第3节运用公式法(1)

初二数学第二章 分解因式 第3节 运用公式法北师大版知识精讲例1. 把下列各式分解因式 （1）235y x x -（2）222224)(b a b a -+ （3）ab b a 2122-+- （4）22212+-x x解：（1）235y x x -＝))(()(3223y x y x x y x x +-=- （2）222224)(b a b a -+ ＝2222)2()(ab b a -+＝)2)(2(2222ab b a ab b a -+++ ＝22)()(b a b a -+ （3）ab b a 2122-+- ＝1)2(22-+-b ab a ＝1)(2--b a＝（a －b+1）（a －b －1） （4）22212+-x x 22)2(21)44(21-=+-=x x x说明：（1）一个多项式分解因式的一般步骤：先提取公因式，再运用公式法，而且一定要分解至不能再分解为止。

（2）运用公式法分解因式时，应仔细观察分析多项式的特征，只有在待分解的多项式完全符合公式的形式时，才能运用公式将其分解，所以，正确运用公式法分解因式应遵循如下三步：①准确理解公式，②正确选择公式，③灵活运用公式。

专题探索研究专题一、分组分解法在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。

例1. 将bc ac ab a -+-2分解因式，。

本题分组方法较多，可一、二项结合，也可一、三项结合。

解法1：原式＝a （a －b ）+c （a －b ）＝（a －b ）（a+c ） 解法2：原式＝a （a+c ）－b （a+c ）＝（a －b ）（a+c ）例2. 已知x －2y ＝3，求y x y xy x 634422+-+-的值。

分析：可将所求因式分解求值，分解时注意：五项式分组常为三项、两项，且把符合公式的分一组，所以前三项2244y xy x +-为一组，后两项为另一组。

第二章分解因式3．运用公式法（一）学生知识状况分析学生的技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。

学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。

教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

教学目标：知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。

过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力。

情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。

教学过程分析第一环节练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= 。

根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= 。

活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。

注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。

第二环节 想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。

第二章 分解因式2.3.1运用公式法（1）本节知识点：1. 会用平方差公式将多项式分解因式2.. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1用平方差公式分解因式形如22b a -的多项式分解因式的方法，即))((22b a b a b a -+=-，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。

笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。

（2）常见的公式变式有：○1位置变化：))((22y x y x y x -+=-；○2符号变化：))((22y x y x y x ----=-○3系数变化：○4指数变化：○5增项变化： [例题1] 把下列各式分解因式（1）21625x - （2）22419b a -[针对性训练1] 把下列各式分解因式（1）222m b a - （2）448116y x +-[例题2] 把下列各式分解因式（1）22)()(9n m n m --+ （2）x x 823-[针对性训练2] 把下列各式分解因式（1）22)()(b n a m +-- （2）22)(c b a x ++-当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

知识点2 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如222b ab a +±的多项式分解因式的方法，即222)(2b a b ab a +=+±，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。

[例题3] 将下列各式分解因式。

（1）49142++x x (2)9)(6)(2++-+n m n m[例题4] 将下列各式分解因式(1)22363ay axy ax ++(2)xy y x 4422+--[针对性训练3] 把下列各式分解因式（1）223612y xy x ++（2）422492416b b a a ++（3）229341n mn m ++（4）251036+-x x[针对性训练4]（1）222y x xy ---（2）2)(9)(124y x y x -+--。

§2.3运用公式法 （1）【学习目标】能运用平方差公式进行分解因式，充分了解平方差公式的特征。

【学习重点】掌握运用平方差公式分解因式【学前准备】1.写出分解因式的定义：2.什么叫提取公因式法3.提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？4.运用提公因式法分解因式：（1） ab a 842+ （2） 23212x x +-（3） ()()y x b y x a +++343 （4） ()()x y n y x m 222---（5） )(3)(22x y y x -+- （6） 32)(2)(5m n n m ---【师生探究合作交流】1.在多项式的乘法运算中()()__________=-+b a b a ，左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过就是： ____=()()b a b a -+，左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？_____________2.公式()()b a b a b a -+=-22的特点是： ①等号的左边是一个多项式，②这个多项式的每一项都能写成平方的形式，如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.特别提醒：公式中的字母a 和b 既可以代表一个单项式，也可以表示一个多项式。

3．例题例1、分解因式：（1） 9-4x 2解：9-4x 2 =( 3 2)-( 2)=(3+ )(3- ) (2) 2291x a -解：2291x a -=( 2)-( x 312)=( +x 31)( -x 31)(3) 12+-x解：12+-x =1-2x =( 2)-( 2) =( )( )(4)b m b a 22-解：例2、分解因式：(1) ()()229b a b a --+ (2) a a 823-解： 解：(3) ()()22c b a b a +--+ (4) ()222y x x --解： 解：【议一议】判断下列分解因式是否正确，若错误请改正．（1）222222)(c b ab a c b a -++=-+（2）)1)(1(1)(122224-+=-=-a a a a你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1.课本第1题写在书上2.把下列各式分解因式：① 222m b a - ② 241x +-③ ()()221--+x y x ④ 14-a⑤ ()()22c b a c b +--+ ⑥ 4416a x +-★3.如图，在一块边长为acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm 的正方形，求剩余部分的面积。

3.3 公式法（一）马田中学年级数学备课组主备：林国芳序号41学习目标：使学生了解运用公式法分解因式的意义；掌握用平方差公式分解因式。

重点：掌握运用平方差公式分解因式.难点：将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；教学过程一、创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式。

如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法。

二、新课讲解1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=___________________（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积。

大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？利用平方差公式进行的因式分解。

第（1）个等式可以看作是整式乘法中的__________公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的____________公式。

2.公式讲解如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）a2- b2= (a+b) (a-b)9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2=（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题例1把下列各式分解因式：（1）25 x2－16y2（2）9a2－b2.例2把下列各式分解因式:（1）（x+y）2－（x－y）2; （2）2x3－8x.补充例题：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）.三、课堂练习p64页第1、2、3题反思归纳。