2013届高考数学第二轮填空题专项训练50

保温特训(二) 函数与导数基础回扣训练1．函数y ＝ 1x ＋2的定义域是________． 2．函数y ＝f (x )是偶函数，则在点(－a ，f (a ))、(－a ，－f (－a ))、(－a ，－f (a ))、(a ，－f (－a ))中，一定在函数y ＝f (x )图象上的点是________．3．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0ln x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________. 5．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.6．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2 x ，0＜x ＜1－2(x －1)(x －3)，x ≥1的值域是________． 7．(2012·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．8．设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)＞0的解集为________．9．(2012·泰州学情调研)设g (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[2,5]上的值域为________．10．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为M ，N ，且M 是N 真子集，若对任意的x ∈M ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )是f (x )的“拓展函数”．已知函数f (x )＝13log 2x ，若g (x )是f (x )的“拓展函数”，且g (x )是偶函数，则符合条件的一个g (x )的解析式是________．11．已知曲线y ＝(a －3)x 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，函数f (x )＝x 3－ax 2－3x ＋1在[1,2]上单调递增，则a 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：①f (x )是奇函数；②若f (x )在[s ，t ]内递减，则|t －s |的最大值为4；③f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0.④若对∀x ∈[－2，2]，k ≤f ′(x )恒成立，则k 的最大值为 2.其中正确命题的序号为________．13．(2012·南京师大阶段测试)定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1|x －2|，x ≠2，1，x ＝2，若关于x的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝3有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论错误的有________(填序号)①x 21＋x 22＋x 23＝14；②a ＋b ＝2；③x 1＋x 3＞2x 2；④x 1＋x 3＝4.14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x ＞0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )＜0，则不等式f (x )＞0的解集为________．考前名师叮嘱1．导数法是研究函数单调性的重要工具，利用导数研究函数单调性要注意两个方面：一是求导之后函数的定义域可能会发生变化，要在函数定义域内分析导函数的符号；二是若求函数的单调区间可以直接转化为f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)的解集求解，若函数在区间M 上单调递增(递减)，则应该转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在区间M 上恒成立问题求解；2．复合函数法判断函数单调性的关键在于将其分解为两个基本函数之后准确判断这两个函数的单调性，再利用“同增异减”的判断法则判断单调性；3．用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或者借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征，常见的转化有两种：一是分段函数类型通常利用函数图象求解；二是利用数与形的对应，将函数最值转化为几何最值求解，通常是利用函数解析式的几何意义，如利用直线的斜率、动点与定点的距离等，在求解过程中正确作出函数图象或者准确利用代数式的几何意义，用几何知识直接确定最值是关键；4．导数求函数极值或最值时要列表，同时注意：一是函数定义域；二是准确求导；三是注意极值一定在区间内部，而最值则可能是极值点或区间端点．参考答案保温特训(二)1．解析 要使函数有意义，则1x ＋2≥0，解得x ＞－2，故所求定义域是(－2，＋∞)．答案 (－2，＋∞) 2．解析 当x ＝－a 时，y ＝f (－a )＝f (a )，即点(－a ，f (a ))一定在函数y ＝f (x )图象上．答案 (－a ，f (a ))3．解析 根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f (x )在x＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边有f ′(x )＞0，右边有f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)．答案 (－1,0)4．解析 f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 答案 1e5．解析 本小题主要考查导数的概念及几何意义．由题意易知f (1)＝52，f ′(1)＝12.答案 36．解析 0＜x ＜1时，值域为(－∞，0)；x ≥1时，值域为(－∞，2]，故原函数的值域是(－∞，0)∪(－∞，2]＝(－∞，2]．答案 (－∞，2]7．解析 函数定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x＜0，解得0＜x ＜1，所以递减区间是(0,1)．答案 (0,1)8．解析 因为x 2＋x ＋1有最小值，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，所以0＜a ＜1，所以log a (x －1)＞0＝log a 1⇔0＜x －1＜1，解得1＜x ＜2.答案 (1,2) 9．解析 当x ∈[2,3]时，x ＋1∈[3,4]，所以f (x ＋1)＝x ＋1＋g (x ＋1)＝x ＋1＋g (x )∈[－2,5]，所以f (x )＝x ＋g (x )∈[－3,4]；当x ∈[4,5]时，x －1∈[3,4]，所以f (x －1)＝x －1＋g (x －1)＝x －1＋g (x )∈[－2,5]，所以f (x )＝x ＋g (x )∈[－1,6]，所以f (x )在区间[2,5]上的值域为[－3,6]．答案 [－3,6]10．