集合有关概念和集合间的基本关系

一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。

高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（aA和aA，二者必居其一）、互异性（若aA，bA，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N某2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对某∈A 都有某∈B，则AB（或AB）；2）真子集：AB且存在某0∈B但某0A；记为AB（或，且）3）交集：A∩B={某|某∈A且某∈B}4）并集：A∪B={某|某∈A或某∈B}5）补集：CUA={某|某A但某∈U}注意：①A，若A≠，则A；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A；③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：【例1】已知集合M={某|某=m+,m∈Z},N={某|某=,n∈Z},P={某|某=,p∈Z}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。

第一章 集合 常用逻辑用语 推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系【考情分析】不同的具体问题.别给定集合的子集.（2）在具体环境中，了解全集与空集的含义. 【知识清单】1. 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.2. 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号€醒 €/表示3. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法.4. 集合间的基本关系对任意的x€ A,都有x€ B,贝J A Q B （或B 二A ）. 若A 匸B ，且在B 中至少有一个元素X 芒A,则A 訓 若A 匸B 且BQA ，贝J A= B.5. 有关数集：自然数集记作 N ，正整数集记作N *或N +，整数集记空真子集.【课前预习】考试要求 1.集合及其表示，A 级要求;2.子集，B 级要求.集合的含义与表示: （1） 了解集合的含义、 元素与集合的 属于” 关系.⑵能用自然语言、 图形语言、集合语言 （列举法或描述法）描述集合间的基本关系: （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R ，复数集记作C .6•含有n 个元素的集合有 2n个子集，有22丄个真子集，有22个非7.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集1.集合Amx|x2-3x +2=0,x壬R}，贝J A =答案：{1，2} 2.（必修1P 10.4改编）判断下列表示是否准确（1） a 匸{a}; （2）{1}迂{1,2,3 }；（ 3）{a,b}cfo,a} ；（ 4）0匚{讣请将正确判断的序号填在横线答案：（3），（ 4）解析：（1）应为a亡右} ；（ 2）应为{1}g{1,2,3}.3.（必修1P 10.5）已知数集A J O,1,X+2}，则实数x不能取到的值为答案：幺-1解析：根据集合中元素的互异性知：X+2H0, X + 2H^心―1且XH—2，所以，实数X不能取到的值为2 -1 .4._________________ 已知A={X I X2—3X+ 2< 0}, B = {X|1<X< a}，若A? B,则实数 a 的取值范围是.答案：［2,+乂）解析：因为A={X|X2—3X+2V0} = {X|1<XV2}? B,所以 a>2.5.下列关系中：①一4^ R 疋Q;③—20梓N* :④I —Q;⑤—5芒Z;⑥0€ N .其中正确的是解析：③；④；⑤是错误的，相应改成正确的应为：③I —20|€ N*;④—^2|0 Q;⑤—5€ 乙【典型例题】目标1兀素与集合的关系例1 已知集合 A = {1 , a2 + 3a + 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知，a2+ 3a +3H1 ,解之可得a工―1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.【借题发挥】变式1 已知集合A= {1 , a + 2, a2 + 3a+ 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知， a + 2工1且a+3a + 3 H1且a+3a + 3 H a +2 ,解之可得a 1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.变式2 已知集合 A= {a+ 2, (a + 1)2, a2 + 3a + 3}，且1€ A,则 2017"答案：1解析：当a+2= 1, 即卩a=- 1时,(a+ 1)2= 0, a2 + 3a+ 3 = 1 与 a + 2 = 1 相冋，不符合题意.当(a+ 1)2= 1, 即卩 a = 0 或 a=- 2 时, ①a= 0时，符合要求.②a= — 2时，a 2+ 3a+ 3 = 1与（a+ 1）2= 1相同，不符合题意.当 a 2+3a+ 3= 1, 即卩 a= — 2 或 a=— 1.①当a= — 2时，a 2+3a+ 3 = (a +1)2= 1,不符合题意. ②当a= — 1时，a 2+ 3a+ 3 = a + 2 = 1,不符合题意. 综上所述，a= 0. 所以，2 01尸=1.【规律方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性等特性 .在 元素与集合的关系试题中，用互异性筛除不具备条件的解是解题过程 中不可缺少的步骤. 