30《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(基础)

.后《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().2.时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是().A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在△R t ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2B．60，2C．60，D．60，6.（2015乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在平面直角坐标系中，将点 A 1(6，1)向左平移 4 个单位到达点 A 2 的位置，再向上平移 3 个单位到 达点 A 3 的位置， △A 1A 2A 3 绕点 A 2 逆时针方向旋转 900，则旋转后 A 3 的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015 扬州）如图，已知 △Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4△，将 ABC 绕直角顶点 C 顺时 针旋转 90°△得到 DEC ．若点 F 是 DE 的中点，连接 AF ，则 AF=．10.如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm ，正方形 AEFG 的边长为 1cm ．如果正方形 AEFG 绕点 A 旋转，那么 C 、F 两点之间的最小距离为 _________ cm ．11．绕一定点旋转 180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明 发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于 180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写 出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在 △R t ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4cm ，以斜边 BC 上距离 B 点cm 的 H 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 △90°至 DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm 2．13．如图，直角梯形 A BCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 ED ，连 接 AE 、△D E ， ADE 的面积为 3，则 BC 的长为_________．14. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACP ′重合，如果 AP=3，那么线段 PP ′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P 0 的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段 OP 0 按逆时针方向 旋转 45°，再将其长度伸长为 OP 0 的 2 倍，得到线段 OP 1；又将线段 OP 1 按逆时针方向旋转 45°，长 度伸长为 OP 1 的 2 倍，得到线段 OP 2，如此重复操作下去，得到线段 OP 3，OP 4，…，则：（1）点 P 5 的坐标为__________；（2）落在 x 轴正半轴上的点 P n 坐标是_________，其中 n 满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点 P 0 的坐标为(1，0)，将点 P 0 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P 1，延长 OP 1 到点 P 2，使 OP 2=2OP 1，再将点 P 2 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P 3，则点 P 3 的坐标 是__________.三 综合题17. 如图，已知，点 P 是正方 ABCD 内一点，且 AP ∶BP ∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB ＝135°．18.如图，已知点 D 是△ABC 的 BC 边的中点，E 、F 分别是 AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ．求证： BE + CF ＞EF得19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1△，在ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°△到A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰△Rt ABC．边AB=4，P△为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.A 2 ，【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每 5 分钟转动 30.3．【答案】A.【解析】 因为以 M 或 O 或 N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B.【解析】根据题意画出△AOB 绕着 O 点顺时针旋转 120°得到的△COD，连接 OP ，OQ ，过 Q 作 QM⊥y轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在 Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴MQ=1，OM= ，则 P 的对应点 Q 的坐标为（1，﹣ ），故选 B7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】 （2,1),A 3 (2,4), 即旋转 90°后 A 3坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作 FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90° ∵点 F 是 DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF= CD= AC=3EG= EC= BC=2∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．1212310.【答案】32；【解析】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC和△FHG是等腰直角三角形，且腰长为13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD的延长线于点G,则AD=BF,，即得.可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为s△ADE3，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32.15．【答案】(1),（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是，其中n满足的条件是n=8k（k=0，，，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得P,P的坐标，即可求得P坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′=BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′=AP=k，则BP′=BP=2k，CP=3k，在△R t BP′P中，BP′=BP=2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2=CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°△得到A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵△Rt ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°△得到A'P'B．则A'B=AB=BC=4，P A=P′A′，PB=P′B，∴P A+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=P A+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在△Rt A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2故答案是：2+2（或不化简为（或不化简为）．）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF.。