解析 由题意可知，x ＞0时，g (x )＝13log 2x ，又函数g (x )是偶函数，故x ＜0时，g (x )＝13log 2(－x )，所以g (x )＝13log 2|x |.答案 g (x )＝13log 2|x |(其它符合条件的函数也可以)11．解析 由已知条件可得方程y ′＝3(a －3)x 2＋1x ＝0(x ＞0)，即3(a －3)x 3＋1＝0有大于0的实数根，即得x 3＝－13(a －3)＞0，解得a ＜3，又由函数f (x )＝x 3－ax 2－3x ＋1在[1,2]上单调递增，可得不等式f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在[1,2]上恒成立，即得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在[1,2]上恒成立，由函数y ＝x －1x 在[1,2]上单调递增可得，该函数的最小值为0，∴a ≤0，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案 (－∞，0]12．解析 由题意可知f (0)＝0，f ′(x )＝－1的两根为1或－1，即c ＝0,3x 2＋2ax＋b ＋1＝0的两根为1或－1，所以－2a 3＝0，b ＋13＝－1，解得a ＝0，b ＝－4，所以f (x )＝x 3－4x ，是奇函数，所以①③正确；f ′(x )＝3x 2－4，又f ′(x )≤0，解得在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23上递减，即|t －s |的最大值为43，所以②错误；k ≤3x 2－4，∀x ∈[－2,2]恒成立，所以k ≤(3x 2－4)min ＝－4，∀x ∈[－2,2]，即k 的最大值为－4，所以④错误，综上可得正确命题是①③答案 ①③13．解析 作出函数f (x )的图象如图，方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝3有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即方程t 2＋at ＋b －3＝0有两个相同的实数根1，由韦达定理可得1＋1＝－a,1×1＝b －3，解得a ＝－2，b ＝4，且x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，故①x 21＋x 22＋x 23＝14；②a ＋b ＝2；④x 1＋x 3＝4均正确，x 1＋x 3＝2x 2，故③不正确．答案 ③14．解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x 2＋1′＝(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )(x 2＋1)2，而(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )＜0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x 2＋1′＜0，令g (x )＝f (x )x 2＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g (－1)＝－g (1)＝0，作出函数g (x )的大致示意图，由图可知g (x )＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．答案(－∞，－1)∪(0,1)。

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．故答案为2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．解：由函数3．（4分）（2013•松江区二模）已知=﹣．﹣（﹣，∴±±，故答案为﹣．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．h=∴h==4V=π×π×5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．，解得．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．由已知中该程序的功能是计算该程序的功能是计算7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．，，则9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．，解：由题意二项式的展开式的通项为=a==故答案为：10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．=．，=．=故答案为11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15．椭圆方程为10+|AB'|=10+=10+5=1512．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．=2同理可得=2（13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2．，==14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE 3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则=．依此类推：（．若；若{是以为首项，解：由第二步可知：；由第三步可知：，（∴∴，则，此时{是以为首项，∴，即．∴=．综上可知：．故答案为依此类推：（二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，若命题乙：16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则﹣17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t 倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t ，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ）．变换的定义，推导知的向量坐标，然：解：向量，则=，三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．由条件可知的面积可知，，∵，20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．，得燃料费为小时，可燃料费为海里的总费用为）由题意，设燃料费为小时，可得其余航行运作费用为=（∵当且仅当时，即21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．为向量arccos；在中，；．arccos由题意得上的高为，则，的距离为h=××∴的距离为22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（3）对（2）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．）由条件得，∴．）可知∴为常数，所以数列23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及的方程为，则的方程为．，得由，则+9k．综上，，则，化简得，过定点（中，若）在椭圆中，若过定点（，）在椭圆中，若过定点（）在椭圆中，若））在椭圆中，若，。

