整式的乘法和因式分解
一、整式的运算
1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值；
2、若32=n a
，则n a 6= . 3、若12551
2=+x ，求x x +-2009)2(的值。
4、已知2x +1⋅3x -1=144，求x ；
5．2005200440.25⨯= .
6、( 23
)2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。
7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项
8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值
二、乘法公式的变式运用
1、位置变化，(x +y )(-y +x )
2、符号变化，(-x +y )(-x -y )
3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)4
4、系数变化，(2a +b )(2a -b )
5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z )
7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)
8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2
三、乘法公式基础训练:
1、计算 （1）1032 （2）1982
2、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )2
3、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)
4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）
22007200720082006
-⨯． 四、乘法公式常用技巧
1、已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
变式练习：已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
3、已知a －
a 1=3，求a 2+21a 的值。
变式练习：已知a 2-5a +1=0，（1）求a +
a 1的值；（2）求a 2+21a
的值；
4、已知a (a -1)-(a 2
-b )=2，求22
2
a b ab +-的值。
变式练习：已知()()212
-=---y x x x ，则xy y x -+22
2= .
5、已知x 2+2y 2+4x -12y +22=0，求x+y 的值
变式练习：已知2x 2+6xy +9y 2-6x +9=0，求x+y 的值
6、已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ，
求ac bc ab c b a ---++222的值。
变式练习：△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，判断△ABC 的形状
7、已知：x 2-y 2
=6，x+y=3,求x-y 的值。
变式练习:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
五、因式分解的变形技巧
1、符号变换:有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。
体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)
指点迷津y-x= -(x-y)
实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2
2、系数变换:有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。
体验题2 分解因式4x2-12xy+9y2
实践题2 分解因式
2 2
1
439
xy y x++
3、指数变换:有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。
体验题3 分解因式x4-y4
指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。
实践题3 分解因式a4-2a4b4+b4
4、展开变换:有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。
然后再分组。
体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab
指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。
然后分组。
实践题4 x(x-1)-y(y-1)
5、拆项变换:有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。
这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。
体验题5 分解因式3a3-4a+1
指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。
三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。
所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。
实践题5 分解因式3a3+5a2-2
6、添项变换:有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。
既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。
然后再考虑用其它的方法。
体验题6 分解因式x 2+4x-12
指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。
与完全平方式很象。
因此考虑将其配成完全平方式再说。
实践题6 分解因式x 2-6x+8
实践题7 分解因式a 4+4
7、换元变换:有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。
然后再考虑用公式法或者其它方法。
体验题7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
实践题8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9
实践题答案
实践题1 原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2
实践题2 原式=(2x )2+2.2x •3y •+(3y )2=(2x +3
y )2 实践题3 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2
实践题4 原式= x 2-x-y 2+y=(x 2-y 2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)
实践题5 原式=3a 3+3a 2+2a 2-2=3a 2(a+1)+2(a 2-1)
=3a 2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a 2+2a-2)
实践题6 原式=x 2-6x+9-9+8=(x-3)2-1=(x-3)2-12
=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)
实践题7 原式=a 4+4a 2+4-4a 2=(a 2+2)2-4a 2
=(a 2+2+2a)(a 2+2-2a)=(a 2+2a+2)(a 2-2a+2)
实践题8 原式=[x(x+5)][(x+2)(x+3)]+9=(x 2+5x)(x 2+5x+6)+9
令x 2+5x=m,上式可变形为m(m+6)+9=m 2+6m+9=(m+3)2=(x 2+5x+3)2。