《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一、选择题1．（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．65°2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于（）.A.60°B.105°C.120°D.135°3. 如图，如果一个四边形ABCD旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中心的点有（）个．A、1B、2C、3D、4第2题第3题第4题4．如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）.A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）5. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为( ).A. B. C. D.6．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）.A．90°B．60°C．45°D．30°第5题第6题7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是( ).A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的8．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( ).A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)二. 填空题9. 正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.10.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_________．11．（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．12如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结FE,此时△AEF是＿＿＿．如果FB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是＿＿．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．第12题第13题第14题14. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于__________．15. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．第15题第16题16．如图所示，将△ABC沿AB翻折后形成△ABE，再将△ABE绕点A顺时针旋转一定角度后，使点E与点C重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．三综合题17．（2015•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．18. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．求证：BP=CP．19.已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．20. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图 1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．2．【答案】B.【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.2题图 5题图3．【答案】C.【解析】旋转中心的点分别是点D,点C,和线段DC 的中点. 4．【答案】C. 5．【答案】C. 【解析】，∴ADPB s'四边形=332=63⨯∴3=1-3s 阴影. 6．【答案】 C.【解析】旋转的角度应该是45°的倍数. 7．【答案】 B. 8.【答案】 A.【解析】逆时针旋转90°，点A ′在第二象限，利用三角形全等可得. 二、填空题 9.【答案】12O. 10.【答案】21-；【解析】∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC ′=∠C ′=45°， ∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD=BC=1，AF=FC ′=AC ′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1． 故答案为：21-.11．【答案】31+.【解析】如图，连接AM ，由题意得：CA=CM ，∠ACM=60°， ∴△ACM 为等边三角形，∴AM=CM ，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°； ∵∠ABC=90°，AB=BC=， ∴AC=2=CM=2，∵AB=BC ，CM=AM ， ∴BM 垂直平分AC ，∴BO=AC=1，OM=CM •sin60°=，∴BM=BO+OM=1+， 故答案为：1+． 12．【答案】等腰直角三角形；9.【解析】由△ABF ≌△ADE ，得到AF=AE,∠BAF=∠DAE,即△AEF 是等腰直角三角形.12题图 13题图 13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs=△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】25.【解析】∵AE=2231+=10=AE ′，∴EE ′=102=25⨯.15．【答案】(b+1,1-a).【解析】因为AC=b ，BC=a-1, 所以BD=b ，A ′D=a-1,又因为点B(1,0),所以OD=b+1,A ′D=a-1,因为点A ′在第四象限，所以点A ′（b+1，a-1）. 16．【答案】80°. 三.解答题17.【解析】解：（1）A （3，2）、B （3，5）、C （1，2）关于x 轴的对称点分别为A 1（3，﹣2）， B 1（3，﹣5），C 1（1，﹣2）， 如图所示，（2）①∵A （3，2）、B （3，5）、C （1，2）， ∴AB=3，AC=2，BC=，∵，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴∠CAB=90°，∵AC 与AC 2的夹角为∠CAC 2，∴旋转角为90°；②∵AB=AB2=3，∴CB2=AC+AB2=5，∴B2的坐标为（6，2）．18.【解析】证明：将△ABP沿逆时针旋转至△ACQ的位置，则有△ABP≌△ACQ．∴AP=AQ，∠APB=∠AQC，BP=CQ．∵∠APB=∠APC，∴∠APC=∠AQC．连结PQ．则有∠1=∠2，∴∠APC-∠2=∠AQC-∠1，即：∠3=∠4，即在△CPQ 中，有CP=CQ．∴BP=CQ.∴BP=CP．19.【解析】，(1)AE与BF平行且相等，∵ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC•与△FEC关于C点中心对称，∴AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE为平行四边形，•∴；(2)∵AC=CF，∴S△BCF=S△ABC=3，∵BC=CE，∴S△ABC=S△ACE=3，∴S△CEF=S△BCF=3，∴S□ABFE=3×4=12(cm2)．(3)当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴AB=BC=CA,∴AF=BE,∴平行四边形ABFE为矩形.20.【解析】（1）①S阴影=②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.。