保温特训(三) 三角与向量基础回扣训练1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－55，则tan α＝________.2．sin 2π4－cos 2π4的值是________．3．(2012·江苏百校联考)已知tan(α＋β)＝12，tan β＝－13，则tan α＝________. 4．(2012·南师大附中阶段测试)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD→＝14(AB →＋AC →)，AP→＝AD →＋15BC →，则S △APD S △ABC＝________. 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则△ABC 的面积为________．6．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝________.7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________.8．(2012·南师大附中阶段测试)若α，β∈(0，π)，cos α＝－750，tan β＝－13，则α＋2β＝________.9．在△ABC 中，若A ＝30°，b ＝2，且2BA →·BC →－AB →2＝0，则△ABC 的面积为________． 10．已知函数f (x )＝1－3sin 2x ＋2cos 2x ，则函数y ＝f (x )的单调递减区间为________．11．(2012·苏州调研)如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BDC ＝120°.BD ＝CD ＝10米．并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.12．(2012·江苏百校联考)在△ABC 中，AB 边上的中线CO ＝2，若动点P 满足AP→＝sin 2θ·AO →＋cos 2θ·AC →(θ∈R )，则(P A →＋PB →)·PC→的最小值是________．13．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，2]，则b －a 的取值范围是________．14．(2012·常州质量检测)已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC 的最大值为________．考前名师叮嘱1．在三角函数求值问题中，已知sin α，cos α，tan α，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任意一个，借助三角函数的定义及同角三角函数的基本关系等可以求其余五个；2．在三角函数图象变换中，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω，再确定平移的单位，根据φω的符号确定平移的方向；3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω＞0的最小正周期是2πω；y ＝A tan(ωx＋φ)，ω＞0的最小正周期是πω，如果没有ω＞0的限制，在公式中要对ω加绝对值；4．含有同一个角的正弦、余弦的三角恒等变换，要充分注意同角三角函数基本关系的应用，当求值的目标比较复杂时，要注意先变换求解目标，使之达到最简的形式，然后再根据这个结果，选用已知公式进行求解；5．在处理三角形中边角关系时，一般全部化为角的关系，或者全部化为边的关系，题中出现边的一次式，可以联想到正弦定理，出现边的二次式，可以联想到余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式的变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；6．向量的数量积与它们的模和夹角有关，所以数量积是解决长度、夹角(尤其是垂直)等问题的重要工具；7．坐标运算是向量的又一种运算，要明确向量平行与垂直的两个充要条件，然后由题设条件建立相关参数的方程组．参考答案 保温特训(三)1．解析 利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－255，所以tanα＝sin αcos α＝－255－55＝2.答案 22．解析 利用二倍角的余弦公式求解．sin 2π4－cos 2π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＝0.答案 03．解析 tan α＝tan[(α＋β)－β]＝12＋131－16＝1.答案 14．解析 取BC 的中点为P ，则AD →＝14(AB →＋AC →)＝12AP →，则点D 是中线AP 的中点，所以S △APD S △ABC ＝110.答案 1105．解析 由正弦定理得sin B ＝b sin Cc ＝12，所以B ＝π6＝A ，所以a ＝b ＝1，故△ABC 的面积为12ab sin C ＝34.答案 346．解析 因为函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，所以φ＝π2，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π2＝12.答案 127．解析 由诱导公式可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝29－1＝－79.答案 －798．解析 由条件得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－17，tan β＝－13，所以tan 2β＝－231－19＝－34，tan(α＋2β)＝－17－341－328＝－1，所以α＋2β＝11π4.答案 11π49．解析 因为2BA →·BC→－AB →2＝0，所以2ac cos B －c 2＝0⇒a 2＋c 2－b 2＝c 2⇒a ＝b ＝2，所以∠A ＝∠B ＝30°，∠C ＝120°，所以△ABC 的面积为12×2×2×32＝ 3.答案310．解析 因为f (x )＝1－3sin 2x ＋2cos 2x ＝2＋cos 2x －3sin 2x ＝2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z 时函数递减，所以递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z ) 11．解析 在△BCD 中，由余弦定理可得BC ＝103，在直角△ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30.答案 3012．解析 因为AP →＝sin 2θ·AO →＋cos 2θ·AC→(θ∈R )，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以C 、P 、O 三点共线，且sin 2θ，cos 2θ∈[0,1]，所以点P 在线段OC 上，设|PO →|＝t (t ∈[0,2])，故(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2t (2－t )(－1)＝2t 2－4t ，当t ＝1时，取最小值－2.