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-------数学建模、数学课题学习的教学设计的案例1．升旗中的数学问题
（一）问题情景和任务
问题情景：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间又是随日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分日期的升、降旗时刻表：
任务1：试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的大致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中；
任务2：分别建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间；
任务3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进自己的模型。
任务4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和日落”的时间，建立一个函数关系。
（二）实施建议与说明
通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，提高对数
据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。
在这个探求活动中，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。
1.组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告”。
2. 任务1的建议：
为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计量单位，如升旗时刻以10分之为一个单位，日期可以天为单位，即1月1日为第0天，12月31日为第364天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点，
3.任务2的建议：
利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数，作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数中的作用；
4．任务3的建议：
根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋势，可以考虑分段拟合函数。
5．“成果报告”的书写建议
成果报告可以下表形式呈现。
表1：探究学习成果报告表年级班完成时间
5．成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。
6．评价建议：
在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的特色，以下几个方面的内容可作为重点考虑：
（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁；
（2）独到的思考和发现；
（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
（4）发挥组员的特长，合作学习的效果；
（5）合理使用技术；
（6）查阅文献，获取信息的能力。
（三）教学参考信息
第七届数学知识应用初赛试题
题目：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间有时虽日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落。表1是天安门广场2003年部分日期的升旗时刻，表2是天安门广场2004年2月部分日期的升旗时刻。请回答下面的问题：
（1）建立坐标系，将表1数据描在坐标系中；
（2）根据已给数据建立数学模型，估算2004年“五一”国际劳动节的升旗时间；
（3）如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么时间到达观看点？
表1
表2
解：（1）将数据描在坐标系中，如图1-23
（2）天体运动具有很强的周期性，所以日出日落时间成周期变化。
观察题内两表，2003年2月10日升旗时间是7：14，2004年2月9日是7：15，2月11日是7：13，可以认为，在这几天，两年的升旗时间是相同的；
2003年3月2日升旗时间是6：47，2004年2月27日是6：52，2月29日是6：49，再过两天就是3月2日，显见，在这几天，两年的升旗时间也是相同的。
于是可以进一步认为，2003年和2004年同期的升旗时间基本上是相同的。在观察2003年的图像，整体来看与余弦函数相象。但就局部来看，从2月末到5月中旬，这些点基本上是共直线的（5月1日正在这个范围内），从7月中旬到12月初也如此。因此，以线性函数为模型，用已知数值拟合出函数，估算五一节的升旗时间。
不妨设函数模型为 y=ax+b x ∈[3 , 5.5]
取4月28日的5：19和5月16日的4：59，因为升旗时间是早上，所以5月16日就记作31
155
，5月1日就记作5，于是有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=b a b a 3115560
59430
27460195 得 y=-0.5709x+8.114
对于 x=5，有 y=-0.5709⨯5+8.114=5.26 5.26月为5：15
所以，2004年“五一”国际劳动节的升旗时间约为5：15。
（3）因为5：15是个近似值，且是估值，为了确保不误事，所以，2004年“五一”观看升旗，就应该在4：59（2003年5月16日的升旗时刻）至5：15这段时间到达。
2． 正方体截面的形状
（一）问题情景与任务
用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？ 1．给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照
你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。
2． 如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？ 3． 如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？ 4*. 证明上面的结果。
5*. 截面多边形的边数最多有几条？请说明理由。 6*
. 截面可能是正多边形吗？可能有几种？画出示意图。 7*. 如果截面是三角形，其面积最大是多少？画出示意图。 8*. 你还能提出哪些相关的数学问题？
（二）实施建议与说明
图1—23