《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转【高清课堂:高清ID号： 388636关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-3】3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证： 222=BD AB BC +．【思路点拨】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形. 【答案与解析】∵AD=CD ，∠ADC=60°∴△ABD 绕点D 顺时针旋转60°，得到△ECD ， ∴∠ADC=∠BDE=60°，△BAD ≌△ECD ． ∴BD=DE ，∴△BDE 为等边三角形． ∴BE=BD ．∵在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°， ∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DCB +∠DCE=270°． ∴∠BCE=90°．∵在Rt △BCE 中，222BE BC CE =+， ∴222BD BC AB =+．【总结升华】利用旋转构造直角三角形，再用勾股定理是解决此类问题的捷径. 举一反三：（1）求∠ABC 的度数．（2）以点A 为中心，把△ABD 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． （3）求BD 的长度．【答案】∴BC=4， ∴∠ABC=30°（2）如图所示：ABCD（3）连接BE．由（2）知：△ACE≌△ADB，∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，∴∠EBC=90°，又BC=2AC=4，4. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF，分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有_____.【思路点拨】可以考虑运用全等三角形的知识证明，也可以考虑运用旋转来证明.【答案与解析】①②③⑤方法一：这个问题的题目原型，我们在初二学习全等三角形时已经处理过∵P为BC中点∴易证于P且在△AEP与△CFP中，∴△AEP≌△CFP(ASA)方法二：现在学习了旋转后，我们可以从一个新的角度去看旧问题.我们可以看到△AEP可以看作是由△CPF旋转后得到的，因而易知AE=CF∠APE=∠CPF又EP=FP ，可知△EPF 为等腰直角三角形而由旋转也可知S 四边形AEPF =S △AEP +S △AFP =S △CFP +S △AFP =S △APC而对于④来说，只有在EF ∥BC 时，，是特殊情况.【总结升华】运用旋转思路解题的前提是要有公共顶点的相等的线段. 【高清课堂:高清ID 号：388636 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4-5】5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC ， （1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90°即∠PAB+∠BAE=90°又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP∴∠PAB+∠BCP=90又∵∠ABC=90°∴点A,P,C三点共线，即P必在对角线AC上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，，K为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.如图所示，在图甲中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120旋转二次得到右边的图形．下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( ).7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. 如图所示，过正方形的中心C和边上一点A随意连一条曲线，将所画的曲线绕C点，按同一方向连续旋转三次，每次的旋转角度都是90°，这样就将四边形分成四部分，这四部分之间的关系是_______．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M或O或N为旋转中心两个图形能够完全重合.4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】D.【解析】图形应该首先是旋转图形，选项D 不是旋转图形. 7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】全等形.10.【答案】【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=．故答案为：11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°. 12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′= 15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P中，BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.证明：设AF与DC交点为G.∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，∴∠BCD=∠ACF.∴△ACF≌△BCD.∴AF=BD.∴∠AFC=∠BDC.∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=DGA，∴∠BDC+∠DGA=90°.∴AF⊥BD.∴AF=BD且AF⊥BD.(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.图形不唯一，只要符合要求即可.如：①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时.20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.。

《旋转》专题第三讲：《旋转》全章复习与巩固北京四中 范兴亚引例：1、如图，C 为BD 上一点，分别以BC 和CD 为边向同侧作等边ABC ECD ∆∆、，AD 和BE 相交于点M ．①探究线段BE 和AD 的数量关系和位置关系．在图中你还发现了什么结论？②当ECD ∆绕点C 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时，线段BE 和AD 有何关系？在转动的过程中，特别是在一些特殊的位置，你还会发现什么结论？有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢？③如图，当转动到A 、D 、E 在一条直线上时，若BE=15cm ，AE=6cm ，求CD 的长度及∠AEB 的度数。

思考：在当ECD ∆绕点C 在平面内顺时针转动时，你能求出线段BE 的取值范围吗？当D在等边△ABC内部运动时，DA+DB+DC有无最值？2、如图，D是等边△ABC内一点，将△ADC绕C点逆时针旋转，使得A、D两点的对应点分别为B、E，则旋转角为______，图中除△ABC外，还有等边三角形是_____．3、已知E为正△ABC内任意一点．求证：以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°，求构成的三角形各角的度数.例1、已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC例2:如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ．求证：BD 2=AB 2+BC 2．例3、正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A ，点G 、E 分别在线段AD 、AB 上（1）如图连结DF 、BF ，试问：当正方形AEFG 绕点A 旋转时，DF 、BF 的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例。

