2019届高三数学一轮复习目录(文科)

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

§2.1函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图像上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是______________． 答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x＝122－.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x －＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图像可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图像，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图像，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D.1243解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图像可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3， 解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3， 解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。

第3讲 简单的线性规划考试要求 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义(A 级要求)；2.用平面区域表示二元一次不等式组(A 级要求)；3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决(A 级要求).一、诊 断 自 测1.已知点A (1，0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________.2.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.3.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0则z ＝x 2＋y 2的最小值是________.二、考点探究考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________.(2)若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.【训练1】 (1)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m的最大值为________.(2)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是________.考点二 求目标函数的最值问题【例2－1】 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.(2) 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.【例2－2】 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，试求解下列问题.(1)z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)z ＝y x ＋2的最大值和最小值； (3)z ＝|3x ＋4y ＋3|的最大值和最小值.考点三 可转化线性规划的问题【例3】 已知正数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a 的取值范围是________.【训练2】 若变量a ，b 满足约束条件⎩⎨⎧a ≥1，ab 3≥81，a 3b ≤81，求u ＝a 2b 的最大值.。

2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题01：分段函数中的取值范围问题【学习目标】1.复习巩固分段函数的概念；2.通过分段函数中的取值范围问题研究，体会分段函数，分段处理的解题对策；3.让学生体会数形结合及分类讨论等数学思想方法在解题中的应用，从而提高分析问题与解决问题的能力.课前热身（1）知识回顾： 分段函数定义：（2）基础练习：1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=2,2,2)(2x a x x a x f x ，若函数)(x f 的值域是R ，则实数a 的取值范围是 .2.已知函数，则满足不等式的x 的取值范围是 .3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=-6,4)24(6,)(5x x ax a x f x ，若)(x f 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ；*追问：若数列{})(n f 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 . 4.已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 .典型例题例1.已知函数421,(0)()3,(1)k kkx x k f x x x k x -<<⎧=⎨-≤<⎩，满足27()8f k =-. （1）求常数k 的值；（2）若()20f x a -<恒成立，求a 的取值范围.2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩(())1f f x >例 2.函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,)(2x x x m x x f ，且0>m ，若函数1))((-=x f f y 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .例3.若函数⎩⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x x x f ，若函数a x f x g -=)(2)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .变题1.若函数⎩⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x x x f ，若函数ax x f x g -=)(2)(恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .变题2.函数⎩⎨⎧<-≥=a x x x ax x x f ,3,)(3，若函数x x f x g +=)()(恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .变题3.若函数⎩⎨⎧<-≥=ax x x ax x x f ,3,)(3，若函数ax x f x g -=)(2)(恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .专题总结巩固练习1.设函数⎩⎨⎧>-≤-=ax x ax x x x f ,2,3)(3．（1）若0=a ，则)(x f 的最大值是 ；（2）若)(x f 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．2.已知函数⎩⎨⎧≥-<+=ax x x ax x x f ,2,4)(2，若对任意的实数b ，总存在实数0x ，使得b x f =)(0，则实数a 的取值范围是 .3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=a x x a x e x x f x ,1,1)(，b x f x g -=)()(，若存在实数b ，使得函数)(x g 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 .2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题02：平面向量数量积的计算【学习目标】（1）复习平面向量的数量积的计算方法；（2）通过对数量积的计算方法的研究，感悟数学思想方法．问题1.如图，⊙O 半径为4，AB 是⊙O 的一条弦，且30OAB ∠=︒，求OA AB ⋅的值.问题2．在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，7,5AB AC ==，求AD BC ⋅的值．D C BA D CB A D CB A问题3、（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅= .