力学中的动态平衡问题

力学动态平衡问题归类剖析作者：***来源：《中学生数理化·高考理化》2023年第09期动态平衡指的是因为某种物理量的改变，物体所处的状态缓慢变化，而在这个缓慢变化的过程中，物体一直处于平衡状态。

当物体处于动态平衡状态时，所受的外力会发生变化，但是所受合外力会一直等于零。

因此解决这类问题最重要的是在变化中寻找到不变，利用不变的量确定变量的变化规律。

下面归纳总结了求解力学动态平衡问题的几种常见方法，供同学们参考。

一、动态图解法原理：对物体在状态变化过程中的多种平衡状态进行受力分析，以某一参量的变化为基础，在同一图中作出物体在多种平衡状态下的受力示意图（力的平行四边形），根据动态的力的平行四边形各边长度和角度的变化，确定力的大小及方向的变化情况。

适用条件：物体受到三个共点力作用处于动态平衡状态，其中一个力是大小和方向均不变的恒力;另外一个力的方向不变，大小变化;第三个力的大小和方向都变化。

例1 如图1 所示，用细绳系住小球放在倾角为θ 的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，小球对细绳的拉力T和对斜面的压力N 的变化情况是（）。

A.T 逐渐增大，N 逐渐减小B.T 逐渐减小，N 逐渐增大C.T 先增大后减小，N 逐渐减小D.T 先减小后增大，N 逐渐减小解析：对小球进行受力分析，小球受到重力mg（大小和方向均不变的恒力）、斜面的支持力N'（方向不变，大小变化）和细绳的拉力T'三个力的作用。

在同一个图中作出细绳由水平方向逐渐向上偏移的过程中多个平衡状态下小球的受力示意图，如图2所示。

根据图像可知，随着细绳由水平方向向上偏移，细绳的拉力T'先减小后增大，斜面的支持力N'逐渐减小。

根据牛顿第三定律可知，小球对细绳的拉力T 先减小后增大，小球对斜面的压力N 逐渐减小。

答案：D二、正交分解法原理：当物体处于动态平衡状态时，先对物体进行正确的受力分析，再建立平面直角坐標系，将不在坐标轴上的力正交分解，以具体情况为依据，引入参数，构建平衡方程，得出因变参数与自变参数之间的一般函数关系，然后以自变量的变化为依据确定因变量的变化，进而判断力的大小变化规律。

