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初中数学《一次函数与反比例函数》单元教学设计以及思维导图一次函数与反比例函数主题单元设计适用年级九年级所需时间10课时（说明：课内共用10课时，每周5课时；课外共用2课时）主题单元学习概述函数是数学中重要的基本概念之一，它是从显示世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具；函数知识渗透在中学教学的许多内容之中，它又与物理、化学等学科的知识密切相关。
本章内容的安排，先举例讲述数量以及变化过程和变量，讲述变量之间的相互联系和相互依存，使学生对函数获得感性的认识；接着，用朴素的语言描述函数的感念，注重两个变量之间存在确定的依赖关系这一基本特征；然后，研究正比例函数和反比例函数，以它们为载体，帮助学生初步感知变量数学，体会研究函数的基本方法；在学生对函数具有一般了解和具体研究的基础上，再整理函数的表示法，讨论生活实际中的函数问题，深化对函数的理解。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1、经历函数概念的形成过程，认识变量与常量，理解变量之间的相互依赖关系，理解函数的意义；2、知道函数的定义域、函数值的意义，知道符号“y=f(x)”的意义，会求函数值；3、理解正比例关系和反比例关系，理解一次函数和反比例函数的概念，掌握正比例函数和反比例函数的基本性质；4、会用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式。
过程与方法：1、通过采取学习交流心得、小节体会等多种多样的形式，进行自主性评价2、利用图象直观的研究函数性质，通过研究解决问题，引导学生逐步认识，深入体会，初步掌握有关的数学思想和方法3、鼓励学生积极探究，大胆发表意见，认真参加操作实践活动。
情感态度与价值观：从数学的角度去思考问题，能通过数学的操作实验或理性活动进行合情推理;关心现实世界中的数学现象并具有积极探索的兴趣，能从数学的角度提出问题和进行研究。
对应课标1．函数(1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
1.反比例函数定义 【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线.且在第二.四象限内.那么K 的值是多少？函数的解析式？思维导图练习1当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？练习2．已知y=（a ﹣1）是反比例函数.则a= ． 练习3.如果函数y=（k+1）是反比例函数.那么k= ．练习4.如果函数y=x 2m ﹣1为反比例函数.则m 的值是2. 增减性问题【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x .)1y .(2x .)2y .(3x .)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>思维导图练习1.若A （－）.B （－）.C （－）三点都在函数y ＝－x1的图象上.则的大小关系是（ ）． A.y 1＞y 2＞y 3 ＜y 2＜y 3 ＝y 2＝y 3 ＜y 3＜y 2K=-1<0Y 1>y 2<0 Y 3>0函数在二四象限且递曾X 1>X 2>0 X 3<0213y y y >>双曲线K ≠0 2K 2+K-2=-1二，四象限K<0K=-1练习2.已知反比例函数y ＝x m21-的图象上有A （）、B （）两点.当x 1＜x 2＜0时.y 1＜y 2.则m 的取值范围是（ ）．A. m ＜0 ＞0 ＜21＞3、交点问题【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，）.那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）思维导图练习1.若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点.且有一个交点的纵坐标为6.则b ＝____ 4、反比例函数解析式【例4】已知12y y y =+.1y 与x 成正比例.2y 与x 成反比例.且当x ＝1时.y ＝7；当x ＝2时.y ＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式； 思维导图练习1 正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （）.求反比例函数关系式。
1.反比例函数定义 【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么K 的值是多少？函数的解析式？思维导图练习1当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？练习2．已知y=（a ﹣1）是反比例函数，则a= ．练习3.如果函数y=（k+1）是反比例函数，那么k= ．练习4.如果函数y=x 2m ﹣1为反比例函数，则m 的值是2. 增减性问题【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>思维导图双曲线K ≠0 2K 2+K-2=-1二，四象限K<0K=-1练习1.若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）．A.y 1＞y 2＞y 3 B.y 1＜y 2＜y 3 C.y 1＝y 2＝y 3 D.y 1＜y 3＜y 2练习2.已知反比例函数y ＝x m21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．A.m ＜0 B.m ＞0 C.m ＜21D.m ＞213、交点问题【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）思维导图练习1，若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝____4、反比例函数解析式【例4】已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝7；当x ＝2时，y ＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式； 思维导图练习1 正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （2，m ），求反比例函数关系式。
5、面积问题 如图反比例函数(k ≠0)，P 、Q 是图上任意两点，过P 作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为A,B.过Q 作x 轴的垂线，垂足为C 。
分别求四边形APBO ，三角形CQO 的面积。
（用k 表示） 思维导图1y 与x 成正比例 2y 与x 成反比例y 1=k 1x y 2=k 2x -1解出k 1k 212y y y =+当x ＝1时，y ＝7 当x ＝2时，y ＝8三角形CQO的面积的求法同上。