巩固练习1．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则 ．AP AC ⋅=P A B C D2．（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5， CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是_______．3．如图所示，半径为6的半圆中，点,E F 为半圆弧的三等分点，,M N 为直径AB 的三等分求EM FN ⋅的值为 ．4．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB ==，则HG BC ⋅的值为 ．AGBHC2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题03：平面向量数量积的解题策略【学习目标】基底法、坐标法、几何法是处理平面向量问题的三个纬度，本节主要从基底和坐标角度研究几何图形中向量数量积的问题．例1 如图，在ABC △中，23BAC π∠=，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= ．变式1 如图，已知在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= ．例2 如图，在ABC △中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，4BA CA ⋅=，1DC DB ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．ABCDCDBADCB变式1 如图，在四边形ABCD 中，5AB AD ⋅=，4BD =，O 为BD 的中点，且3AO OC =，则CB CD ⋅= ．变式2 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．1．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅= ．2．如下图，在ABC △中，AB AC =，2BC =，AD DC =，12AE EB =．若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ．ABCDOBA B CDE2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题04：三角函数的图像与性质应用【学习目标】高考的命题方向：1．求三角函数的周期及解析式；2．求三角函数的单调区间；3．考查三角函数的图象的变换和对称性．1.函数()()sin 24f x x x ππ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭0的单调增区间是 ； 2. 函数()2sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0的值域是 ； 3.已知函数()()()2sin f x x ωϕω=+＞0，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为 ；4.将()()sin 2y x ϕϕπ=+≤0＜图像向左平移6π个单位后，得到的函数恰好是偶函数，则ϕ的值为 ；典型例题例1 函数sin()3y x π=在区间[0，t ]上恰好取得2个最大值，则t 的取值范围为____________.变题 1 函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的范围为___________________________.例2 已知函数22()sin ()cos ()sin cos 63f x x x x x ππ=-+-+⋅. (1) 求()f x 的最大值及取得最大值时的x 值；(2) 求()f x 在[0,]π上的单调区间.变题2 已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++⋅. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的单调增区间；(3)当[0,]4x π∈时，求()f x 的值域.、巩固练习1.()()sin f x x x x R ωω=∈满足()2fα=-，()0f β=，且()αβ-最小值为2π，则正数ω的值为 ；2.()()2sin 3f x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞0图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为 ； 3.已知()()()sin 0,f x A x A ωϕω=+＞＞0的图像与直线()0y b b A =＜＜的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则()f x 的单调增区间为 ；4.已知函数()2sin 2cos 22cos 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （3）求()f x 在[]0,π的单调增区间；2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题05：利用函数的性质和构造函数研究不等式问题分类剖析题型一：利用函数性质解决与抽象函数有关的不等式问题1.设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f ,则a 的取值范围为 .2.设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又 0)123()12(22<-+-+++a a f a a f ，则a 的取值范围为 .3.设函数)(x f 是定义在区间[]1,1-的奇函数，任意的[]1,1,-∈b a ，当a+b 0≠时，都有0)()(>++b a b f a f ，则不等式)41()21(-<-x f x f 解 .4.已知函数)(x f y =是),0(+∞的增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=,1)2(=f ,不等式3)2()(<-+x f x f 的解集 .题型二：直接利用函数图像与性质研究不等式问题5.定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为 .6.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 . 7. 已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围 .8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(21x x x x x f a ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围 .题型三：利用构造新函数研究不等式问题9.已知函数x ax x g x x f +==2)(,ln )(，若对任意的[)恒成立)()(,,1x g x f x ≤+∞∈，则a 的取值范围 .10已知函数),0(,1ln )(<--=a x a x x f 若对任意的[])(1)(1)()(),(4,3,12122121x g x g x f x f x x x x -<-≠∈恒成立，求a 的最小值 . 11设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 .12.函数的定义域是R ，，对任意，则不等式的解集为 .专题总结巩固练习1.定义在[]2,2-的偶函数)(x g ，当0≥x 时，)(x g 单调递减，)()1(m g m g <-成立，则m 的取值范围 .2.已知⎩⎨⎧>+-≤-=02602)(2x x x x x x f ,则关于x 的不等式2(3)(2)-<f x f x 的解集为 . 3.已知函数,sin 11ln )(x xx x f +-+=则关于a 的不等式0)2()2(2<-+-a f a f 的解集 . 4.己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 .5.已知不等式a x x >12对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围 .6.已知函数x x g mx x x f ln )(,)(2=-=，若对任意有意义的x ，不等式)()(x g x f >恒成立，求m 的取值范围 .'()f x ()()f x x R ∈(1)0f -=0x >'()()0xf x f x -<()0f x >x ()f x ()02f =()(),1x R f x f x '∈+>()1x x e f x e ⋅>+R ()f x ()f x '()()f x f x '<(2)f x +(4)1f =()x f x e <。