【解答】BD 由于物体a 、b 均保持静止，各绳间角度保持不变，对a 受力分析得，绳的拉力T＝m a g ，所以物体a 受到绳的拉力保持不变．由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以连接a 和b 绳的张力大小、方向均保持不变，C 选项错误；a 、b 受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A 选项错误；对b 进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：Tcos β＋f ＝Fcos α，Fsin α＋F N ＋Tsin β＝m b g.其中T 和m b g 始终不变，当F 大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B 选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D 选项正确．3.(2017·河北冀州2月模拟)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P ，用两根轻绳OP 和O′P 在P 点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m 的O 、O′两点上，绳OP 长0.5 m ，绳O′P 长0.3 m ，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F ，将小球缓慢拉起．绳O′P 刚拉直时，OP 绳拉力为T 1，绳OP 刚松弛时，O′P 绳拉力为T 2，则T 1∶T 2为(sin 37°＝0.6；cos 37°＝0.8)( )A ．3∶4B ．4∶3C ．3∶5D ．4∶5【解答】C 绳O′P 刚拉直时，由几何关系可知此时OP 绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则T 1＝45mg.绳OP 刚松驰时，小球受力如图乙，则T 2＝43mg.则T 1∶T 2＝3∶5，C 项正确．1. (多选)(2017·全国卷Ⅰ)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α>π2)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小【解答】AD 设重物的质量为m ，绳OM 中的张力为T OM ，绳MN 中的张力为T MN .开始时，T O M ＝mg ，T MN ＝0.由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg 等大、反向．如图所示，已知角α不变，在绳MN 缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：T OMα－β＝mg sin θ， (α－β)由钝角变为锐角，则TOM 先增大后减小，选项D 正确； 同理知T MN sin β＝mg sin θ ，在β由0变为π2的过程中，T MN 一直增大，选项A 正确．2．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a ，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F 向右上方拉b ，整个系统处于静止状态．若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静止，则( )A ．绳OO′的张力也在一定范围内变化B ．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化C ．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化D ．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化4．质量为m 的物体用轻绳AB 悬挂于天花板上．用水平向左的力F 缓慢拉动绳的中点O ，如图所示．用T 表示绳OA 段拉力的大小，在O 点向左移动的过程中( )A ．F 逐渐变大，T 逐渐变大B ．F 逐渐变大，T 逐渐变小C ．F 逐渐变小，T 逐渐变大D ．F 逐渐变小，T 逐渐变小【解答】A 对O 点受力分析如图所示，F 与T 的变化情况如图，由图可知在O 点向左移动的过程中，F 逐渐变大，T 逐渐变大，故选项A 正确．6．质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m 的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F 拉着木块匀速上滑，如图所示，求：(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)拉力F 最小时，木楔对水平面的摩擦力的大小．【解答】 (1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑，mgsin θ＝μmgcos θ，则μ＝tan θ，用力F 拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，Fcos α＝mgsin θ＋F f ，F N ＋Fsin α＝mgcos θ，F f ＝μF N .联立以上各式解得，F ＝mgsin 2θθ－α.当α＝θ时，F 有最小值，F min ＝mgsin 2θ.(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，F f ′＝Fcos(θ＋α)，当拉力F 最小时，F f ′＝F min ·cos 2θ＝12mgsin 4θ.5.(多选) (2017·山东临沂市三模)某老师用图示装置探究库仑力与电荷量的关系．A 、B 是可视为点电荷的两带电小球，用绝缘细线将A 悬挂，实验中在改变电荷量时，移动B 并保持A 、B 连线与细线垂直．用Q 和q 表示A 、B 的电荷量，d 表示A 、B 间的距离，θ(θ不是很小)表示细线与竖直方向的夹角，x 表示A 偏离O 点的水平距离，实验中( )A ．d 应保持不变B ．B 的位置在同一圆弧上C ．x 与电荷量乘积Qq 成正比D ．tan θ与A 、B 间库仑力成正比【解答】ABC 因实验要探究库仑力与电荷量的关系，故两电荷间距d 应保持不变，选项A 正确；因要保持A 、B 连线与细线垂直且AB 距离总保持d 不变，故B 的位置在同一圆弧上，选项B 正确；对A 球由平衡知识可知F 库＝mgsin θ，即k qQ d 2＝mg xL，可知x 与电荷量乘积Qq 成正比，选项C 正确，D 错误．答案 (1)mgsin 2θ (2)12mgsin 4θ7. 如图所示，一光滑小球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力F 、半球面对小球的支持力F N 的变化情况是( )A ．F 增大，F N 减小B ．F 增大，F N 增大C ．F 减小，F N 减小D ．F 减小，F N 增大【解答】B 某时刻小球的受力如图所示，设小球与半球面的球心连线跟竖直方向的夹角为α，则F ＝mgtan α，F N ＝mg cos α，随着挡板向右移动，α越来越大，则F 和F N 都要增大．8.(多选)(2017·九江4月模拟)如图所示，一根通电的导体棒放在倾斜的粗糙斜面上，置于图示方向的匀强磁场中，处于静止状态．现增大电流，导体棒仍静止，则在增大电流过程中，导体棒受到的摩擦力的大小变化情况可能是( )A ．一直增大B ．先减小后增大C ．先增大后减小D ．始终为零【解答】AB 若F 安＜mgsin α，因安培力方向向上，则摩擦力方向向上，当F 安增大时，F 摩减小到零，再向下增大，B 项对，C 、D 项错；若F 安＞mgsin α，摩擦力方向向下，随F 安增大而一直增大，A 项对．9．如图所示，粗糙水平地面上的长方体物块将一重为G 的光滑圆球抵在光滑竖直的墙壁上，现用水平向右的拉力F 缓慢拉动长方体物块，在圆球与地面接触之前，下面的相关判断正确的是( )A ．球对墙壁的压力逐渐减小B ．水平拉力F 逐渐减小C ．地面对长方体物块的摩擦力逐渐增大D ．地面对长方体物块的支持力逐渐增大【解答】B 对球进行受力分析，如图甲所示．F N1＝Gtan θ，F N2＝G cos θ.当长方体物块向右运动中，θ增大，F N1、F N2均增大，由牛顿第三定律知，球对墙壁的压力逐渐增大，选项A 错误；圆球对物块的压力在竖直方向的分力F N2′cos θ＝G 等于重力，在拉动长方体物块向右运动的过程中，对物块受力分析如图乙所示，物块与地面之间的压力F N ＝G 1＋F N2′cos θ＝G 1＋G 不变，滑动摩擦力f ＝μF N 不变，选项C 错误；又由于圆球对物块的压力在水平方向的分力F N2′sin θ逐渐增大，所以水平拉力F ＝f －F N2′sin θ逐渐减小，选项B 正确；由于物块与地面之间的压力不变，由牛顿第三定律可知，地面对物块的支持力不变，选项D 错误．10. (多选)如图所示，带电物体P 、Q 可视为点电荷，电荷量相同．倾角为θ、质量为M 的斜面体放在粗糙水平面上，将质量为m 的物体P 放在粗糙的斜面体上．当物体Q 放在与P 等高(PQ 连线水平)且与物体P 相距为r 的右侧位置时，P 静止且受斜面体的摩擦力为0，斜面体保持静止，静电力常量为k ，则下列说法正确的是( )A ．P 、Q 所带电荷量为 mgr 2tan θkB ．P 对斜面的压力为0C ．斜面体受到地面的摩擦力为0D ．斜面体对地面的压力为(M ＋m)g【解答】AD 设P 、Q 所带电荷量为q ，对物体P 受力分析如图所示，受到水平向左的库仑力F ＝k q 2r 2、竖直向下的重力mg 、支持力F N ，由平衡条件可得tan θ＝Fmg，解得q ＝mgr 2tan θk ，选项A 正确；斜面对P 的支持力F N ＝mgcos θ＋Fsin θ，由牛顿第三定律可知，P 对斜面的压力为F N ′＝mgcos θ＋Fsin θ，选项B 错误；对P 和斜面体整体受力分析，可知水平方向受到Q 对P 向左的库仑力F ＝k q 2r 2和地面对斜面体水平向右的摩擦力，由平衡条件可知，斜面体受到水平向右的摩擦力大小为f ＝k q2r 2，选项C 错误；对P 和斜面体整体受力分析，竖直方向受到竖直向下的重力(M ＋m)g 和水平面的支持力，由平衡条件可得，水平面支持力等于(M ＋m)g ，根据牛顿第三定律，斜面体对地面的压力大小为(M ＋m)g ，选项D 正确．11. 如图所示，小球用细绳系住，细绳的另一端固定于O 点。

