课题《魔术师的地毯》探究课

《魔术师的地毯》的发现与探究[摘要]以学生论文形式呈现学生发现与探究的过程，解密“魔术师的地毯”的设计、构造原理，实现研发能力的发现。

[关键词]魔术师地毯发现探究构造论文必修2第90页《魔术师的地毯》是一节以发现与探究方式呈现的内容，如何深度挖掘它的培养学生发现与探究能力的价值，我组织、引导学生从问题到结论，从实践到理论，从具体到一般，从个体操作到小组合作，从行为思维到科学小论文，完成从惊讶到发现进而实现心智熏陶与自我价值的提升。

发现与探究教学基本的流程是：呈现情境——问题置疑——解决问题——撰写论文。

在讲述了“魔术师的地毯”之后，让学生说出心中的疑惑，学生提的问题很多，主要归结于以下几个问题：1.魔术师是怎么设计的？2.计算机对魔术师设计方法的检验；3.为什么魔术师用的是“地毯”？4.面积为什么不相等？5.丢失的部分是什么样子？6.丢失部分的面积究竟有多大；？7.换一种方式设计面积会不会增大？8.怎样剪接才不会改变面积？9.如何设计类似的“地毯”？下面以学生最后撰写的科学小论文为题来勾画学生发现与探究的轮廓。

1.魔术师地毯故事（略）2.魔术师地毯的设计与计算机检验设正方形abcd的边长为13厘米，在ad、bc边长分别取e、f两点，使ae=bf=8，ed=fc=5，；连接ef和df，在ab、ef；边是分别取点g、h，使ag=hf=5，gb=eh=8，连接gh如图（1）；沿ef、df、gh剪开，然后接图（2）的方式接拼、缝合。

使fc与hf、ed与ag重合，就可得到长21厘米，宽8厘米的长方形。

在上述的制作过程中，由于采用的是纸质材料，产生毛边，以及测量的误差，我们看到正方形变成长方形过程中的重叠。

为了更精准地检验这一设计，我们用几何画板来实现这一转身。

在几何画板中，给aghe、gbfh、fcd、fde四块涂上不同的颜色，将它们平移、旋转，观察结果表明：基本图式与图（2）相同，但的确有重叠。

按比例放大图形，则重叠就越显著，接比例缩小，则重叠就不那么明显。

魔术师的地毯是这样铺的【内容摘要】：人教A版高中数学教科书，所设置的拓展性栏目——“阅读与思考”，丰富了教材内容，拓展了学生的数学活动空间，但在实践中，却无人问精。

究其原因，不仅是因为高考指挥棒的导向、学习时间的分配、课时的不足，还因为教师文化功底不足，时间精力不够，教师往往苦于应用“阅读与思考”而不得其法。

所以，如何将这些“阅读与思考”抽丝剥茧，融于教学中，成为教师们努力探索的一个新课题。

本文仅以必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》后所配的“阅读与思考”材料——《魔术师的地毯》为例，展示如何将课后的“阅读与思考”融于日常的课堂教学之中。

【关键词】：阅读与思考；倾斜角；斜率。

【案例背景】：人教A版高中数学教科书，适应课程改革的要求，秉承新课程理念，设置了拓展性栏目——“阅读与思考”。

该栏目丰富了教材内容，拓展了学生的数学活动空间，但在实践中，却很少被利用。

必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》后所配的“阅读与思考”材料——《魔术师的地毯》，就是一篇寓直线斜率于生活中的生动实例。

该材料以故事形式呈现，以疑问结尾，不仅引起了学生的阅读兴致，还激发学生解开谜底的欲望。

但是，就是这样一篇好材料却被绝大多数老师忽略了。

本人对教材所配的所有课后材料进行了大量研究，总结出将部分“阅读与思考”材料融入课堂各个阶段的具体操作办法：（1）在课堂中穿插数学家的故事和言行；（2）在讲授数学概念时，结合它的发展历史；（3）利用活动课作专题讲座；（4）开展阅读课，让学生阅读材料；（5）结合“探究与发现”与“实习作业”，鼓励学生撰写数学作文。