§8.4　平行关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件a∩α＝∅a ?α，b ⊈α，a ∥ba ∥αa ∥α，a ?β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件α∩β＝∅a ?β，b ?β，a ∩b＝P ，a ∥α，b ∥αα∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b α∥β，a ?β结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α知识拓展重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)题组二　教材改编2．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊈α，则b∥α答案　D解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案　平行解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊈平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三　易错自纠4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案　A解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)答案　②④解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案　平行四边形解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形．题型一　直线与平面平行的判定与性质命题点1　直线与平面平行的判定典例如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ，E ，F ，H 分别为线段12AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面PAD .证明　(1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝AD ，12∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点．又F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，又FO ?平面BEF ，AP ⊈平面BEF ，∴AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH ∥PD ，又PD ?平面PAD ，FH ⊈平面PAD ，∴FH ∥平面PAD .又O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，又AD ?平面PAD ，OH ⊈平面PAD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD .又GH ?平面OHF ，∴GH ∥平面PAD .命题点2　直线与平面平行的性质典例 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面17ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．(1)证明　因为BC ∥平面GEFH ，BC ?平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解　如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD ?底面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊈平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝DB ＝OB ，即K 为OB 的中点．1412再由PO ∥GK 得GK ＝PO ，12即G 是PB 的中点，且GH ＝BC ＝4.12由已知可得OB ＝4，2PO ＝＝＝6，PB 2－OB 268－32所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝·GKGH ＋EF2＝×3＝18.4＋82思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊈α，b ?α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a ?α⇒a ∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊈α，a ⊈β，a ∥α⇒a ∥β)．跟踪训练(2018届昆明一中摸底)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若CM ⊥MN ，求三棱锥M —NAC 的体积．(1)证明　连接A 1B ，BC 1，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点，所以MN 为△A 1BC 1的一条中位线，MN ∥BC 1，又因为MN ⊈平面BB 1C 1C ，BC 1?平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解　设点D ，E 分别为AB ，AA 1的中点，AA 1＝a ，连接ND ，CD ，则CM 2＝a 2＋1，MN 2＝1＋＝，CN 2＝＋5＝，由CM ⊥MN ，得a 2＋44a 2＋84a 24a 2＋204CM 2＋MN 2＝CN 2，解得a ＝，又NE ⊥平面AA 1C 1C ，NE ＝1，2V 三棱锥M —NAC ＝V 三棱锥N —AMC ＝S △AMC ·NE 13＝××2××1＝.1312223所以三棱锥M —NAC 的体积为.23题型二　平面与平面平行的判定与性质典例如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明　(1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC .∵EF ⊈平面BCHG ，BC ?平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .又∵A 1E ⊈平面BCHG ，GB ?平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ?平面EFA ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .引申探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM⊈平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊈平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练(2018届南昌摸底)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P—ABM的体积．(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.又∵MN⊈平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∵∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊈平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又∵CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)解　由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB 的距离．由已知得，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，3∴三棱锥P—ABM的体积V＝V三棱锥M—PAB＝V三棱锥C—PAB＝V三棱锥P—ABC ＝××1××2＝. 1312333题型三　平行关系的综合应用典例如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF 的长．(1)证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD .又EF ⊈β，BD ?β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝DH ，且DH ＝AC ，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，连接EG ，FG ，BH .又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ，∴平面EFG ∥平面β.又EF ?平面EFG ，∴EF ∥平面β.综合①②可知，EF ∥平面β.(2)解　如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF .∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME ＝BD ＝3，MF ＝AC ＝2.1212∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角，∴∠EMF ＝60°或120°.∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF＝32＋22±2×3×2×12＝，13±6即EF ＝或EF ＝.719思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．(1)证明　∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG .∵HG ?平面ABD ，EF ⊈平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .又∵EF ?平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，又∵AB ⊈平面EFGH ，EF ?平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解　设EF ＝x (0<x <4)，∵EF ∥AB ，FG ∥CD ，∴＝，则＝＝＝1－.CF CB x 4FG 6BF BC BC －CF BC x 4∴FG ＝6－x .32∵四边形EFGH 为平行四边形，∴四边形EFGH 的周长l ＝2＝12－x .(x ＋6－32x )又∵0<x <4，∴8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．1．若直线l 不平行于平面α，且l ⊈α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交答案　B解析　因为lα，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是( )A．存在一条直线b，a∥b且b?αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a?β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β答案　C解析　在A，B，D中，均有可能a?α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．3．(2018·攀枝花质检)平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面答案　D解析　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．4．一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l?α答案　D解析　当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；当l与α斜交时，也只能有两个点到α的距离相等．故选D.5．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n?α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案　D解析　对A ，直线m ，n 可能平行、异面或相交，故A 错误；对B ，直线m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；对C ，m 与n 垂直而非平行，故C 错误；对D ，垂直于同一平面的两直线平行，故D 正确．6．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形C ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形D ．EF ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案　C解析　如图，由条件知，EF ∥BD ，且EF ＝BD ，GH ∥BD ，且HG ＝BD ，1512∴EF ∥HG ，且EF ＝HG ，25∴四边形EFGH 为梯形，排除A ，B ；∵EF ∩平面ADC ＝F ，∴排除D.故选C.7.如图，E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是________．答案　2解析　此四面体与过E ，F ，G 的截面平行的棱为AC ，BD ，只有两条．8．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ?γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ?β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ?γ.可以填入的条件有________．答案　①或③解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．9．(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.10．(2018·海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)答案　①③解析　由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．11.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明　(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG 綊B 1C 1綊BE ，所以BE 綊OG ，12所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ?平面BB 1D 1D ，EG ⊈平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明　因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ?平面PDC ，所以PC ⊥BC .(2)解　连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则PA ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥PA .因为EO ?平面MEG ，PA ⊈平面MEG ，所以PA ∥平面MEG .因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝，23所以AM 的长为.2313．(2018·南昌质检)在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°答案　C解析　因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ ?平面ABC ，MN ⊈平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN ?平面PQMN ，AC ⊈平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确．又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确．14．(2018届广西桂林模拟)在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，若存在实数λ，使得CQ ＝λCC 1时，平面D 1BQ ∥平面PAO ，则λ＝________.答案　1 2解析　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P，O为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.15．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图像大致是( )答案　C解析　过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ，∵＝＝2，∴MQ ＝2x .MQ AQ DD 1AD 在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图像为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.16．(2018·哈尔滨模拟)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．答案　452解析　如图，取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ?平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ?平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．12又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝·＝.(12AC )(12SB )452。