（2）若将正方形AEFG 绕点A 顺时针方向旋转，连结DG ，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG 的长度相等，并画图加以说明。

初中数学旋转巩固练习一、单选题1.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转了( ).A. 75°B. 60°C. 45°D. 1 5°2.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A. （2，5）B. （5，2）C. （4，）D. （，4）3.如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（）A. 4B. 12C. 6D. 34.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标中，点P（－3，5）关于原点的对称点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.7.风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（）A. B.C. D.8.平面直角坐标系内一点P（－2,3）关于原点对称的点的坐标是（）A. （3，－2）B. (2,3）C. （－2，－3）D. (2，－3）二、填空题9.如图，将△ABC（其中∠ABC = 60°，∠C = 90°）绕点B按顺时针转动一个小于180°的角度到△的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角度的大小等于________度10.作点A关于点O的对称点时,连接AO并延长________,即可得到点A的对称点;作某个图形关于点O的对称图形时,先作出图形的________关于点O的对称点,然后顺次连接各对称点即可.11.如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，使点C的对应点D恰好落在边AB上，E为点B的对应点．设∠BAC＝α，则∠BED＝________.（用含α的代数式表示）12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是________．13.上图中的△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转180°后得到的图形，根据旋转的性质回答下列问题：（1）PA与PA′的数量关系是________。

《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．举一反三： 【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．类型三、平移、轴对称、旋转3.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ． 求证： 222=BD AB BC ．举一反三：（1）求∠ABC 的度数．（2）以点A 为中心，把△ABD 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．ABCD（3）求BD 的长度．4. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：①AE=CF ；②∠APE=∠CPF ；③△EPF 是等腰直角三角形；④EF=AP ；⑤；当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时，(点E 不与A ，B 重合)，上述结论中始终正确的序号有_____.5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC ， （1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，，K为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.如图所示，在图甲中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120旋转二次得到右边的图形．下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( ).7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. 如图所示，过正方形的中心C和边上一点A随意连一条曲线，将所画的曲线绕C点，按同一方向连续旋转三次，每次的旋转角度都是90°，这样就将四边形分成四部分，这四部分之间的关系是_______．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.。

旋转一.知识框架二．知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

）2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

3．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

一、精心选一选 (每小题3分，共30分)1．下面的图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．平面直角坐标系内一点P（－2,3）关于原点对称的点的坐标是（）A ．（3，－2）B ． (2,3）C ．（－2，－3）D ． (2，－3）3．3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（ ）A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张 4．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）5．如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称C ．绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称 D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格6．从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（ ）A ．A N E GB ．K B X NC ．X I H OD ．Z D W H7．如图4，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）A ︒30B ︒45C ︒60D ︒909．如图5所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的个数是（ ） A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图6，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADEABCABCDABCDE图6图4图5图图12都是直角，点C 在AE 上，ΔABC 绕着A 点经过逆时针旋转后能 够与ΔADE 重合得到图7，再将图23—A —4作为“基本图形”绕 着A 点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（ ）A ．45°，90°B ．90°，45°C ．60°，30°D ．30°，60二、耐心填一填（每小题3分，共24分）11．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被_____________平分.12．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____________．13．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_____________． 14．如图8，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB ′C ′，则△ABB ′是 三角形.15．已知ａ＜0，则点Ｐ（ａ2，－ａ＋3）关于原点的对称点Ｐ1在第＿＿＿象限16．如图9，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是 ．17．如图10，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是＿＿＿.18．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD ＝ 。

