整式的运算 因式分解复习

整式的运算、因式分解复习整式的运算一、基本概念回顾1.代数式用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.单项式数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.(1)单独的一个数或一个字母也是单项式.(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.3.多项式几个单项式的和叫做多项式.(1)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.(2)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.4.整式单项式和多项式统称整式.5.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.6.合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.二、基本运算法则1.整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.2.合并同类项法则合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变.3.添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.去括号法则去括号时，如果括号前面是正号，括号里的各项去掉括号后都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项去掉括号后各项都改变符号.4．整式的乘除（1）、幂的运算①同底数幂的乘法法则：a m﹒a n=a m+n（m，n都是正整数）同底数幂的乘法的逆运算：a m+n= a m﹒a n（m，n都是正整数）②幂的乘方法则：（a m ）n =（a n ）m =amn （m ，n 都是正整数） 幂的乘方的逆运算：a mn =（a m ）n =（a n ）m （m ，n 都是正整数）③积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 积的乘方的逆运算：a n b n =（ab ）n （n 为正整数）④同底数幂的除法法则：a m ÷a n =am-n （a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂的除法的逆运算：a m-n = a m ÷a n （a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）⑤零次幂和负整数指数幂的意义：（1）a 0=1（a ≠0） (2)p p a a1=-（a ≠0，p 为正整数） （2）、单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．（3）、单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．（4）、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（5）、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（6）、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.（7）、乘法公式：平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a2－b 2 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2分解因式1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．※分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：（1）提公因式法：=++mc mb ma ___________.※提取公因式的关键是确定公因式，关键是一看系数，二看相同字母或因式.（2） 公式法: ⑴ =-22b a ； ⑵ =++222b ab a ，⑶=+-222b ab a .※运用公式法，首先看项数：若是两项，首先考虑运用平方差公式；若是三项式，则考虑完全平方公式3．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．4．因式分解在整式求值、分式化简中的应用三、例题讲解1、下列式子中那些是单项式，那些是多项式？3xy ，5a ，－34xy 2z ，a ，x －y ，1x ，0，3.14，－m ，－m+1．单项式： 多项式：2、 若单项式-3a 2-m b 与b n+1a 2是同类项，求代数式m 2-(-3mn+3n 2)+2n 2的值.(分析)先通过-3a 2-m b 与b n+2a 2是同类项这一条件，将m,n 的值求出，然后再化简求值.解：∵-3a 2-m b 与b n+1a 2是同类项，∴⎩⎨⎧+==-,11,22n m ∴⎩⎨⎧==.0,0n m m 2-(-3mn+3n 2)+2n 2=m 2+3mn-3n 2+2n 2=m 2+3mn-n 2，当m=0,n=0时，原式=02+3×0×0-02=03、已知2-a +(b+1)2=0，求5a b 2-[2a 2b -(4a b 2-2a 2b)]的值.(分析)利用2-a +(b+1)2=0，求出a ，b 的值，因为绝对值和平方都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们每一个都是0. 解：∵2-a +(b+1)2=0，且2-a ≥0，(b+1)2≥0，∴⎩⎨⎧=+=-,01,02b a ∴⎩⎨⎧-==.1,2b a5a b 2-[2a 2b-(4ab 2-2a 2b)]=5a b 2-(2a 2b-4ab 2+2a 2b )=5ab 2-2a 2b+4ab 2-2a 2b=9a b 2-4a 2b当a=2,b=-1时，原式=9×2×(-1)2-4×22×(-1)=18+16=34.整体代入法：不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等.4、已知x 2+4x-1=0，求2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值.(分析)由x 2+4x-1=0就目前知识水平求x 的值是不可能的，但是，我们可以把x 2+4x 化成一个整体，再逐层代入原式即可.解：∵x 2+4x-1=O ，∴x 2+4x=1.∴2x 4+8x 3-4x 2-8x+1=2x 2(x 2+4x)-4(x 2+4x)+8x+1=2x 2·1-4×1+8x+1=2x 2+8x-3=2(x 2+4x)-3=2×1-35、已知x 2-x-1=0，求x 2+21x的值. 解：∵x 2-x-1=0,∴x ≠0. ∴x-x 1=1, ∴x 2+21x =(x-x 1)2+2·x ·x 1=12+2=3. 换元法：出现分式或某些整式的幂的形式时，常常需要换元.6、已知b a b a +-2=6，求代数式b a b a +-)2(2+)2()(3b a b a -+的值. (分析) 给定的代数式中含a ，b 两个字母，一般地，只有求出a,b 的值，才能求出代数式的值，本题显然此方法行不通. 由于题中b a b a +-2与b a b a -+2互为倒数，故将ba b a +-2看成一个整体. 解：设b a b a +-2=q ，则q b a b a 12=-+,∴原式=2q+q3.又∵q=6,∴原式=2×6+63=1221.7、已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==二、同步练习1、（2010眉山）把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x -2、（2010济宁）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是( )A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -3、(2010安徽)下列因式分解错误的是（ ）A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+ 5、(2010芜湖)因式分解：9x 2－y 2－4y －4＝__________．6、(2010崇文) 分解因式：32232a b a b ab -+=7、（2010嘉兴）因式分解：2mx 2－4mx ＋2m ＝ 8、(2010聊城)分解因式：4x 2－25＝________9、(2010绍兴)因式分解：y y x 92-=_______________.11、（2010益阳）若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ． 12、（2010济宁）若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是 ．13、(2008成都)已知113y x =-，那么2212323x xy y -+-的值是________14、（2009孝感）已知1,1x y ，求下列各式的值.2222(1)2;(2).x xy y x y ++-15、已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.16、化简求值：2()()()m n m n m n +++⋅-，其中1m n ==17、已知实数,a b 满足22()1,()25a b a b +=-=，求22a b ab ++18、()的值。

是同类项，求与若1001213315-n m a b ba n m -++ 若1)2(2+++b a =0,求{})]24(3[2522222b a ab ab b a ab ----的值。