两个重要极限开课教案讲课教案

高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。

下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。

两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。

2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。

3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。

教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。

1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。

1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。

第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。

2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。

2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。

第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。

3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。

3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。

第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。

4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。

4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。

第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。

5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。

5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生的参与度和积极性。

§1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？再如()∞→+=n nn f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim .证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。

*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。

准则I ˊ如果(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。

2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积即x sin 21 <<x 21 x tan 21, 1sin cos <<x xx (1)(∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。

表JX—1 南京技师学院教案（首页）授课日期授课班级课题§2.4 两个重要极限计划学时2 课时教学目标熟练掌握用两个重要极限求极限教学重点解决措施教学重点：熟练掌握用两个重要极限求极限解决措施：讲授教学难点解决措施教学难点：熟练掌握用两个重要极限求极限解决措施：推导、练习教学设计教学手段教学方法板书演示板书设计授课提纲一、复习提问：极限的运算法则二、新课引入三、新授讲授1、夹逼定理2、重要极限：sinlim1xxx→=3、数列收敛准则4、重要极限：1lim1xxex→+∞⎛⎫+=⎪⎝⎭四、课堂小结1、夹逼定理、两个重要极限.2、练习： P36/习题32、33、34、35、45、46五、作业布置：P36/习题36、37、38、40、41、47、48六、教学反思第 页教 学 过 程 设 计时间 分配 教师 活动 学生 活动【复习提问】 极限的运算法则 【新课引入】为了更好的解决极限问题，介绍两个重要极限 【新课讲授】§2.4 两个重要极限1、定理1：夹逼定理设A x G A x F ==)(lim ,)(lim ，且)()()(x F x f x G ≤≤则A x f =)(lim 。

证明：以+∞→x 为例，因A x G A x F x x ==+∞→+∞→)(lim ,)(lim ，即对任意小的正数ε，当x 无限变大时，恒有εε<-<- )( , )( A x F A x G ，从而有εεεε+<<-+<<-A x F A A x G A )(,)(，又因为)()()(x F x f x G ≤≤，所以有εε+<≤≤<-A x F x f x G A )()()(，即ε<- )( A x f 。

证得A x f =)(lim 。

注：夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立。

3分钟2分钟55分钟老师 提问概念讲解学生回答第 页2、重要极限：0sin lim 1x xx →=证： 先证1sin lim 0=+→xxx . 由于+→0x ，不妨设02x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠则 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形∵ x BC OA S AOB sin 2121=⋅=∆，x x OA OA AB OA S AOD 212121=⋅⋅=⋂⋅=扇形，11tan 22AOD S OA AD x ∆=⋅=， ∴ tgx x x 2121sin 21 ，即 sin tan x x x <<， 从而有11sin cos x x x <<或sin cos 1x x x <<. ∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +⎛⎫<-=⋅=→→ ⎪⎝⎭，， ∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→x x x 又 1sin lim sin lim 00=---=+-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→x x x .强调特殊记忆老师讲解第 页注：一般公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ （表面特性[]sin[]，本质特性“0”） 例1 0tan lim x x x →=1)cos 1sin (lim 0=⋅→x x x x .例2 0tan sin lim x x x →=1)sin sin sin (lim 0=⋅→x x x x tg x . 例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2lim x x x 2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x . （或者原式＝21)cos 11sin (lim 220=+⋅→x xx x ）.3、数列收敛准则 定理2：单调有界数列必有极限。

两个重要极限教案两个重要极限教案作为一名无私奉献的老师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编收集整理的两个重要极限教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。

二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。

三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的'能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。

教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的灵活应用四、教法与学法的选择本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。

五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。

两个重要极限教案(修改稿)教学目标：1. 理解并掌握两个重要极限的概念和应用。

2. 能够运用两个重要极限解决相关数学问题。

3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 引入两个重要极限的概念。

2. 解释两个重要极限的推导过程。

3. 展示两个重要极限的应用实例。

4. 练习题和解答。

教学准备：1. 教案、PPT或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾极限的概念，即当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值。

2. 提出问题：在数学中，有哪些重要的极限值得我们学习和掌握呢？二、第一个重要极限：极限的定义与性质（15分钟）1. 给出第一个重要极限的定义：当x趋向于0时，sinx/x趋向于1。