专题23.8 《旋转》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下面四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ）A ．△AODB ．△AOBC ．△BOCD ．△AOC4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()5,1-，将OA 绕原点按逆时针方向旋转90︒得OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．()5,1-B ．()1,5--C ．()5,1--D ．()1,5-5．如图，在△ABC 中，△CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB 'C '的位置，使CC ′△AB ，则旋转角的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．656．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（ ）A ．()4,2-B ．(-C ．()2-D ．(-7．平面直角坐标系内一点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，－3）D ．（2，3）8．已知点()2,4P a a --关于原点对称的点在第三象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图所示，在33⨯的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P （3，60°）或P （3，-300°）或P （3，420°）等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是（ ）A ．()3,240Q ︒B ．()3,450Q -︒C ．()3,600Q ︒D ．()3,120-︒二、填空题11．若()23140a b -+-=，则点A （a ，b ）关于原点对称的点的坐标为_______． 12．如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =，则BB '的长为______．13．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置，则旋转角等于 _____度．14．如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，3PA =，4PB =，5PC =．则APB ∠的度数为_________．15．如图，将ABC绕点A逆时针旋转120°，得到ADE．若点D在线段BC的延长线上，则B∠=___________．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若12AC=，1AB=，90BAC∠=︒，则AE的长是____________．18．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图△，当点E在射线CB上时，E点坐标为__________；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角α的度数是__________（α为锐角）．三、解答题19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上．(1)将ABC 向左平移6个单位长度得到111A B C △，请画出111A B C △； (2)画出111A B C △关于点O 的中心对称图形222A B C △；(3)若将ABC 绕某一点旋转可得到222A B C △，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．20．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE平分CED∠；(2)连接BD，求证：90∠=︒．DBC21．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC=1，求线段BD的长．22．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；拓展运用(2)若B、C、E三点不在一条直线上，△ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．23．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，BFC△绕着点B按逆时针方向旋△重合．转90︒后与BEA(1)如图①，若正方形ABCD的边长为2，1BE=，FC=AE△BF．(2)如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点(点F不与点A、C重合)，试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．24．探究问题：（1）方法感悟：如图△，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足45EAF ∠=︒，连接EF ，求证DE BF EF +=．感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB AD =，BG DE =，12∠=∠，90ABG D ∠=∠=︒， 9090180ABG ABF ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．4523904545EAF BAD EAF ∠=︒∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒．12∠=∠，1345∴∠+∠=︒． 即GAF ∠=∠ ． 又AG AE =，AF AF =GAF ∴∆≅ ．∴ EF =，故DE BF EF +=．（2）方法迁移：如图△，将Rt ABC ∆沿斜边翻折得到ADC ∆，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且12EAF DAB ∠=∠．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． （3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD 中，AB AD =，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足12EAF DAB ∠=∠，试猜想当B 与D ∠满足什么关系时，可使得DE BF EF +=．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．参考答案1．C【分析】把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【分析】根据轴对称图形和旋转图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；图形旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度，这个点就是它的旋转中心，这个角就叫旋转角，行逐一判断即可．解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不包含图形的旋转，不符合题意；C 、只是轴对称图形，没有旋转，不符合题意；D 、既有轴对称，又有旋转，符合题意； 故选D.【点拨】此题主要考查图形的旋转以及轴对称图形的概念，熟练掌握，即可解题． 