答案 －213．解析 由条件可得，长度最小的定义域可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，此时b －a ＝3π4，长度最大的定义域可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，此时b －a ＝3π2，即b －a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π214．解析 由三角形的面积公式得12c 2＝12ab sin C ⇒c 2ab ＝sin C ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ⇒a b ＋b a ＝c 2ab ＋2cos C ＝sin C ＋2cos C ，所以AC BC ＋BCAC ＋AB 2BC ·AC ＝2sin C ＋2cos C ＝22sin⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4，最大值是2 2.答案 2 2。

2013高考数学二轮复习精品资料专题03 数列教学案（教师版） 【知识网络构建】【重点知识整合】 一、等差数列与等比数列 1．S n 与a n 的关系在数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，从而a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列性质如果数列{a n }是公差为d 的等差数列，则 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.(2)对正整数m ，n ，p ，q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝2a p ⇔m ＋n ＝2p .3．等比数列性质如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎨⎧a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.(2)对正整数m ，n ，p ，q ，a m a n ＝a p a q ⇔m ＋n ＝p ＋q ，a m a n ＝a 2p ⇔m ＋n ＝2p . 4．等差、等比数列S n 的性质若等差数列的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列；等比数列的前n 项和为S n ，则在公比不等于－1时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．5．等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差d 的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定．二、数列求和及数列应用 1．常用公式等差数列的前n 项和，等比数列的前n 项和， 1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16，13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.3．数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 4．数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型． 【高频考点突破】考点一 等差数列和等比数列的基本运算例1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n · 解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎨⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3时，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.【变式探究】S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6， a 4＝1，则a 5＝________.考点二 等差、等比数列的判定和证明数列{a n }是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．例2、已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝λa n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.(1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列； (2)当λ＝－12时，试判断数列{b n }是否为等比数列．(2)当λ＝－12时，a n ＋1＝－12a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.b n ＋1＝a n ＋1－2n ＋13＋49考点三 等差、等比数列的性质例3、等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点四数列求和数列求和的方法技巧：(1)转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．例4、等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n·【变式探究】等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列{1bn}的前n项和．解：(1)设数列{a n}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝1 9 .由条件可知q＞0，故q＝1 3 .考点五数列与函数、不等式例5、设b＞0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nban－1an－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.②当b≠1时，c n＋11－b＝1b(c n－1＋11－b)，且c1＋11－b＝1b＋11－b＝1b1－b，{c n＋11－b}是首项为1b1－b，公比为1b的等比数列，∴c n＋11－b＝1b1－b·(1b)n－1，由nan＋11－b＝11－b b n得a n＝n1－b b n1－b n，∴a n＝⎩⎨⎧1， b ＝1n 1－b b n1－bn，b ≠1.【难点探究】难点一 等差数列的通项、求和的性质例1、(1)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110(2)设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．难点二 等比数列的通项、求和的性质例2 (1)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 1·a 2·…·a 9＝________.