【拓展训练】1 + a数集M 满足条件：若a€ M，则1—a € M （a^±且a^0）已知3€ M , 试把由此确定的集合 M 的元素全部求出来. 解析：因为a= 3 € M,,1 , 1 1—211—3 1 1+2 =—2€ M ，二=—3€ M I =2€ M I 1 + 31 —2=3€ M .以下循环.目标2集合间的基本关系 例 2 已知集合 A= {x|x 2— 3x —10<0}，集合 B= {x|m+ 1<x<2m — 1}.若B ^A,求实数m 的取值范围.解析：由 x 2— 3x — 10< 0 得一2< x< 5.所以 A= [ — 2, 5].①当B 老时，即m+ 1<2m — 1,所以，m 》2.由 B G A 得一2< m+ 1 且 2m — 1< 5.得一3< m< 3. 所以2< m< 3.矿门1+ a 1+3所以U即 M=l3,— 2,1 1— —$②当B=0时，即m+ 1>2m— 1,所以mv2, B匸A成立.综上得mW3.【借题发挥】变式1在例2中，将集合B修改为：集合B={x(x —m—1I x —2m+1)E0}解析：解法一：(1)当 m+ 1>2m— 1 时，B = [2m_1,m+1]CA ,j m+ 1>2m— 1,则彳m+1 w 5, 解得—2w m<2;'2m— 1》—2,(2)当 m+1 =2m— 1,即卩 m= 2 时，B={3}, B^A 成立;(3)当 m+ 1<2m— 1 时，B = Im+i,2m-i]匸A,[m+ 1<2m— 1,则 4 m+ 1》—2,解得 2<mW 3.【2m— K 5,1综上：—2= mW 3.解法二：为使B匸A成立，由于集合B ={x|(x-m-1 "-2m+1戶o}中对应的不等式的解集是两根之间，所以只要让两个端点值在区间 [-2,5]之间就可以了: !m F-2=- — mg2mT 兰5 2 变式2:在例2中，若A? B,如何求解?‘m >2 « m <-3= m €0 .m >3m 的取值范围为0.变式3:若将例2中的集合A 改为A={x|xv — 2或x>5}，如何求解? 解析：因为B? A,所以:①当B = 0时，即2m — 1<m + 1时，mv2,符合题意. l m+ 1 < 2m — 1, (m+ 1 < 2m — 1, ②当 B^，l m+ 1>5,或b m —1v —2, r A2 f m>2, 解得$m ‘或{ 1即m>4.I m>4, (mv — 2综上可知，实数m 的取值范围为（—汽2）U （4,+^）.【规律方法】（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须 优先考虑空集的情况，否则会造成漏解； （2）已知两个集合间的关系 求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 进而转化 为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题.【拓展训练】 1.设 A ={Xx 2-8x +15=0} , B ={x |ax -1=0}，若 B 匸 A,求实数 a 组成的集 合C.解析：A ^g x 2-8x +15=0}= {3,5},由于B G A,所以①若B=0，满足B ",此时a =0;②若B H 0，此时aH0，方程ax-1=0的根为xJa1 1 1 1 又因为BcA ，所以-=3或-=5,所以a =1或-; a a 3 5综上，适合题意的实数a 组成的集合为{o *1}.解析：若A?B,由于集合A 不是空集，则集合B 也不是空集，则:'m +1 <2m -1 *m+1<-2 = I 2m-135所以,2._____________________________________ 已知集合 A={x|x2—3x+ 2 = 0, x€ R} , B= {x|0<x<5, x€ N}，则满足条件A? C? B的集合C的个数为 ______________________________ .答案：4 解析：由题意知：A= {1 , 2} , B= {1 , 2, 3, 4}.又 A? C? B, 解法一：列举法：集合 C可能为{1 , 23}, {1 , 2, 3} , {1 , 2, 4}, {1 , 2, 3, 4}.解法二：等价转化：集合 C中必定含有数字1,2，则数字1,2不影响集合C的个数，所以集合C的个数就在于取不取3, 4与取几个的问题，因此，集合C的个数就相当于集合{3,4}的子集个数，故共有22=4 个•此方法当集合中的元素个数偏多时采用较有优势.目标3以集合为载体的创新问题例3若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可(1)判断集合A={ — 1, 1, 2}是否为可倒数集”；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集”.1解析：(1)由于2的倒数为2不在集合A中，故集合A不是可倒数集.1⑵若a€ A,则必有ze A,说明集合中的元素是成对出现的,a1现已知集合A中含有3个元素，故必有一对元素满足：a=-即a = a士 1,故可以取集合A= ｛1 , 2,舟｝或｛— 1, 2,寺或｛1 , 3,£｝等.【规律方法】解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.【拓展训练】已知集合A, B,定义集合A与B的一种运算A㊉B,其结果如下表所示:按照上述定义，若 M = { — 2 016, 0, 2 017} , N = { — 2 017, 0, 2 018},解析：由给出的定义知，集合 A㊉B的元素是由所有属于集合 A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即并集中去掉交集的部分，故 A㊉B= {x|x€ A且x/ B,或x€ B且x/ A},故 MH N = { — 2 016, 2 017,— 2 017, 2 018}.