3．D 【分析】根据旋转角的定义：图形在作旋转运动时，一个点与旋转中心的连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角即为旋转角，进行判断即可．解：由图可知，AOC ∠与BOD ∠均为旋转角 故选D ．【点拨】本题考查了旋转角的定义．解题的关键在于熟练掌握旋转角的定义． 4．B 【分析】根据题意证得△AOC △△OBD ，可得结论． 解：如图，根据题意得△△AOB =90°，△ACO =△BDO =90°，OA =OB ， △△AOC +△BOD =90°，△AOC +△OAC =90°， △△BOD =△OAC ， △△AOC △△OBD ， △BD =OC ，OD =AC ，△点A 的坐标为()5,1-，△BD =OC =1，OD =AC =5，△()1,5B --．故选：B ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．5．C【分析】根据两直线平行，内错角相等可得ACC CAB '∠=∠,根据旋转的性质可得AC AC '=，然后利用等腰三角形两底角相等求得CAC '∠，再根据CAC '∠是旋转角即可求得结论．解：△CC AB '∥，△65ACC CAB '∠=∠=︒，△△ABC 绕点A 旋转得到AB C ''△，△AC AC '=，△180218026550CAC ACC ''∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒△50CAC BAB ''∠=∠=︒，即旋转角为50°，故选：C ．【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．D【分析】过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出△COE =45°，OC C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，求出△C 1OF =30°，利用勾股定理求出OF ，即可得到答案．解：过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，△四边形ABCD 是矩形，△AD =BC ，AB =CD ，AD ∥BC ，△CDA =△DAB =90°，△△HCD =△ADO =△BAG ，△△CHD =△BGA =90°，△△CHD △△AGB （AAS ），△1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，△CH =AG =5-1=4，DH =BG =2，△OH =2+2=4，△C （4，4），△OE =CE =4，△△COE =45°，OC如图，过点C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，△△C 1OF =30°，△C 1F =12OC 1=12OC ，△OF =△点C 1的坐标为(-，故选：D ．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．C【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．解：点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）故选：C．【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．D【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．解：△点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，△点P在第一象限，△20 40aa-⎧⎨-⎩＞＞，△24＜＜a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：D．【点拨】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．9．C【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．解：如图所示：5种不同的颜色即为使整个图案构成一个轴对称图形的办法．故选：C．【点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称定义得出是解题关键．10．B【分析】根据中心对称的性质解答即可．解：△P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．【点拨】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．11．（13，﹣4）【分析】根据绝对值和偶次幂都具有非负性可得3a﹣1＝0，b﹣4＝0，算出a、b的值，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．解：由题意得：3a﹣1＝0，b﹣4＝0，解得：a 13=，b ＝4， 则点A （13，4）关于原点对称的点的坐标为（13-，﹣4）， 故答案为：（13-，﹣4）． 【点拨】此题主要考查了非负数的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是正确计算出a 、b 的值．12．12【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得AC ，然后根据中心对称的性质即可求解． 解：在Rt △ABC 中，△90C ∠=︒，△B =30°，AC =3，△AB =2AC =6，又△点B 和点B ′关于点A 对称，△BB ′=2AB =12．故答案为12．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．60【分析】根据题意由旋转的性质可得△BAD =△CAP ，即可求△BAC =△DAP =60°，即可求解． 解：△△ABC 是等边三角形，△△BAC =60°，△将△ABD 经过一次逆时针旋转后到△ACP 的位置，△△BAD =△CAP ，△△BAC =△BAD +△DAC =60°，△△P AC +△CAD =60°，△△DAP =60°；故旋转角度60度.故答案为：60．【点拨】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．14．150︒【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ，则△BCQ△△BAP，所以△PBQ=60°，BP=BQ，可知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，由勾股定理逆定理可知△PQC是直角三角形，△PQC=90°，则通过△APB=△PQB +△PQC即可求出．解：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ．由旋转性质可知，△BCQ△△BAP△CQ=P A=3，BP=BQ，△BQC=△APB△△PBQ=60°，BP=BQ，△△BPQ是等边三角形，△PQ=PB=4，△PQB=60°△PC=5△在△PQC中，222222435+=+==PQ CQ PC△△PQC是直角三角形△△PQC=90°△△BQC=△PQB +△PQC =60°+90°=150°，△△APB=150°．【点拨】本题综合考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的技巧是通过图形旋转将已知各边转化到同一个三角形中，并构成一个直角三角形．15．30°【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、△BAD＝120°，再根据等腰三角形的性质可求出△B的度数，此题得解．