对于《魔术师的地毯》，鉴于其可读性、实用性，本人在授完倾斜角与斜率知识后的习题课上设置一环节，巧妙地利用了该材料。

《魔术师的地毯》揭示了斜率在生活中的应用，对于本文所学的知识究竟有要何用给了回应。

下文是对该案例的描述。

【案例描述与分析】：必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》后配有《魔术师的地毯》(人教A版数学2第99页)。

两条直线平行和垂直的判定学习目标核心素养1理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图1的尺寸把地毯分成四块，然后按图2的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？1 2为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系1∥2⇔1＝21∥2⇔两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？[提示]不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系1⊥2两条直线的斜率都存在，且都不为零⇔12＝－11的斜率不存在，2的斜率为0⇒1⊥21．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1平行的两条直线的斜率一定存在且相等．2斜率相等的两条直线两直线不重合一定平行．3只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．4若两条直线垂直，则斜率乘积为－1．[提示]1×2√3×4×2．已知A2,0，B3,3，直线∥AB，则直线的斜率等于A．－3B．3C．－错误!D．错误!B[AB＝错误!＝3，∵∥AB，∴＝3]3．若直线1，2的方向向量分别为1，－3和1，，且1⊥2，则＝________错误![由于1⊥2，则1，－3·1，＝0，即1－3＝0，∴＝错误!]4．教材，当1⊥2时，m的值为________．－错误![由条件1⊥2得－错误!×错误!＝－1，解得m＝－错误!]两直线平行的判定及应用12①1经过点A2,3，B－4,0，2经过点M－3,1，N－2,2；②1的斜率为－错误!，2经过点A4,2，B2,3；③1平行于轴，2经过点的值，使过点Am＋1,0，B－5，m的直线与过点C－4,3，D0,5的直线平行．[思路探究]1先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；2利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得．[解]1①AB＝错误!＝错误!，MN＝错误!＝1，AB≠MN，所以1与2不平行．②1的斜率1＝－错误!，2的斜率2＝错误!＝－错误!，1＝2，所以1与2平行或重合．③由题意，知1的斜率不存在，且不与轴重合，2的斜率也不存在，且与轴重合，所以1∥2④由题意，知EF＝错误!＝1，GH＝错误!＝1，EF＝GH，所以1与2平行或重合．需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，FG＝错误!＝1所以E，F，G，H四点共线，所以1与2重合．2由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，AB＝错误!，CD＝错误!＝错误!由于AB∥CD，所以AB＝CD，即错误!＝错误!解得m＝－2经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2判断两条不重合直线是否平行的步骤[跟进训练]1．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A0,1，B1,0，C4,3，求顶点D的坐标．[解]设Dm，n，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有AB＝DC，AD＝BC所以错误!解得错误!所以顶点D的坐标为3,4两直线垂直的判定及应用12①1经过点A－1，－2，B1,2；2经过点M－2，－1，N2,1；②1的斜率为－10；2经过点A10,2，B2021；③1经过点A3,4，B3,10；2经过点M－10,40，N10，40．2已知直线1经过点A3，a，Ba－2,3，直线2经过点C2,3，D1，a－2，如果1⊥2，求a的值．[思路探究]1判断两直线垂直，当斜率存在时，利用12＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为02含字母的问题判断要分存在和不存在两种情况来解题．[解]1①1＝错误!＝2，2＝错误!＝错误!，＝1，∴1与2不垂直．12②1＝－10，2＝错误!＝错误!，12＝－1，∴1⊥2③由A，B的横坐标相等得的倾斜角为90°，则1⊥轴．1＝错误!＝0，则2∥轴，∴1⊥222因为直线2经过点C2,3，D1，a－2，所以2的斜率存在，设为2当2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A3,5，B3,3，显然直线1的斜率不存在，满足1⊥2；当2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然1的斜率存在，设为1，要满足题意，则12＝－1，得错误!·错误!＝－1，解得a＝2综上可知，a的值为5或2利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．2二代：就是将点的坐标代入斜率公式．3三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．[跟进训练]2．已知A－m－3,2，B－2m－4,4，C－m，m，D3,3m＋2，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3①当AB与轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1∴CD∥轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与轴不垂直时，由斜率公式得＝错误!＝错误!，AB＝错误!＝错误!CD∵AB⊥CD，∴AB·CD＝－1，即错误!·错误!＝－1，解得m＝1综上，m的值为1或－1两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．两直线1∥2⇔1＝2成立的前提条件是什么？[提示]1两条直线的斜率存在；2两直线不重合．2．对任意两条直线，如果1⊥2，一定有12＝－1吗？为什么？[提示]不一定．当两条直线的斜率都存在时，12＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零．【例3】△ABC的顶点A5，－1，B1,1，C2，m，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．[思路探究]由A为直角顶点可得AB·AC＝－1[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－71．[变条件]本例中，将“C2，m”改为“C2,3”，你能判断三角形的形状吗？[解]如图，AB边所在的直线的斜率AB＝－错误!，BC边所在直线的斜率BC＝·BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．[变条件]本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，则错误!·错误!＝－1，得m＝3若∠C为直角，则AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2综上可知，m＝3或m＝±23．[变条件]若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤1．两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直相等平行或重合斜率均存在积为－1垂直2在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．下列说法正确的是A．若直线1与2倾斜角相等，则1∥2B．若直线1⊥2，则12＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若1⊥2，1与2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]2．若直线1的斜率为a，1⊥2，则直线2的斜率为A．错误!B．aC．－错误!D．－错误!或不存在D[由1⊥2，当a≠0时，2＝－错误!，当a＝0时，2的斜率不存在，故应选D]3．若经过点Mm,3和N2，m的直线与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．错误![由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥，所以MN＝错误!＝错误!，解得m＝错误!]4．若两条直线1，2的方向向量分别为1,2和1，，当1∥2时，的值为________．2[1∥2时1＝2或斜率均不存在，由条件可知＝2]5．直线1经过点Am,1，B－3,4，直线2经过点C1，m，D－1，m＋1，当1∥2或1⊥2时，分别求实数m的值．[解]直线1的方向向量为－3－m,3，直线2的方向向量为－2,1．当1∥2时错误!＝错误!，得m＝3；当1⊥2时，－2－3－m＋3＝0得m＝－错误!，故1∥2时m＝3，1⊥2时m＝－错误!。