【归纳分析】1•认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.2•注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.3.防范空集：在解决有关 AQB = 0, A? B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑0是否成立，以防漏解.【课后作业】 1.设集合 A ={1,2,3} , B ={1,3,9}, X"且X芒B，则x = 答案：2 解析：由于集合A ={1,2,3} , B ={1,3,9} , X"且X艺B，则x在集合A 中,不在集合B中，可知x=2 .2.设集合A={(x, y)|x + 2y= 1, x€ N , y€ N}，用列举法表示集合A答案：{(1 , 0)}解析：集合A= {(1 , 0)}.3.已知集合A={x|x2— 2x+ a>0}，且1 0 A,则实数a的取值范围是 2 3 5.已知集合 M = {1 , m}, N= {n, log?n}，若 M = N,则(m— n)2 018答答案：(―=,1]解析：因为 1/{x|x2— 2x+ a>0}，所以1€ {x|x2— 2x+ a< 0}，即 1-2+ aw0,所以 aw 1.34.已知集合A =4xx0 Z,且0 Z，则集合A中的元素个数2——X答案：43解析：因为2—Z, 2-x的取值有-3，- 1, 1 3'又X0乙所以x值分别为5, 3, 1,- 1,故集合A中的元素个数为4.案：1或0r n= 1, f n = m, f n= 1,解析：由M = N 知，1 或1 所以，[IJ og 2 n = m, IJ og 2 n= 1, [m= 0, F 2、故(m-n)2 018= 1 或 0.I n = 2.--6.已知集合 A= {1 , 2, 3} , B= {1 , 2, 3, 4, 5, 6}.则满足条件 A 呈C? B 的集合C 的个数为 _________ .答案：7 解析: 解法一：列举法 解法二：等价转化：集合C 中必定含有数字1,2,3,则数字1,2,3不影 响集合C 的个数，所以集合C 的个数就在于取不取4,5,6与取几个的 问题，因此，集合C 的个数就相当于集合{4,5,6}的非空子集个数，故 共有23-1=7个.7.定义：满足任意元素X %，则4 —x |<^A 的集合称为优集，若集合则实数a 的值为 答案：3 解析：依题意，当x=1时，4_x=3壬A ，当x = 7时，|4_X=3壬A ，所以, a =3时符合条件.8. 给定集合A,若对于任意a, b€ A, 有 a + b € A, 且 a-b€ A,贝S 称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合 A={ — 4,- 2, 0,2, 4｝为闭集合；②集合A= ｛n|n= 3k, k€ Z｝为闭集合；③若集合A i ,A 为闭集合，则A 1U A 2为闭集合.其中正确结论的序号是 答案：② 解析：①中，一4+ (— 2) = -6/A,所以不正确；②中设n i ,匕€ A, n i = 3k i , n 2=3k 2, k i , k ? € Z ,则 n i + 匕 € A,山一匕 € A,所以②正确; ③令 A i = {n|n = 3k, k€ Z} , A = {n|n = 2k, k€ Z}，贝J A , A 2为闭集 合，但A i U A 2不是闭集合，所以③不正确.9. 已知 A={x|x 2 + mx+n = 0}, B= {y|y 2 + (m — 1)y + n-3= 0}，且 A =｛3｝，求集合B.所以，B= {y|y 2 — 7y+ 6 = 0} = {1 , 6}.10. 已知集合 A= {1 , 3, p x} , B= {2 — x, 1}.(1)记集合M = ｛1 , 4, y ｝，若集合A= M,求实数x+ y 的值;请说明理由.y=4,贝J x+ y= 19.x 使得 B? A ，贝J 2 — x= 3, 或 2 — x=依. 若2 — x= 3，则x=— 1, ^/X 没有意乂，舍去;若2 — x=应, 则x+G — 2= 0,解得x= 1,此时集合B 中元素相 同，舍去.故不存在实数X,使得B?A. 解析：由题可知jm —Xj 0，解得* m= —6, n=9.(2)是否存在实数 X,使得B? A?若存在，求出x 的值；若不存在, 解析：(1)由题可知, 集合A 和集合M 中元素完全相同，则V x=4且 (2)假设存在实数11.设集合 A = {xx 2+4X =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a <：R },若 B J A ,求实 数a 的值. 解析：若 ，贝J A =4(a +1)2 —4(a 2 _1) <0,所以 a c —1 . 若 B 辺，贝J B ={0}或 B ={^}或 B ={0, -4},当B =｛0｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2—1 =0有两个相等的根0. 所以賈;1T 解得a=- 1.当B =｛'｝时，方程x 2+2(a +1)x +a 2—1=0有两个相等的根一4. 所以F ：1］；方程组无解. 当B =｛0, 一4｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2一1 =0有两个不相等的根一 4, 0. 所以解得a = 1综上所述，a<- 1或a= 1 .【提优训练】M 为非空的数集，M?｛1 , 2, 3｝，且M 中至少含有一个奇数答案:集合｛1 , 2, 3｝的所有子集共有23= 8个，集合｛2｝的所有子 集共有2个，故满足要求的集合 M 共有8-2 = 6个. 2 .集合A=｛x|(a- 12x+次-N 的｝子集有且仅有两个，则实数a 答案：1或-1解析：当a=1时，A={2}，子集有两个；当aHl 时，由—0,所以，a 3 8此时，A={4}，子集有两个，综上，a= 1或」. 3 8 1.设 元素，则集合M 共有 ______ 个. 解析:。