解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，△BAD＝120°，△△B＝△ADB＝12×（180°−120°）＝30°．故填：30°.【点拨】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出△B的度数是解题的关键．16．【分析】如图，连接，AC，BD．过点O作OM△AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．解：如图，连接，AC，BD．△O是矩形的对称中心，△O也是对角线的交点，过点O作OM△AD于点M交BC于点N．△四边形ABCD是矩形，△OA=OD=OB，△OM△AD，△AM=DM=12AD=12BC=4，△OM=12AB=3，△AE=2，△EM=AM-AE=2，△OE同法可得OF△OE+OF故答案为：【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17【分析】根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及△D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．解：△△DEC与△ABC关于点C成中心对称，△△ABC△△DEC，△AB＝DE＝1，AC＝DC＝1，△D＝△BAC＝90°，2△AD＝1，△△D＝90°，△AE【点拨】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键．18．（4，60°【分析】（1）依题意得，点E在射线CB上，横坐标为4，根据勾股定理可得纵坐标，进而得出点E的坐标．（2）已知△BCD=60°，△BCF=30°，然后可得△α=60°．解：（1）△OC=4，△当点E在射线CB上时，点E横坐标为4，△FC=4，EF=6，△EC=△E（4，，故答案为：（4，；（2）当△CBD是等边三角形时，△BCD=60°，△旋转角a 的度数是60°，故答案为：60°．【点拨】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握旋转的性质以及矩形的性质．19．(1)作图见分析(2)作图见分析(3)()3,0；180︒【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出1A ，1B ，1C 的对应点2A ，2B ，2C ；（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心.(1)解：如图，点A ，B ，C 的坐标分别是()2,5，()1,1，()4,2，将ABC 向左平移6个单位长度后，点A ，B ，C 的对应点分别为点1A ，1B ，1C ， △点1A ，1B ，1C 的坐标分别是()4,5-，()5,1-，()2,2-，将点1A ，1B ，1C 顺次连接得111A B C △，△111A B C △即为所作；(2)如图，点1A ，1B ，1C 关于点O 的对称点分别为点2A ，2B ，2C ，△点2A ，2B ，2C 的坐标分别是()4,5-，()5,1-，()2,2-，将点2A ，2B ，2C 顺次连接得222A B C △，△222A B C △即为所作；(3)如图，若将ABC 绕某一点旋转可得到222A B C △，那么旋转中心Q 的坐标为()3,0，旋转角度为180︒.故答案为：()3,0；180︒.【点拨】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.20．(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论．（2）根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．(1)证明：由旋转性质可知：,AE AC AED C =∠=∠AEC C ∴∠=∠AED AEC ∴∠=∠AE ∴平分CED ∠(2)证明：如图所示：由旋转性质可知：,90AD AB DAE BAC =∠=∠=︒,ADB ABD DAE BAE BAC BAE ∴∠=∠∠-∠=∠-∠即DAB EAC ∠=∠=180-2,180-2DAB ABD EAC C ∠︒∠∠=︒∠ABD C ∴∠=∠在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒90ABC C ∴∠+∠=︒90ABC ABD ∴∠+∠=︒即90DBC ∠=︒【点拨】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．21．（1）见分析；（2）BD =【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出60ACD ∠=︒，然后连接AD ，BD 即可得；（2）根据30︒角的直角三角形的性质和勾股定理可得AC =ACD 是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．解：（1）根据线段旋转方法，60ACD ∠=︒，如图所示即为所求；（2）△ 90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，△ 22AB BC ==，△AC△ 线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD ，△ C A CD =且60ACD ∠=︒，△ ACD 是等边三角形，△ AD AC ==60DAC ∠=︒，△ 90DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒，△ 在Rt ABD 中，BD =【点拨】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，30︒角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．22．(1)全等，证明见分析(2)BD =【分析】（1）依据等式的性质可证明△BCD =△ACE ，然后依据SAS 可证明△ACE △△BCD ； （2）由（1）知：BD =AE ，利用勾股定理计算AE 的长，可得BD 的长；（3）当B 、C 、E 三点在一条直线上时，△BCD 的面积最大，过A 作AF △BC 于F ，先根据平角的定义得△ACD =60°，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，最后根据勾股定理可得AE 的长．(1)解：全等，理由是：△△ABC 和△DCE 都是等边三角形，△AC =BC ，DC =EC ，△ACB =△DCE =60°，△△ACB +△ACD =△DCE +△ACD ，即△BCD =△ACE ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE △△BCD （ SAS ）；(2)解：如图，由（1）得：△BCD △△ACE ，△BD=AE，△△DCE是等边三角形，△△CDE=60°，CD=DE=2，△△ADC=30°，△△ADE=△ADC+△CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，△AE=△BD(3)解：CD△BC时，△BCD的面积最大，由（1）得△ACE△△BCD，△AE=BD=【点拨】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．23．(1)见分析(2)222AE AF BF+=，见分析2【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF=1，△EBF=△ABC=90°，△AEB=△BFC，由勾股定理的逆定理可证△BFC=90°=△AEB，可得结论；（2）由正方形的性质和旋转的性质可得△EAF=90°，由勾股定理可求解．