浅析力学中的动态平衡问题关键词：图解法；解析法；相似三角形法物体受到几个共点力的作用，其中某部分力是变力，即为动态力，在所有力共同作用下物体的状态发生缓慢变化，变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，这就是所谓的动态平衡问题。

该类问题是高考中的高频考点，也是教与学中的重点、难点，本人结合教学实际，对动态平衡问题进行归类剖析，希望对该部分的教与学有所帮助。

1.图解法（一）平行四边形雏形法或三角形雏形法该种方法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变为恒力，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。

由三力平衡的规律可知，两变力的合力与恒力等大方向，这就说明在两变力合成合力的矢量图中，对角线的大小方向是确定的，其中一个分力的方向不变，则表示该分力方向所在的直线与大小方向确定的对角线可组一个成平行四边形雏形或三角形雏形，当第三个力的方向确定一次，就组成一个点完整的平行四边形或三角形，依据第三个力的方向变化范围，就可对应做出平行四边形或三角形动态变化过程，从而可以确定各力的变化情景。

【例1】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点，现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力F以及绳N的变化情况是怎样的？对小球的拉力FT[解析] 小球受的重力不变，支持力的方向不变，绳的拉力的大小、方向都改变。

以小球为研究对象，受力分析如图所示。

在小球上升到接近斜面顶端的过程中，mg的大小和方向都不变，即FN 与FT的合力F＝mg不变。

FN的方向不变，用表示FN方向所在的直线与表示F的有向线段组成一个平行四边形雏形或三角形雏形，FT与水平方向的夹角由大于斜面倾角α的某一值逐渐减小至趋于零，由此做出平行四边形或三角形的动态变化过程图，由图可知，FT 先减小，当FT与FN垂直(即绳与斜面平行)时达到最小，然后开始增大，FT先减小后增大；由图还可判定FN不断增大。