练习1如图，在AOBRt∆中，点A是直线mxy+=与双曲线xmy=在第一象限的交点，且2=∆AOBS，则m的值是_____.练习2 已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数1yx=-的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．S APBO=AP×BO设P点坐标（x，y）S APBO=lxl×lyl=lkl图形过二四象限S APBO=-k1.点A(－2，y 1)与点B(－1，y 2)都在反比例函数y ＝－x2的图像上，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A.y 1＜y 2B.y 1＞y 2C.y 1＝y 2D.无法确定2.若点(3，4)是反比例函数y ＝221m m x+-图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）A.(2，6)B.(2，－6)C.(4，－3)D.(3，－4) 3.在函数y ＝x2，y ＝x+5，y ＝－5x 的图像中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图像的个数有（ ）A.0B.1C.2D.3 4.已知函数y ＝kx(k ＜0)，又x 1，x 2对应的函数值分别是y 1，y 2，若x 2＞x 1＞0对，则有（ ）A.y 1＞y 2＞0B.y 2＞y 1＞0C.y 1＜y 2＜0D.y 2＜y 1＜0 5.如图1，函数y ＝a(x －3)与y ＝ax，在同一坐标系中的大致图象是（ ）6.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）图1oy xyxo y xoy xoA B C DA、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定7.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）8.（2014山东青岛一模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45m 39．如图 ，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ）A.S 1 ＞S 2 B ． S 1<S 2C ． S 1=S 2D ． S 1与S 2的大小关系不能确定10.（2014浙江金华月考）下列函数中，图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（ ） A ．1y x=B ．1y x-=C ．2y x =D ．2y x -=Oyx11.（2014湖北孝感一模）在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜012.（2014河北省二模）如图1，某反比例函数的图像过点M （2-，1），则此反比例函数表达式为（ ） A.2y x =B ．2y x =-C ．12y x =D ．12y x=-13.（2014山东临沂一模）已知反比例函数xky =的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A(72，y 1)、B(5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。
A 、y 1＞y 2B 、y 1＝y 2C 、y 1＜y 2D 、无法确定1.反比例函数y ＝xn 5+图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A.－2 B.－1 C.0 D.1 2.若反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）．A.（2，－1）B.（－21，2） C.（－2，－1） D.（21，2） 3.已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）4.若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A.成正比例 B.成反比例 C.不成正比例也不成反比例 D.无法确定5.一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝xk满足（ ）． A.当x ＞0时，y ＞0 B.在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C.图象分布在第一、三象限 D.图象分布在第二、四象限6.如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线y ＝x1于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）．A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定7.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V 在一定范围内满足ρ＝Vm，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）．A.1.4kgB.5kgC.6.4kgD.7kg8.使函数y ＝（2m 2－7m －9）xm2－9m ＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，则可列方程（不等式组）为_______________．9.过双曲线y ＝xk（k ≠0）上任意一点引x 轴和y 轴的垂线，所得长方形的面积为______．10.如图，直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线xy 4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2Q pxyo－7x 2y 1＝___________．11.如图，长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （－320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是_________．12.点A(－2，y 1)与点B(－1，y 2)都在反比例函数y ＝－x2的图像上，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A.y 1＜y 2B.y 1＞y 2C.y 1＝y 2D.无法确定13.若点(3，4)是反比例函数y ＝221m m x+-图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）A.(2，6)B.(2，－6)C.(4，－3)D.(3，－4) 14.在函数y ＝x2，y ＝x +5，y ＝－5x 的图像中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图像的个数有（ ）A.0B.1C.2D.3 15.已知函数y ＝kx(k ＜0)，又x 1，x 2对应的函数值分别是y 1，y 2，若x 2＞x 1＞0对，则有（ ）A.y 1＞y 2＞0B.y 2＞y 1＞0C.y 1＜y 2＜0D.y 2＜y 1＜0 16.如图1，函数y ＝a (x －3)与y ＝ax，在同一坐标系中的大致图象是（ ）课程顾问签字： 教学主管签字：。
