读式是（ ）A.sin(2)10y x π=-B.sin(2)5y x π=-C.1sin()210y x π=-D.1sin()220y x π=- 3.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则b 的取值范围是（ ）A.),0(+∞B.)0,(-∞C. ),0[+∞D. ]0,(-∞ 二、填空题4.已知函数f (x )=log 2(x +1)，将y =f (x )的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y =g (x )的图象，则函数F (x )=f (x )－g (x )的最大值为________.5.若直线y=x+b 与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是________.6. 已知定义域为R 的函数()y f x =，则下列命题： ①若(1)(1)f x f x -=-恒成立，则函数()y f x =的图像关于直线1x =的对称； ②若(1)(1)0f x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =的图像关于（1，0）点对称； ③函数(1)y f x =-的图像与函数(1)y f x =-的图像关于y 轴对称； ④函数(1)y f x =--的图像与函数(1)y f x =-的图像关于原点对称；⑤若(1)(1)0f x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =以4为周期．其中真命题的有________.三、解答题7.已知函数f (x )是y =1102+x －1(x ∈R )的反函数，函数g (x )的图象与函数y =－21-x 的图象关于y 轴对称，设F (x )=f (x )+g (x ).(1)求函数F (x )的解读式及定义域；(2)试问在函数F (x )的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由.8.已知函数f 1(x )=21x -,f 2(x )=x +2.（1）设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；（2）若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围；（3）若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值.9.设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ). （1）求g (x )的解读表达式；（2）若直线y=b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标； （3）解不等式log a g(x)<log a 29 (0<a<1).。

函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。