动态平衡问题的基本解法动态平衡问题是指在一个系统中，各个组成部分之间的力或能量交换使系统保持平衡的问题。

解决动态平衡问题的基本解法包括力的合成、矩的平衡和能量守恒。

首先，力的合成是解决动态平衡问题的基本原理之一。

在一个系统中，各个物体所受到的力可以分解为平行于某一方向上的分力和垂直于该方向上的分力。

通过计算这些分力的合力，可以得到系统在该方向上的受力情况。

根据牛顿第二定律F=ma，可以确定物体的加速度，进而分析物体在系统中的运动情况。

在系统达到动态平衡时，所有物体的合力为零，即ΣF=0，在平行方向和垂直方向上的合力都为零。

其次，矩的平衡也是解决动态平衡问题的重要方法。

矩是指力对系统中某一轴线的力矩，它是力与物体离轴线的距离的乘积。

根据力矩的定义τ=Fd，可以计算出系统中各个物体对某一轴线产生的力矩。

当系统达到动态平衡时，所有物体对于该轴线的合力矩为零，即Στ=0。

通过解方程组，可以得到物体离轴线的距离和力的大小。

最后，能量守恒也是解决动态平衡问题的重要原理之一。

能量守恒是指在一个封闭系统中，能量的总量在时间上保持不变。

对于系统中的各个物体，其能量可以分为动能和势能两部分。

动能是由物体的质量和速度决定的，而势能是由物体的质量和高度决定的。

在动态平衡的情况下，系统中各个物体之间的能量互相转化，但总的能量不变。

通过计算系统中各个物体的能量，可以确定物体的速度和高度，并判断系统是否达到动态平衡。

综上所述，力的合成、矩的平衡和能量守恒是解决动态平衡问题的基本解法。

这些解法都是基于物理学原理，通过建立适当的数学模型、运用相关公式和解方程组的方法，来求解系统中各个物体之间的力、力矩和能量的平衡关系。

通过这些解法，可以深入理解系统的运动规律和力学性质，为解决实际问题提供理论依据和实践指导。

速解静力学中的四类动态平衡问题摘要：高中物理静力学中的动态平衡问题选择题是学生在学习过程中遇到的重点和难点问题。

学生在遇到此类问题时往往不知道如何快速入手，要么花费时间过长，要么做不出来，究其原因是没有掌握好的方法与解题技巧，本文在此对这些方法和技巧一一作阐述。

关键词：速解动态平衡问题一、动态平衡之动边三角形法（图解法）1、适用条件：物体受三个力（或可以合并成三个力），其中有一个力是恒力（通常是重力），有一个力方向不变（恒向或称为定力），有一个力是变力（大小方向都变化）。

2、方法步骤：首先对物体进行受力分析，作出受力示意图，然后作出两个变力的合力（与恒力等大反向），再把方向不变的哪个力平移到合力的末端点，最后过共点力的作用点作一条线与方向不变的哪个力相交，构成一个动态的三角形，从三角形各边长度的变化即可得出另两个力的变化情况。

在横向力水平的情况下，可以用“陡小缓大”快速判断。

【例1】（2019年全国1卷多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。

一细绳跨过定滑轮，其一端悬挂物体N，另一端与斜面上的物体M相连，系统处于静止状态。

现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45度角，已知M始终保持静止，则在此过程中（）A、水平拉力的大小可能保持不变B、M所受细绳的拉力大小一定一直增加C、M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D、M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加解析：以N为研究对象，对其进行受力分析，作出受力示意图可知绳子对N 的拉力逐渐变缓，由动态三角形得出表示该的拉力的边长逐渐变大，故M所受细绳的拉力大小一定一直增加，因此B选项正确。

当然也可以“陡小缓大”这一结论迅速得出B选项正确。

对C、D选项，由于绳子拉力一直增加，以M为研究对象，对其进行受力分析，然后在平行于斜面方向列方程，由于M有可能有向上运动的趋势，也可能有向下运动的趋势，根据这两种趋势可知摩擦力方向可能向上也可能向下而列方程，即可得出D选项正确。