数学魔术师的地毯原理
数学魔术师的地毯原理是一种利用数学知识和技巧来进行魔术表演的方法。

其原理可以简述如下：
1. 切分地毯：数学魔术师会事先准备好一块特殊设计的地毯，将其切分成若干个小块，并标上数字或符号。

2. 推断选择：在表演时，数学魔术师会请观众做出一些选择，例如选择一个数字或符号，并用手指随机指向一个或多个小块。

3. 运用数学：通过观察观众的选择和指向，数学魔术师会利用数学推断和运算的方法，快速计算出观众所选择的数字或符号。

4. 击中目标：最后，数学魔术师会准确地告诉观众他们选择的数字或符号，展示出自己惊人的预测能力。

这种地毯原理魔术的魅力在于它的简单性和出人意料的准确性，让观众产生一种神秘的感觉。

实际上，数学魔术师利用了数学的逻辑和推理能力来达到他们所表演的"魔术"效果。

魔术师的地毯一、教学目标1．知识与技能：通过三点共线的判断、图形特征的分析、图形面积的计算等，让学生经历将几何问题代数化的过程，体会坐标法在解析几何中的地位与作用，理解解析几何的本质。

2．过程与方法①引入魔术师的地毯问题，通过探究魔术师的秘密，让学生经历将地毯问题抽象为数学图形中的数量关系问题，通过观察、模拟操作，并从数量描述中发现问题、思考问题，加强培养学生的数感。