1.理解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2.能用自然措辞、图形措辞、集合措辞（列举法或描述法）描述不合的具体问题；3.理解集合之间包含与相等的含义,能辨认给定集合的子集；4.在具体情境中,理解全集与空集的含义；5.理解两个聚分离的交集的含义,会求两个简单集合的交集.二、重点、难点：1.重点：集合的暗示方法,元素和集合的关系,集合与集合之间的关系2.难点：有关⊆∈,的理解和运用三、考点阐发：本讲的内容是中学数学最底子的内容之一,根本问题往往表现集合的概念、运算及简单的运用,经常作为器械广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等常识中,在高考中占据主要地位.1.集合（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集 （2）集合的元素特点：确定性、互异性、无序性（3）集合的暗示方法：①列举法—把聚分离的元素一一列举出来,写在花括号内暗示集合的方法；②描述法—把聚分离元素的公共属性描述出来,写在花括号内暗示集合的方法.（4）罕有集合的符号暗示:2.集合间的底子关系：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集.常识点一：集合的底子概念例1.在以下六种写法中,错误写法的个数是（）A. 3B.4C. 5D. 6思路阐发：题意阐发：本题主要考察聚分离的有关底子概念及聚分离的两个符号⊆∈和的差别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考察集合与集合间符号的运用,对写法（4）考察元素与集合之间符号的运用.解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小,写法（2）是暗示空集与随便率性集合的关系,写法（3）暗示集合相等的概念,写法（4）是暗示实数0与空集的关系,写法（5）是集合的暗示,写法（6）是对聚分离元素的熟习.解答过程：（1）是两个集合的关系,不克不及用“∈”；（2）空集是任何非空集合的真子集,故写法精确；（3）聚分离的元素具有无序性,只要聚分离的所有元素相同,两个集合就相等；（4）φ暗示空集,空分离无任何元素,所以应是φ∉0,故写法不精确；（5）集合符号“{}”本身就暗示全体元素之意,故此“全体”两字不该写；（6）等式左边集合的元素是平面上的原点,而右边集合的元素是数零,故不相等.故本题选B题后思虑：本题考察集合的有关底子概念,尤其要留心差别⊆∈和两个符号的不合含义.例2.已知{}33,)1(,222++++=a a a a A ,若A ∈1,求实数a 的值. 思路阐发：题意阐发：本题主要考察元素与集合之间的关系,聚分离元素的有关性质.解题思路：解答过程：{}1,0,1A ,1a 12a =-==+时，当不适合集合性质,舍去；题后思虑：本题主要考察元素在聚分离的性质,要学会用分类的思惟推敲问题,并且要经由过程聚分离元素的独一性验证集合.例 3.已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ,当A B ⊆时,求实数a 的取值范围.思路阐发：题意阐发：本题考察了子集的有关概念和运用,对于聚分离{}4,2-=A 含有确定的两个元素－2,4,假如集合B 是集合A 的子集,则聚分离B 的元素应是聚分离A 的元素,别的还考察了分类的思惟.解题思路：本题应从若何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手,寻求集合B 可能的情况,但无论若何不克不及使聚分离B 含有集合A 以外的元素,尤其不克不及忘记集合B 可能是空集.解答过程：由已知得{}4,2-=A ,B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集,因为A B ⊆,所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B（1）若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ）,解得24-==a a 或,当04=∆=时，恰有a ；（2）若{},4=B 则0124422=-++a a ,解得舍去，此时02>∆-=a ；（3）若{},4,2-=B 则由（1）（2）知02>∆-=，此时a 适合题意；（4）若φ=B 时,由0<∆解得44-<>a a 或.综上所述,所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或.题后思虑：①在本题的谈论中,当{}4B =时的真正含义是：聚分离B 的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；②当B 为单元素集时,也可运用韦达定理求出a 的值；③在推敲子集的过程中随便马虎漏掉落空集的情况,事实上,我们应首先推敲空集.常识点二：集合的运算（交集）例4.若{}{}==--===B A ,032,122 则x x x B x x A （）A.{}3B.{}1C.φD.{}1-思路阐发：题意阐发：本题考察交集的定义和一元二次方程的解.解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法暗示出来,解0322=--x x ,用列举法把聚分离B 的元素暗示出来,再求B A . 解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ,由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴ ,故选D.题后思虑：本题主要考察交集的定义,是以,只要对定义的内容清晰应不难写出答案.例5.设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x （） A.{}13<<-x x B.{}21<<x x C.{}3->x x D.{}1<x x思路阐发：题意阐发：本题考察集合A 和B 的交集,A 和B 两个集合都是与不等式有关的,则求集合A 和B 的交集时,我们需要借助于数轴,用数形结合的方法来解题更形象.