动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。

因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。

因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。

现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。

与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。

根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。

高中物理力学中动态平衡问题的解法探析陈梅宗(天津市耀华中学ꎬ天津３０００７４)摘㊀要:在高中物理学习中ꎬ力学的动态平衡问题是重要内容之一ꎬ该类题型的求解具有一定的挑战性和复杂性.文章旨在探讨高中物理力学中动态平衡问题的解题方法和应用ꎬ帮助学生更好地理解和掌握动态平衡问题的解题技巧.关键词:高中物理ꎻ力学ꎻ动态平衡中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１２－０１０７－０３收稿日期:２０２４－０１－２５作者简介:陈梅宗(１９８２.１ )ꎬ男ꎬ湖北省公安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀动态平衡问题是物理学中的重要内容ꎬ它涉及物体在受力作用下的 静止 运动状态[１].在解决动态平衡问题时ꎬ我们常常会遇到以下三种常见类型:一力恒定ꎬ另一力方向不变ꎻ一力恒定ꎬ另两力方向变化ꎻ 活结 [２].下面我们分别对这三种类型问题进行解析.１ 一力恒定ꎬ另一力方向不变 动态平衡问题例１㊀如图１所示ꎬ将一截面为１/４圆弧的柱状物体Ａ放置在粗糙的水平地面上ꎬ其左端和竖直墙紧密相接.在物体Ａ和竖直墙之间ꎬ放置着一个光滑的圆球Ｂ.已知球Ｂ的半径为Ａ的圆半径的１/３ꎬ球Ｂ所受到的重力为Ｇꎬ整个系统处于静止的状态.设Ｂ受到墙的支持力为Ｆ１ꎬ受到Ａ施加的支持力为Ｆ２ꎬ某一时刻ꎬ将Ａ沿着水平向右的方向ꎬ移动少许ꎬ装置的状态不发生变化ꎬ支持力Ｆ１㊁Ｆ２的变化情况为(㊀㊀).图１㊀例１题图㊀㊀㊀图２㊀例１解析示意图Ａ.Ｆ１会增大㊀㊀㊀Ｂ.Ｆ１会减小Ｃ.Ｆ２会增大Ｄ.Ｆ２会减小解析㊀在变化过程中ꎬ重力Ｇ的大小和方向均不发生变化ꎬ即一力恒定.支持力Ｆ１的方向不发生变化ꎬ即另一力方向不变.选取球Ｂ为研究对象ꎬ对其进行受力分析ꎬ如图２所示ꎬ球Ｂ在重力Ｇ㊁支持力Ｆ１和支持力Ｆ２的共同作用下ꎬ维持静止状态ꎬ此时有Ｆ１＝ＧｔａｎθꎬＦ２＝Ｇｃｏｓθ.当将Ａ向右移动时ꎬθ减小ꎬ则Ｆ１减小ꎬＦ２减小ꎬ故Ｂ㊁Ｄ正确.例２㊀如图３所示ꎬ水平地面上放置一倾斜角为α的斜面.在斜面上ꎬ有一个挡板和质量为ｍ的小球ꎬ已知小球与挡板㊁斜面间均不存在摩擦.当斜面上的挡板绕着Ｏ点ꎬ以逆时针的方向开始缓慢转动至水平位置的过程中ꎬ下列说法正确的是(㊀㊀).图３㊀例２题目㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀例２解析示意图７０１Ａ.