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§4.1 矩阵的概念11112211211222221122n n n n s s sn n s a a x x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1. 线性方程组的解取决于()1,,,1,,,ij a i s j n ==⋯⋯系数()1,2,,i b i s =⋯常数项一、矩阵概念的引入11121121222212n n s s sn s a a a b a a b a a a a b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为为了便于计算,把表中的0,就得到一个数表二、矩阵的概念111212122212n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋮⋮⋮⋯().ij s n A a ×=简记为数 称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.定义由数域 上个数排成的 行 列的数表s n ×s n P 称为数域 上一个矩阵,s n ×P注意：矩阵与行列式有本质的区别行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值.而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.三、矩阵的相等1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,,列数相等时列数相等时,,称为同型矩阵.例如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛9348314736521与为同型矩阵.(),(),ij m n ij k l A a B b ××==2.设矩阵 若(1) A 与B 是同型矩阵;,1,,,1,,ij ij a b i m j n ===⋯⋯(2)则称矩阵A 与B 相等，记作 A ＝B ．称为矩阵A的行列式(2)只有一行的矩阵(),,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).。
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第四章 矩阵（ * * * ）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。
在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。
总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。
二、考点精讲：（一） 基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a aa a a212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。
（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。
（3）称⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 E 为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。
（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
（7）伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。