(1)证明：△△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，△△BFC△△BEA，△BE=BF=1，△EBF=△ABC=90°，△AEB=△BFC，△BF2+FC2=122=4，BC2=22=4，△BF 2+FC 2=BC 2，△△BFC =90°=△AEB ，△△AEB +△EBF =180°，△AE △BF ；(2)解：AE 2+AF 2=2BF 2，理由如下：△△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合，△△BAE =△BCA ，△AC 是正方形ABCD 的角平分线，△△BCA =△BAC =45°，△△EAF =45°+45°=90°，△AE 2+AF 2=EF 2，△△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合，△BE =BF ，△EBF =90°，△2BF 2=EF 2，△AE 2+AF 2=2BF 2．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．（1）FAE ；EAF ∆；GF ；（2）DE BF EF +=，证明见分析；（3）当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．【分析】（1）根据已有过程得GAF EAF ∠=∠，又根据SAS 得GAF EAF ∆≅∆，则GF=EF ，故+DE BF EF =；（2）延长CF ，作41∠=∠，等量代换得GAF FAE ∠=∠，用ASA 证明AGB AED ∆≅∆，得AG =AE ，BG DE =，用SAS 证明AGF AEF ∆≅∆，得GF EF =，即可得+DE BF EF =；（3）延长CF ，作21∠=∠，因为180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABG ∠+∠=︒，所以D ABG ∠=∠，根据ASA 证明AGB AED ≌，得BG DE =，AG AE =， 根据12EAF DAB ∠=∠得EAF GAF ∠=∠，用SAS 证明AGF AEF △≌△，得GF EF =，DE BF EF +=，当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．证明：（1）将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB AD =，BG DE =，12∠=∠，90ABG D ∠=∠=︒，9090180ABG ABF ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．45EAF ∠=︒，23904545BAD EAF ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，12∠=∠，1345∴∠+∠=︒，即GAF EAF ∠=∠，又AG AE =，AF AF =，△GAF EAF ∆≅∆（SAS ），GF EF ∴=，故+DE BF EF =；故答案为：FAE ；EAF ∆；GF ；（2）证明：如图△，延长CF ，作41∠=∠，将Rt ABC 沿斜边翻折得到ADC ∆，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且12EAF DAB ∠=∠， 1235∴∠+∠=∠+∠，2315∠+∠=∠+∠，41∠=∠，2345∴∠+∠=∠+∠，GAF FAE ∠∠∴=，在AGB ∆和AED ∆中，41AB ADABG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AGB AED ASA ∴∆≅∆，AG AE ∴=，BG DE =，在AGF ∆和AEF ∆中，AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGF AEF SAS ∴∆≅∆，GF EF ∴=，DE BF EF ∴+=；（3）当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．如图△，延长CF ，作21∠=∠，△180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABG ∠+∠=︒，△D ABG ∠=∠，在AGB 和AED 中，21AB AD D ABG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△AGB AED ≌（ASA ），△BG DE =，AG AE =， △12EAF DAB ∠=∠， △EAF GAF ∠=∠，在AGF 和AEF 中，AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AGF AEF △≌△（SAS ），△GF EF =，DE BF EF +=，故当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形的翻折旋转，正方形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．。

《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与 旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、 通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质， 了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的 组合进行图案设计. 【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点 0转动一个角度的图形变换叫做旋转要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度2. 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等（0A= 0A ）;（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等（△ AB3A A B C ）•要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转3. 旋转的作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.要点诠释: 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心;图案设计確转及其性质平移及其性质轴对称及其性质心，转动的角叫做旋转角 叫做这个旋转的对应点（如/AOA ）,如果图形上的点 A 经过旋转变为点 A ,那么，这两个点• •点0叫做旋转中（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）⑶在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点•要点二、特殊的旋转一中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180。

，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心•这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180。