小球受到斜面对其施加的支持力会逐渐变大Ｂ.小球受到斜面对其施加的支持力会逐渐变小Ｃ.挡板施加给小球的弹力先增大ꎬ后减小Ｄ.挡板施加给小球的弹力先减小ꎬ后增大解析㊀该题中重力是恒力ꎬ支持力的方向不发生变化.以小球为研究对象进行分析.先对小球进行受力分析ꎬ如图４所示ꎬ小球受到重力ｍｇ㊁挡板对其的弹力ＦＮ２以及斜面的支持力ＦＮ１.在挡板缓慢转动的过程中ꎬ小球处于静止状态ꎬ合力为０.根据平衡条件可知ꎬ此时挡板对小球的弹力ＦＮ２以及斜面对小球的支持力ＦＮ１的合力ꎬ与重力大小相等㊁方向相反.作出小球在不同位置的受力分析图ꎬ如图４所示ꎬ可以观察到在变化过程中ꎬ斜面对小球施加的支持力会逐渐减小ꎬ挡板施加给小球的弹力则先减小后增大.当ＦＮ１和ＦＮ２垂直时ꎬ弹力减小至最小值ꎬ然后逐渐开始变大.因此答案为ＢＤ.２ 一力恒定ꎬ另两力方向均变化 的动态平衡问题㊀㊀例３㊀如图５所示ꎬＯＮ是一根柔性的轻绳ꎬ在其中间某点悬挂一重物ＭꎬＯ点固定ꎬ手持Ｎ端.初始状态时ꎬＯＭ保持竖直ꎬ且ＭＮ段被拉直ꎬøＯＭＮ为ＭＮ和ＯＭ之间的夹角ꎬ记作α且α>π２.某一时刻ꎬ将重物沿着右上方的方向缓慢提起ꎬ并保证夹角α不发生任何变化ꎬ则在ＯＭ由竖直被缓慢拉至水平的过程中ꎬ以下说法正确的是(㊀㊀).图５㊀例３题目㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀例３解析示意图Ａ.ＭＮ上的张力逐渐增大Ｂ.ＭＮ上的张力先增大后减小Ｃ.ＯＭ上的张力逐渐增大Ｄ.ＯＭ上的张力先增大后减小解析㊀以重物Ｍ为研究对象进行分析ꎬ其受力情况如图６所示ꎬ受重力ｍｇ㊁ＯＭ绳上拉力Ｆ２㊁ＭＮ上拉力Ｆ１三个力的共同作用.根据题干ꎬ缓慢移动ꎬ即代表三个力的合力一直为０ꎬ可以构建矢量三角形完成分析过程.在将ＯＭ由竖直被缓慢拉至水平的过程中ꎬ拉力Ｆ２的方向由竖直变为水平ꎬＦ１㊁Ｆ２的夹角π－α保持不变ꎬ转动过程中ꎬ矢量三角形在同一外接圆上ꎬ如图６所示ꎬ动态变化过程中ꎬＭＮ上的张力Ｆ１会逐渐增大ꎬＯＭ上的张力Ｆ２会先增大ꎬ后减小ꎬ所以Ａ㊁Ｄ正确.例４㊀如图７所示ꎬ粗糙地面上放置有倾斜角为３０ʎ的斜面ꎬ斜面上有一物体Ａꎬ其质量为２ｍꎬ通过轻绳和光滑的定滑轮ꎬ与质量为ｍ的物体Ｂ相连.Ｏ点为轻绳与滑轮之间的接触点.开始时ꎬ在水平拉力Ｆ的作用下ꎬ轻绳的ＯＢ段和拉力的方向形成一个大小为１２０ʎ的夹角ꎬ物体Ａ和Ｂ的状态均为静止状态.现改变力Ｆꎬ将小球Ｂ沿着右上方的方向缓慢移动ꎬ直至将ＯＢ段拉至水平.在该过程中ꎬ物体Ａ仍处于静止状态ꎬ且ＯＢ段和拉力方向的夹角也不发生变化ꎬ下列说法错误的是(㊀㊀).图７㊀例４题目㊀㊀㊀㊀㊀图８㊀例４解法一示意图Ａ.拉力Ｆ的最大值为Ｆ＝２３３ｍｇＢ.拉力Ｆ一直在变大Ｃ.绳子拉力Ｔ在不断增大Ｄ.Ａ物体所受到的摩擦力ꎬ先变小后变大解法一㊀图解法以Ｂ为研究对象进行分析ꎬ其受到重力㊁拉力Ｆ和绳子拉力Ｔ三个力的作用ꎬ在三力的共同作用下ꎬ保持静止状态.因为拉力Ｆ和绳子拉力Ｔ的夹角不发生变化ꎬ可以构建矢量三角形ꎬ并借助辅助圆进行分析ꎬ如图８所示.根据辅助圆可知ꎬ在缓慢移动过程中ꎬ拉力Ｆ的大小在不断变大ꎬ绳子拉力Ｔ在不断减小.根据受力平衡由图可知ꎬ当最终ＯＢ段拉至水平状态时ꎬ拉力Ｆ达到最大值ꎬ为Ｆ＝ｍｇｃｏｓ３０ʎ＝２３３ｍｇ.