2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的性质和意义。

3. 解释这个极限在数学和物理中的应用。

三、第二个重要极限：极限的推导过程（15分钟）1. 给出第二个重要极限的定义：当x趋向于无穷大时，e^x趋向于无穷大，lnx 趋向于无穷大。

2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的推导过程。

3. 解释这个极限在数学和自然科学中的应用。

四、应用实例（15分钟）1. 举例说明如何运用这两个重要极限解决实际问题，如计算极限值、解决优化问题等。

2. 引导学生思考如何将这两个极限应用到自己的学习和工作中。

五、练习题和解答（10分钟）1. 提供一些有关两个重要极限的练习题，让学生独立完成。

2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。

教学评价：1. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对两个重要极限的理解和应用能力。

2. 在下一节课开始时，简要回顾本节课的内容，检查学生的掌握情况。

1. 教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学时间。

2. 鼓励学生在课堂上积极提问和参与讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。

六、极限的计算方法（15分钟）1. 介绍几种计算极限的方法，如直接计算、代数方法、有理化方法、泰勒展开等。

§3.4 两个重要的极限教学章节：第三章 函数极限——§3.4 两个重要的极限 教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 教学过程：一 、关于函数极限的性质1、质1－性质4常用于说明函数极限的一些性质.例1 设()0f x >，0lim ()x x f x A →=，证明：0lim x x →=例2 设0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=. （1）若在某00()U x 内有()()f x g x <，问是否有A B <？为什么？（2）证明：若A B >，则在某00()U x 内有()()f x g x >.2、 质5－性质6（迫敛性、四则运算）常用于计算.P51： 1、（1）222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-；（2）2201lim 121x x x x →-=--； （3）22112lim 213x x x x →-=--；（4）443x →=； （5）702070209090(36)(85)38lim (51)5x x x x →+∞+-⋅=-. 2、2sin lim04x x xx →+∞=-.例 0sin lim1x xx→=.二 、关于归结原则(Heine 定理)(一) 定理的内容 (二)定理的意义 (三) 定理的用途1、明极限不存在，如01lim sin x x→的极限不存在；2、用数列极限的性质证明函数极限的性质. (1) 证明函数极限的唯一性. (2) 证明函数极限四则运算. (3) 证明单调有界定理.3、用函数极限求数列极限. (1) 1lim sinn n n →∞.(2) 211lim(1)n n n →∞+-.4、结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用.三、关于单调有界定理 (一) 内容. (二) 意义.四、关于Cauchy 准则 (一) 内容 (二) 意义 (三) 用途1、明lim ()x f x →∞存在；2、明lim ()x f x →+∞不存在.如1lim sinx x→+∞. 证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy 准则.§3.4 两个重要的极限一、 0sin lim1x xx→=的证明在单位圆盘}1|),{(22≤+=y x y x D 上，x 是圆心角AOB ∠，以弧度计，即它恰好等于AB , 而BC x =sin 是弦长B B '之半，它的几何意义是sin 2sin 1(0)2x x BB x x x BB '==→→'，即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.证明 设20π<<x , AOB ∆面积<扇形AOB 面积<AOD ∆面积，即tgx x x 2121sin 21<<， 1sin cos <<x xx ,用偶函数性质，这不等式在2<<-x π时也成立.令 0→x , 1cos lim 0=→x x , 两边夹得出 1sin lim0=→x xx .推论 R ∈∀x ，x x ≤sin ，等号成立当且仅当0=x .证明 20π<<x 时, 1|||sin |sin <=x x x x , 当2π≥x 显然成立，而0=x 时等号成立，且只有0=x 时等号成立. 二、 0sin lim1x xx→=的应用例1 求20cos 1limx xx -→.解 2222222sin 1cos 1sin 2()2xx xxxx -==，令2x t =，则x 0→t ；故有21)sin (21lim cos 1lim2020==-→→t t x x t x .例2 求x xx -→ππsin lim.解 令x t -=π，则 t t x sin )sin(sin =-=π；且当π→x 时0t →，故 1sin lim sin lim0==-→→t tx x t x ππ.例3 求nx mxx sin sin lim0→（0,0≠≠x n ）.证明 当0≠m 时n m nx nx n mx mxm nx mx →⋅⋅=sin sin sin sin ；当0=m 时原式0=.注 利用归结原则，可求数列极限.如求1sin1limlim sin 1n n n n nn→∞→∞=，直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的；但已知0s i n li m 1x x x →=，故取,(1,2,)n x n nπ== ，则0()n x n →→∞，从而由归结原则1sinlim ()lim 01n n n n f x n→∞→∞==. 三、证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1e ααα→+=.证明 先证+∞→x 情况，当1>x 时，有][11111][11x x x +≤+≤++.xx x x x x )][11()11()1][11(+≤+≤++，eex x x x x x ↓↓+≤+≤+++1][][)][11()11()1][11(所以 ex x x =+∞→)11(lim .再证-∞→x 情况, 令+∞→-=y y x ,，e y y y x y y y y x x =-+⋅-+=-=+-+∞→-+∞→-∞→)111()111(lim )11(lim )11(lim 1 由极限与单侧极限关系定理，得 ex x x =+∞→)11(lim .推论 et tt =+→1)1(lim .证明 令x t 1=, 即得.四、应用例1 求xx x 10)21(lim +→.解 令x u 2=，则u x 21=；且当0→x 时0→u （0≠x 时0≠u ），因此，2202010])11[(lim )1(lim )21(lim e u u x u u uu x x =+=+=+→→→.例2 求xx x 10)1(lim -→.解 令u x -=，则当0→x 时0→u ，因此，e u u x u u uu xx 1])11[(lim )1(lim )1(lim 101010=+=+=--→-→→例3 求xx x x )3212(lim ++∞→.解xx xx x x x )2111(1)1221(1)3212(++=++=++x x x )2111(lim ++∞→ee x x x x =⋅=++⋅++=-+∞→1)2111()2111(lim 2121，故原式e 1=.也可利用以下结论：0)(lim >=→A x f a x ，Bx f a x =→)(lim ，则Bx g ax A x f =→)()(lim ，1322232])3221[()3221()3212(-+-+--→+-+=+-+=++e x x x x x xx x x .例4 求211lim(1)nn n n →∞+-. 练习 Ｐ39 4 1(1)1n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为递增数列.Ｐ39 9 11(1)n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为为递减数列.Ｐ55 2 设f 为定义在[,)a +∞上的增（减）函数，证明：lim ()x f x →+∞存在⇔f 在[,)a +∞上有上（下）界.。

公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。

学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。

教学目标知识与技能：让学生了解公式1sinlim=→xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。

情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。

教学重点正确理解公式1sinlim=→xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

教学难点公式1sin lim0=→xxx 的证明、公式及其变形式灵活运用。

教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。

通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。

在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。

对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。

在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。