解题思路：先解出A 中元素应知足的范围,再在数轴上暗示出A 中元素知足的范围,然后在数轴上暗示出B 中元素所知足的范围,由数轴得出最终的成果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得. 又由{}23<<-=x x B ,{}1x 3x B A <<-=∴ ,故选A.题后思虑：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.一般步调是：①先把每个聚分离知足不等式的解集解出来； ②用数轴暗示出来；③按照数轴的图像得出最终的答案.尤其要留心的是有没有“等号”,在数轴上暗示为实心点或空心点,以及能否取到该值.例6.已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围.思路阐发：题意阐发：本题考察A 和B 的交集为空集,B 为已知的集合,A 聚分离包含的元素随着a 的变更而变更,需要合理的谈论.解题思路：先在数轴上得出B 集合,再由φ=B A ,确定出A 集合的地位,再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况,在解题过程中很有可能会漏掉落.解答过程：（1）若φ=A ,由φ=B A 知,此时3,32>∴+>a a a ；（2）若得如图：由,B A ,φφ=≠ A综上所述,a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或. 题后思虑：①消掉交集为空集的情况,首先要推敲聚分离有没有空集,即分类谈论；②与不等式有关的集合运算中,用数轴阐发法直不雅清晰,应重点推敲；③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细阐发.①关于集合的运算,一般应把各介入运算的集合化简到最简形式,再进走运算；②消掉交集为空集的情况,首先推敲聚分离有没有空集； ③与不等式有关的集合运算中,多留心用数轴法暗示；④对于含参数的集合问题,在按照集合的互异性进行处理时,有时需要用到分类谈论、数形结合的思惟.（答题时间：45分钟）一、选择题1.集合{}5N x <∈x 的另一种暗示方法是（）A.{}4,3,2,1,0B.{}4,3,2,1C.{}5,4,3,2,1,0D.{}5,4,3,2,12.已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ,则（）A.B A >B.B A ⊂C.A B ⊂D.B A ⊆3.下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ个中精确的有（）A.①③B.①⑤C.②④D.②⑤4.设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m （）A.{}1,0B.{}1,01，-C.{}2,1,0D.{}2,1,01，-5.已知{}{}=-==-==N M ,1,1M 22 那么x y y N x y x （）A.φB.MC.ND.R*6.设R b a ∈,,集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1,则=-a b （） A.1 B.－1 C.2 D.－27.集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ（）A.1-≤aB.1≤a C .1-≥a D.1≥a二、填空题8.已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____.9.已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22 那么R x x y y N R x x y y ______. 10.若{}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A = ,则这样的x 的不合值有________个.11.已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________.三、解答题*12.设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+= a x a x x B x x A 求a 的值.一、选择题1.A 解析：由5<x 且是自然数,得x 为0,1,2,3,42.C 解析：3.D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②精确；③{}φ=0,空集不含任何元素,所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不克不及用“∈”,所以⑤{}0⊂φ精确.4.B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈= 则n Z n N m5.C 解析：{}{}{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x 则{}N y y N M =-≥=16.C 解析： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1,∴.1,,0,0-=-=∴=+≠ab b a b a a 7.C 解析：由M,⊂φ所以必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴. 二、填空题8.2≥a .解析：如图：9.{}1解析：{}{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y{}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以,{}1N M = . 10. 311.4三、解答题12.解析：{}{}，0,404x 2-==+=x x A ①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a ②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ由①②③得11-≤=a a 或.。