初始状态时ꎬ此时拉力Ｔ最大ꎬＴｍａｘ＝８０１ｍｇｃｏｓ３０ʎ＝２３３ｍｇ>２ｍｇｓｉｎ３０ʎꎬ摩擦力方向沿着斜面向下ꎻ最后停止缓慢移动时ꎬ此时拉力Ｔ最小ꎬ为Ｔｍｉｎ＝ｍｇｔａｎ３０ʎ＝３３ｍｇ<２ｍｇｓｉｎ３０ʎꎬ摩擦力方向沿斜面向上ꎬ摩擦力先变小后变大ꎬ答案为Ｃ.解法二㊀解析法Ａ选项ꎬ设ＯＢ段与水平面的夹角为αꎬ根据题意知ꎬθ＝１２０ʎꎬ且小球Ｂ受力平衡ꎬ则有Ｆｃｏｓ６０ʎ－α()＝ＴｃｏｓαＦｓｉｎ６０ʎ－α()＋Ｔｓｉｎα＝ｍｇ求解得ꎬＦ＝２３３ｍｇｃｏｓαꎬ当α＝０ʎ时ꎬ拉力取得最大值ꎬ为Ｆ＝２３３ｍｇꎬ因此Ａ选项正确ꎻＢ选项ꎬα的取值范围为０ʎɤαɤ６０ʎꎬ且α是从６０ʎ逐渐减小到０ʎꎬ则拉力Ｆ一直变大ꎬ故Ｂ正确ꎻＣ选项ꎬ根据受力分析ꎬ绳子的拉力Ｔ满足Ｆｃｏｓ６０ʎ－α()＝Ｔｃｏｓαꎬ所以Ｔ＝２３３ｍｇｃｏｓ(６０ʎ－α).初始状态时ꎬα＝６０ʎꎬ此时拉力Ｔ最大ꎬＴｍａｘ＝２３３ｍｇ>２ｍｇｓｉｎ３０ʎ.最后停止缓慢移动时ꎬα＝０ʎꎬ此时拉力Ｔ最小ꎬ为Ｔｍｉｎ＝３３ｍｇ<２ｍｇｓｉｎ３０ʎ.选项Ｃ错误ꎬ选项Ｄ正确.３ 活结 的动态平衡问题例５㊀如图９所示ꎬ有一竖直的穹形支架ꎬ在其上挂着一根长度一定ꎬ不可伸长的轻绳.该轻绳通过轻质光滑动滑轮ꎬ悬挂一重物Ｇ.将绳子的一端固定在支架的Ａ处ꎬ另一端从Ｂ点沿支架缓慢地向Ｃ点靠近(已知Ｃ点和Ａ点是等高的).则在此过程中绳子拉力大小(㊀㊀).㊀图９㊀例５题图㊀㊀㊀㊀㊀图１０㊀例５解析示意图Ａ.绳子的拉力先变大后不变Ｂ.绳子的拉力先变小后变大Ｃ.绳子的拉力保持不变Ｄ.绳子的拉力先变大后变小解析㊀以滑轮为研究对象进行分析ꎬ如图１０甲所示ꎬ滑轮受到重物对其的拉力和绳子两部分的拉力.因为同一根绳子上的拉力大小相等ꎬ即Ｆ１＝Ｆ２.由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等ꎬ设为θꎬ则有:Ｆ１＝Ｆ２＝ｍｇ２ｃｏｓθ①如图１０乙所示ꎬ设轻绳的长为Ｌꎬ根据几何关系ꎬ有ｓｉｎθ＝ｄＬ②其中ｄ为两端点间的水平距离ꎬ由Ｂ点向Ｃ点移动过程中ꎬｄ先变大后不变ꎬ因此θ先变大后不变ꎬ由①式可知绳中拉力先变大后不变ꎬ故Ａ正确.４结束语文章基于 一力恒定ꎬ另一力方向不变 一力恒定ꎬ另两力方向变化 活结 三种常见类型ꎬ对动态平衡问题进行了解析.在求解过程中ꎬ需要灵活运用合力㊁分力概念及关系.解析法和图解法均可以解答ꎬ但解析法的求解过程较为复杂ꎬ容易出现计算错误.如果是定性的动态平衡问题ꎬ图解法更为合适ꎬ通过相似三角形㊁辅助圆等方法ꎬ即可快速完成求解过程ꎻ如果是定量类的动态平衡问题ꎬ选择图解法和解析法均可.在实际应用中ꎬ需要根据具体情况选择合适的方法ꎬ以便更好地理解和解决动态平衡问题.参考文献:[１]李婷.浅谈高中物理力学中动态平衡问题的解决方法[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１９(１８):４１. [２]徐磊ꎬ侯庆腾. 活结类 动态平衡问题的分析方法[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１８(２０):２８.[责任编辑:李㊀璟]９０１。