【点评】 等比数列中有关系式a na m＝q n －m (m ，n ∈N *)，其中q 为公比，这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公式，即a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)，当m ＝1时就是等比数列的通项公式．难点三 等差、等比数列的综合问题例3 、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋54是等比数列．【分析】 (1)由条件可以先求得数列{b n }的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出b n ，(2)充分结合等比数列的定义不难证明．【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．难点四 数列求和及其应用例4、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识．本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项．难点五数列应用题的解法例5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等．(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器．从2011年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？(2)设一共用了n 天，则n 天的平均耗资为P (n )，则P (n )＝3.2×104＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n2n＝3.2×104n＋n 20＋9.92， 当且仅当3.2×104n＝n 20时P (n )取得最小值，此时n ＝800，故日平均耗资最小时使用了800天．【点评】 本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。

江苏省2013届高考数学复习填空题系列训练（9）江苏省泗阳中学 刘建中1．函数22log 1()log 1x f x x -=+,若12()(2)1f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２）,则12()f x x 的最小值为 ．2在该几何体的正视图中,的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 ．3．已知()sin()f x A x ωϕ=+,(),()0f A f αβ==,αβ-的最小值为3π,则正数ω= ．4．已知()log [(3)]a f x a x a =--是其定义域上的增函数,那么a 的取值范围是 ．5．设a R ∈,若函数3,axy e x x R =+∈有大于零的极值点,则a 的取值范围为 ．6．平面上给定5个点,这些点的连线互不平行、不垂直也不重合,从任何一点向其余4点两两之间的连线作垂线,如果不计已知的5个点,所有这些垂线间的交点数最多有 个．7．如果直线2y =与曲线y x a =+有两个交点,则实数a 的取值范围是 ． 8．设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ,若不等式22212n n S a a n λ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成立,则实数λ的最大值为 ．9．已知(3,0),A B -,O 为坐标原点,点C 在AOB ∠内,且60AOC ∠=︒,设()OC OA OB R λλ=+∈,则λ= ．10．如果关于x 的方程213ax x +=正实数解有且仅有一个,那么实数a 的取值范围为 ． 11．函数|)ln(||ln|)(22e x ex x f +=的最小值是 ． 12．a 、b 均为非负实数,且1243≤+b a ,则13+++a b a 的最大值是 ． 13．2()2,()2(0)f x x x g x ax a =-=+>,对10[1,2],[1,2],x x ∀∈-∃∈-使10()(),g x f x =则的取值范围是 ．14．若log 2,x y =-则x y +的最小值是 ．15x的图象大致形状是（）参考答案（9）1、23；2、4；3、32；4、(1,3]；5、3a <-；6、310；7、(2-；8、15；9、13 10、{}02a a a ≤=或；11、25；12、6；13、1(0,]2；14、2；14、BA B C D。

2013年高考数学专项训练（02）“恒成立”问题1．已知等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则在f 下 (4,3,2,1)的象是A.10B.7C.-1D.02．当|a|≤2时不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立，则x 的取值范围是A.(－∞,－1)B.(3,+∞)C.(－∞,－1]∪[(3,+∞)D.(－∞,－1)∪(3,+∞) 3．对于所有实数x ，不等式x a a x a a a a 22222241221140log ()log log ()+++++>恒成立，则a 的取值范围是A ．(0，1)B ．(1,+∞)C ．（0，1]D ．（－1，0)4．不论k 为何实数，直线y kx =+1与曲线x y ax a a 2222240+-+--=恒有交点，则a的范围是A ．[)1,3-B ．[3,1]-C ．(3,1)-D ．[1,3]- 5．若不等式na n n 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,3 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3 6．对于函数()1x f x x=+给出以下结论：（1）()f x 的定义域是(1,1)-；（2）12x x ≠⇒ 12()()f x f x ≠；（3）若定义1()f x = ()f x ，1()n f x += (())n f f x ，则()1n x f x n x=+对于任意正整数n 恒成立.其中正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．37.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．若使同时满足①②的所有x 的值满足③，则m 的取值范围是 .8. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 恒成立，则t 的取值范围是 .9．若对于任意角θ总有sin cos 22410θθ++-<m m 成立，则m 的范围是 。