第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。

第一章 集合第一节 集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2. 用适当的符号（∈∉， ）填空：(1)3_____N; (2)0_____{Φ}; (3)32____Z, 0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100}；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈ 含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、 已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10cm 的三角形 2 方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{5,1} B ．{1,5} C ．{(5,1)} D ．{(1,5)}3 给出下列关系：①12R ∈； Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.14159}N =B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D ．{}M π=，{,1,|N π= 5 已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6 用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； 5- A ； 17 B7 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1 用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数 ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数 2 用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} ②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625} ④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1 关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（ ）A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合： ①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且 ③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或 ； ④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠ 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。

本题主要考查集合的表示 方法：列举法、描述法及其转 化，注意集合中元素的形式及 元素符合的特征性质．
【变式练习1】 有下列说法： ①所有著名的数学家可以组成一个集合； ②0与0的意义相同； 1 ③集合A＝{x | x＝ ，n N*}是有限集； n ④方程x 2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素． 其中正确的有_____________
【例3】 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0，x∈R}， S ＝ {x|ax ＋ 1 ＝ 0 ， x∈R} ，满足 S P ， 求实数a的取值组成的集合．
【解析】P＝{－3, 2}， 当a＝0时，S＝，满足S P， 即a＝0适合题意； 1 当a 0时，S＝{－ }，要满足S P， a 1 1 1 1 则有－ ＝－3或－ ＝2，解得a＝ 或－ . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0，，－ }． 3 2
灌云县陡沟高级中学 李成艳
考纲泛读
①理解集合、子集， 集合交、并、补的概 念及集合运算的性 质． ②了解空集的概念和 意义． ③掌握集合的相关术 语和符号．
高考展望 2012年的高考会在继承 与创新的命题思想下把握好 本章内容的命题，一是保持 以基本概念和运算为主，以 命题的真假判断为切入点， 在知识的选择上关注相关性 和逻辑性，在背景的选择上 更关注教材和课程；
1 5.已知集合M＝{x | x＝m＋ ，m Z}， 6 n 1 N＝{x | x＝ － ，n Z}， 2 3 p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}， 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系．
1 【解析】M＝{x | x＝m＋ ，m Z}＝ 6 6m 1 3 2m 1 {x | x＝ ，m Z}＝{x | x＝ ，m Z} 6 6 n 1 3n 2 N＝{x | x＝ － ，n Z}＝{x | x＝ ，n Z}； 2 3 6 p 1 3p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}＝{x | x＝ ，p Z} 2 6 6 3n 2 ＝{x | x＝ ，n Z}＝N . 6 所以M N＝P.

高1数学集合间的基本关系知识点总结(一)集合知识点总结知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。

一、集合有关概念1、集合的含义2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集。

二、集合间的基本关系1、子集2、真子集3、空集集合考法集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。

在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。

主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。

误区提醒2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

4、集合的运算注意端点的取等问题。

最好是直接代入原题检验。

5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。

在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。

【典型例题】高1数学集合间的基本关系知识点总结(二)集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：1、子集概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)，也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B2、集合相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B3、真子集：对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作，读作A真包含于B(B真包含A)集合间基本关系：性质1：(1)空集是任何集合的子集，即A;(2)空集是任何非空集合的真子集;(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC;(4)AB，BAA=B。

§1.1.1 集合的含义与表示1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问※ 探索新知探究1：观察下列实例：① 1～20以内所有的质数； ②2014年参加世界杯的国家； ③ 所有的锐角三角形； ④2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 淄博市实验高一级的全体学生； ⑥方程230x x +=的所有实数根； ⑦ 张店区2014年参加中考的所有同学； ⑧ 中华人民共和国境内的四大高原试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的三大特征①确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素。