动态力学中动态平衡问题(含答案)在动态力学中，动态平衡问题是一种常见的研究领域。

动态平衡是指当物体处于运动状态时，其各个部分之间的力和力矩之和为零的状态。

本文将介绍动态平衡问题的一些基本概念和解决方法。

动态平衡的基本概念动态平衡问题涉及到物体的运动和受力情况。

当一个物体在运动时，它的各个部分之间存在力和力矩的平衡关系，才能保持动态平衡状态。

以下是动态平衡问题中的一些重要概念：1. 力：作用在物体上的力是物体保持动态平衡的基本要素。

力的大小、方向和作用点可以影响物体的运动和动态平衡状态。

2. 力矩：力矩是力对物体产生的旋转效果。

力矩与物体的力、力的作用点和距离相关。

在动态平衡问题中，力矩的平衡关系对于保持物体的平衡状态至关重要。

3. 动力学方程：动力学方程描述了物体运动的规律。

在动态平衡问题中，通过分析物体受力和力矩的平衡关系，可以建立动力学方程来求解平衡状态。

动态平衡问题的解决方法解决动态平衡问题的方法有多种，根据具体情况选择适合的方法可以更好地解决问题。

以下是一些常用的解决方法：1. 力和力矩分析法：通过分析物体受到的力和力矩，建立动力学方程，解得平衡状态的条件和解。

2. 动态平衡条件：根据动态平衡问题的特点，可以得出一些常用的动态平衡条件，如施加在物体上的力的合力为零、力矩的和为零等。

通过运用这些条件，可以求解物体的平衡状态。

3. 拉格朗日方程法：拉格朗日方程是研究物体运动的重要工具，可以应用于动态平衡问题的求解。

通过建立拉格朗日方程，可以得到物体运动的规律和平衡状态。

这些解决方法在动态平衡问题的研究中起到了重要的作用，可以帮助我们解析和理解物体的平衡状态和运动规律。

动态平衡问题的答案根据具体的动态平衡问题，可以使用上述的解决方法来求解平衡状态和答案。

然而，由于没有具体的问题描述，无法给出具体的答案。

综上所述，动态平衡问题是一种研究物体在运动状态下保持平衡的问题。

通过力和力矩分析、动态平衡条件和拉格朗日方程等方法，可以解决动态平衡问题并求得平衡状态。

动态平衡一、三角形图示法（图解法)方法规律总结：常用于解三力平衡且有一个力是恒力,另一个力方向不变的问题。

例1、如图1-17所示,重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置,在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1 、F2各如何变化？答案：F1逐渐变小，F2先变小后变大变式：1、质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O,如图所示，用T表示OA段拉力的大小,在O点向左移动的过程中( A )A.F逐渐变大，T逐渐变大B。

F逐渐变大，T逐渐变小C。

F逐渐变小，T逐渐变大D。

F逐渐变小，T逐渐变小2、如图所示，一个球在两块光滑斜面板AB、AC之间,两板与水平面间的夹角均为60°,现使AB板固定，使AC板与水平面间的夹角逐渐减小,则下列说法中正确的是( A ）A。

球对AC板的压力先减小再增大B.球对AC板的压力逐渐减小C.球对AB板的压力逐渐增大D.球对AB板的压力先增大再减小二、三角形相似法方法规律总结：在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力，另外两个力方向都发生变化，且力的矢量三角形与题所给空间几何三角形相似，可以利用相似三角形对应边的比例关系求解．例2、如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆,质量不计的轻杆AB一端通过铰链固定在A点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BAC＞90°，现使∠BAC缓慢变小,直到杆AB接近竖直杆AC．此过程中,杆AB所受的力（ A ）A．大小不变 B．逐渐增大C．先减小后增大 D．先增大后减小变式：1、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m的小球套在圆环上．一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移．在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是( C ）A。

三力动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。

因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。

因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。

现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。

与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G 的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。

根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。