1 2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分 专题六 第二讲 冲刺直击高考限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．某市甲、乙、丙3个区共有高中学生20 000人，且甲、乙、丙3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5.现要用分层抽样方法从该市甲、乙、丙3个区所有高中学生中抽取一个样本，已知从甲区中抽取了80人，则应从乙、丙2个区中共抽取( )A ．120人B ．200人C ．320人D ．400人解析：选C 由已知条件可得甲区高中学生人数为20 000×210＝4 000人，则应当从乙、丙2个区中共抽取804 000×(20 000－4 000)＝320人． 2．(2012·淄博模拟)一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为( )A ．120B ．80C ．15D ．150解析：选D 根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a <b 的概率为( )A.45B.35C.25D.15 解析：选D 取出的两个数用数对表示，则数对(a ，b )的不同选法共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中a <b 的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求事件的概率P ＝315＝15. 4．(2012·皖北四市联考)从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻排列的概率为( )A.15B.25C.310D.710解析：选B 从5张卡片中任取2张共有10个基本事件，即AB 、AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，。

2013年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2013•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x的最小正周期是π．=2．（4分）（2013•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70．解：在=703．（4分）（2013•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．≤4．（4分）（2013•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30．5．（4分）（2013•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34．，=log6．（4分）（2013•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要100cm2的铁皮．，rl=故答案为：7．（4分）（2013•奉贤区二模）若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一个次不动点．设函数f（x）=lnx与反函数的所有次不动点之和为m，则m=0．8．（4分）（2013•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），在复平面上的一点Z对应的复数z满足|z|=1，则|z﹣m﹣ni|的取值范围是[，]．=，故﹣+1[[，9．（4分）（2013•奉贤区二模）在极坐标系中，直线的位置关系是相离．解：直线﹣，即=10．（4分）（2013•奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（a x﹣b x）（a＞1＞b＞0），且a2=b2+1，则不等式f（x）＞0的解集是（2，+∞）．11．（4分）（2013•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．=12．（4分）（2013•奉贤区二模）设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d=．}与，}，两边平方得：②②﹣①得：．时，代入③解得故答案为13．（4分）（2013•奉贤区二模）椭圆上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B1，B2的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是2a．==|ON|=|=|ON|=|=2a14．（4分）（2013•奉贤区二模）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），当x∈[0，]时y=f（x）=．，轨迹方程为（点的最大横坐标为）为圆心，以（．．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.[，[，]16．（5分）（2013•奉贤区二模）设事件A，B，已知P（A）=，P（B）=，P（A∪B）=，则A，B之间的关系一定为（），，17．（5分）（2013•淄博一模）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，B，同理令所以此数列是首项为公比，以==18．（5分）（2013•奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则下列的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基，则∵三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•奉贤区二模）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．（1）求异面直线AC与B1D所成的角；（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．，所成的角为，则．．20．（14分）（2013•奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=﹣（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．）∵．海里，21．（14分）（2013•奉贤区二模）三阶行列式，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x），P={x|H（x）≤0}，（1）求集合P；（2）函数的定义域为Q，若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围．，元素）值，使成立，，则只需时，，22．（16分）（2013•奉贤区二模）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．）在）由①，得②，两式作差=，则，即①，得．时，{＜23．（18分）（2013•奉贤区二模）动圆C过定点F，且与直线相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0（1）求F（x，y）=0；（2）曲线Γ上的一定点P（x0，y0）（y0≠0），方向向量的直线l（不过P 点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k PA，k PB，计算k PA+k PB；（3）曲线Γ上的两个定点P0（x0，y0）、，分别过点P0，Q0作倾斜角互补的两条直线P0M，Q0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．的方程为作直线与定直线为焦点，为准线，方程为得=，，∴，得，）计算得．是定值，命题得证。