②让学生经历坐标法在探究几何问题中的应用过程，进一步体会建系、坐标化、用代数方法研究几何问题的基本思想．体会数学的价值，增强学生的应用意识。

③让学生经历发现问题、提出问题、制订解决方案、收集证据、分析论证、拓展延伸等科学探究的学习过程和方法。

渗透化归、特殊到一般的思想，提高思辨论证能力，3．情感态度与价值观①通过引导学生积极参与探究魔术师秘密的活动，调动学生对数学的好奇心和求知欲。

②让学生体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

③使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和数学思考的习惯。

二、教学重点本节课的教学重难点是让学生经历观察、发现、猜想、论证、反思、拓展等探究过程和坐标法的应用。

三、教学难点由最优分割方式过渡到斐波那契数列。

四、教学过程一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？1、问题解法解法（1）通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？解法（2）比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为，，，（图1.7）．现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的为直角三角形，如果时，点是否恰好落在矩形的对角线上？同样，如果时，点是否恰好落在上？让我们通过计算来回答这个问题．如图1.8建立直角坐标系，以所在直线为轴，所在直线为轴，单位长度表示0.1米，于是有（0，0），（0，21），（8，21），（8，0），（0，13），（5，13），（3，8），（8，8）．如何判断和是否恰好落在直线上呢？一种办法是，的坐标代入直线的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算，，的斜率，比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．设线段的斜率为，则有，，．比较之，由得，即的斜角大于的斜角，的斜角又大于的斜角，可见和都不在对角线上，它们分别落在的两侧（图1.8）：又由，得，，即，．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形（图1.8）．正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的的面积．记（3，8）到对角线（）的距离为，米，米，．把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”．2.拓展研究（1）如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即5，8，13，21，这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项．我们称这个数列为斐波那契数列．魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试．把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）．这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65，凭空增加了1个单位面积．通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形．不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.11）．这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在．（2）我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积．这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）．面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？我们把斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…记为，，，，，…这里，，，，，…，且具有递推关系考察以为边长的正方形面积与以及为两边长的矩形面积之间的关系．随着从小到大依次取2，3，4，5，…，我们得到当时有，即；当时有，即；当时有，即；当时有，即；从中我们发现，随着的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现．对于数列的第项，当是大于1的奇数时有，此时正方形的面积比矩形小1．写成统一的表示式就是．将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列，，，，，，，…该数列的极限是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”．相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400～前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项．”欧几里得把它收入《几何原本》之中，并称它分线段为中外比．据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达·芬奇取的，从此就广为留传，直至今日．对于长度为的线段，使的分点称为“黄金分割点”（图1.12）．设，则．即黄金分割比．从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学价值．在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的．难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计的．甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比．据说“维纳斯”雕像以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的比，都近于0.618，于是人们就把这个比作为形体美的标准．芭蕾舞女演员腰以下部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地，使腰以下部分的长度增长8～10厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13），给观众以美的艺术享受．黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义．工厂里广泛使用的“优选法”，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618法”．在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似值来代替．越大，比值越近似黄金分割比．五、课后反思：从教学设计到教学实施都立足于学生，从学生的生活经验、学习经验及实际情况出发，特别在内容安排和问题设计上，关注学生学习的最近发展区和学生的探究欲望、重视对学生应用数学意识的培养，同时兼顾学生数感的培养，突出科学探究学习的过程和方法的体验，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，从内容看，这节课具有较高的探究价值，因此我为这节课设计以下活动模式：由拼图魔术引入，激发学生的探究欲望，再让学生动手剪拼，制作模型，然后对模型进行观察，对数据进行分析，从而产生猜想，再探究用数学知识论证猜想的方案，通过学生的讨论、交流，发现学生处理问题的难点和解决问题的亮点，引导学生对问题的解决过程进行反思和拓展延伸。