如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）可以构成集合。

“数学必修1课本上的所有难题”就不能构成集合，因为“难题”的标准不确定。

②互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.相同的元素归入一个集合尽算一个元素。

如：student 中的字母构成的集合中两个“t ”只写一次。

③无序性：集合中的元素没有顺序限制。

集合｛1，2｝与｛2，1｝是一样的。

定义：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 . 【练习】1.下列对象能否组成集合并说明理由：(1)数字1、2、5、7；(2)到定点的距离等于定长的所有点； (3)满足323x x ->+的全体实数； (4)未来世界的高科技产品；(5)所有绝对值小于3的整数； (6)中国男子足球队中技术很差的队员；(7)2014年参加山东夏季高考的学生；2.由12，0.5，0.5-，-0.5组成的集合有_______个元素。

3.由1，2a ，b 组成的集合与由1,2,a 组成的集合相等，求,a b新知3：元素与集合的关系：集合通常用大写的拉丁字母,,A B C ,…表示，集合的元素用小写的拉丁字母,,a b c ,…表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：a ∉A .注：①符号“∈”和“∉”只用于表示元素与集合之间的关系；②“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合。

A
4
B
5
C
6
D
7
B={x|mx-1=0},若 B
，
A ，则实数m 的取值范围是
。
1 3
m=0或m=-1或m=
例.（09山东省青岛市模拟）设 a , b R 则b
2010
，集合 {1, a b , a } {0, , b }
a
b
a
2009
(C )
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
【思路分析】由两集合相等知0 {1, a b , a } 且 a 0 得 a b 0, 且 b 1 b 解： a , b R ，集合{1, a b , a } {0, , b } 又 a≠0，∴
B A
B )且集合B为集合A的
子集 ( B A ) ,此时集合A与集合B的元素是一样的,因此集合A与B相 等.记作:A=B
4. 空集: 不含任何元素的集合叫空集。记作 规定: 是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集. 三.集合的分类：（1）有限集；（2）无限集；（3）空集。 四.有限集的子集数的求法： 设有限集合A的元素个数为n 则：(1)A的子集个数为 2 n n 2 1 (3)A的非空子集个数为 2 1 (2)A的真子集个数为
n (4)A的非空真子集个数为 2 2
n
1、下列四个集合中，是空集的是 ( D ) A.{ x | x 1 1} B.{( x , y ) |
y
2
2
x , x, y R}
2
C. { x | x x }
2
D . { x | x x 1 0}
{ x | x 4 0}

第一讲 集合的概念及基本关系一、知识框架123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合的含义例1.下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．变式练习1.下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生．二、集合的表示法例2.用适当的方法表示下列集合．(1)被3除余2的整数；(2)方程(x ＋1)(x 2－2)＝0的解集；(3)直线y＝x－1，y＝－x＋1的交点组成的集合；(4)直角坐标系内第二象限的点组成的集合变式练习1.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集．(1)由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；(3)方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；(4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合．三、集合元素的特性例3.若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}且－3∈A，求实数a的值．变式练习：1.已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．四、集合间关系的判定例4.下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2C．3 D．4变式练习：1．指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}五、集合相等例5.已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．变式练习1．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．六、有限集合子集的确定例6.试写出满足条件∅ ⊆M⊆{0,1,2}的所有集合M.变式练习1．已知{a，b}⊆A a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的集合A七、已知集合间的关系，求参数的范围例7.已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<a}（1）若A＝B，则实数a的取值是多少？（2）若A⊆B，则实数a的取值是多少？（3）若B⊆A，则实数a的取值是多少？例8.设集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}．(1)若B⊆A，求m的取值范围．(2)若A⊆B，求m的取值范围.方法总结：已知集合关系求参数范围的一般方法：通常借助数轴，把两个集合在数轴上表示出来，以形定数.当某一个集合的端点中含有字母时，要判定两个端点的大小，不确定时要分类讨论，当左边的端点大于右边的端点时，集合为空集，这种情况容易被忽视.比较端点大小时要注意是否能取“＝”，不好确定时要单独验证参数取“＝”时的值是否符合题意.变式练习：1.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a－1<x<a＋3}，若A⊆B，求a的取值范围．2．已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．。

三一文库（）/总结〔高中数学集合知识总结〕集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。

▲高中数学集合知识总结如下：▲一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。

2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。

3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。

子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系▲二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B 交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集▲三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

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(2)当B A时，又可分为： (a) B≠时，即B ={0}，或B ={-4}， Δ = 4(a+1)2 -4(a2 -1) = 0,解得a = -1 B ={0}满足条件； (b)B = 时，Δ = 4(a+1)2 -4(a2 -1) < 0,解得a < -1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a -1,或a =1.
AC
(3)对于两个集合A，B，如果A B 且 B A ,那么
A=B (4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集,即 Φ A
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例 写出集合｛ a , b ｝的所有子集，并指出哪些是它的
真子集.
解：集合{ a , b }的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.
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知识要 点
3.集合相等与真子集的概念
如 果 集 合 A是 集 合 B的 子 集 (AB)， 且 集 合 B是 集 合 A的 子 集 （ BA） ， 此 时 ， 集 合 A与 集 合 B中 的 元 素 是 一 样 的 ， 因 此 ， 集 合 A与 集 合 B相 等 . 记 作 A＝ B
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2.在数学中，经常用平面上的封闭曲线的 内部代表集合，这种图称为Venn图.
A B用Venn图表示如下：（有两种情况）
A
B
A（B）
思考1
包含关系{a} A与属于关系 a A有什么区别吗？
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注意
与 的区别：前者表示集合与集合之间的关系；
后者表示元素与集合之间的关系.

§1.2 集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn 图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一 子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示 图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A是集合B的真子集AB (或B A )集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B2．Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图． 3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 思考1 任何两个集合之间是否有包含关系？答案 不一定．如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 思考2 符号“∈”与“⊆”有何不同？答案符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相同吗？答案不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________．答案N M解析因为正方形是菱形，所以N M.2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．答案⊆∈3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案－1解析1－a＝2，解得a＝－1.4．集合{0,1}的子集有________个．答案 4解析集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．一、集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.反思感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练1(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是() A．A⊆B B．A＝BC．A B D．B A（1）答案 C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M 且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M N.（2）答案 D解析因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．二、确定集合的子集、真子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．反思感悟 求集合子集、真子集的3个步骤跟踪训练2 满足{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个． 答案 7解析 由题意可得{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M 必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M 共有7个．三、由集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.(2)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3. 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1 B．3 C．4 D．62．集合{1,2}的子集有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 C解析①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅ {0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2、答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．3、答案 B解析x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N是M的真子集，其对应的Venn图如选项B所示．4、答案 4解析∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴4∈A，∴m＝4.5、答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．。

1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。

分配律
定义
分配律是指集合运算中，一个集合与括号内另一个集合的运算结果与该集合分别 与括号内每个集合的运算结果相同。
例子
设A、B和C是三个集合，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)都 是分配律的例子。
04
集合的基数
定义与性质
集合的基数
确定性
集合中元素的个数称为该集合的基数。
性质
空集是任何集合的子集，任何集合都 包含空集作为其子集。
02
集合之间的关系
子集
子集是指一个集合中的所有元素都属 于另一个集合，但不要求所有元素都 相同。
子集关系不具有对称性，即如果集合 A是集合B的子集，则集合B不一定是 集合A的子集。
子集关系具有传递性，即如果集合A 是集合B的子集，且集合B是集合C的 子集，则集合A也是集合C的子集。
集合的元素
确定性
集合中的元素是确定的，没有模 糊性。例如，“大于3的实数”是
一个模糊的描述，而“{4,5,6}” 是一个确定的集合。
无序性
集合中的元素没有顺序，即集合 {1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。
互异性
集合中的元素互不相同，即集合中 不会有重复的元素。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
子集关系不具有排他性，即一个集合 可以同时是多个不同集合的子集。
超集
超集是指一个集合的所有元素 都属于另一个集合，包括相同
的元素。
超集关系具有传递性，即如果 集合A是集合B的超集，且集合 B是集合C的超集，则集合A也
是集合C的超集。
超集关系不具有对称性，即如 果集合A是集合B的超集，则集 合B不一定是集合A的超集。

第一章集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N ＋Z Q R 2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集集合A 中任意一个元素均为集合B 中的元素A ⊆B 真子集集合A 中任意一个元素均为集合B 中的元素，且集合B 中至少有一个元素不是集合A 中的元素BA ⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪B A ∩B 若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）；空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅ÜA ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B = ，所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N 230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】D 【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣，其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )．6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AÜB；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BÜA；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。