质点运动学

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运动学的两类问题
dr 在数学运算上为求导: v dt
第一类问题
2 dv d r ; a 2 dt dt
本次课教学重点和难点
重点
1.角量和线量关系 圆周运动及其描述； 2.自然坐标系的运用:切向加速度和法向加速度; 3. 质点运动学两类问题
难点
掌握切向加速度和法向加速度的定义和应用
熟练掌握运用微积分数学手段解决有关运动 学两类问题的方法.
2-1-6 质点运动学的两类问题举例 2-2-1 切向加速度与法向加速度
(2) v y v0 sin g (t t 0 ) v x v0 cos
dx vx v0 cos dt v dy v sin gt y 0 dt
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当t0=0,则有:
v x v0 cos v y v0 sin gt
A. 正确；B. 不正确；C. 题目太难
要点
r(t ) x (t )i y(t )j dr dx dy v i j vx i v y j dt dt dt d 2r a i a j a x y dt 2 dv y dvx d 2x d2y ax ay 2 dt dt dt dt 2
矢量 3.位移 z k t : r xi yj t 0 dr dxi dyj dzk 矢量 2 4.路程变化量 S ds S 0 标量 t
5. 位移与路程 r S
t 0 dr ds1
6 .平均速度和瞬时速度（即速度）
2 2 0
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抛体运动
例: 设质点在XOY铅垂平面内作无阻力抛体运动。
试求: 质点的速度与时间t的关系和质点的运动方程.
解: 建立坐标系
dv x ax 0 dt a dv y g y dt
dv x 0 dv y gdt (1)
由初始条件：o
en
en
B
et
vB
切向单位矢量 e t 法向单位矢量 e n
v v et
o
s
A
et vA
7
(三) 切向加速度t
v vn vt
t时刻 t+t时刻
A点 v A B点 : v B
大小:
方向: et 切线方向,与该点速度同向或反向.
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dv at at dt

2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
在平面内质点曲线运动时加速度在两维直 角坐标系和自然坐标系下的表示对比
axi a y j
2 v B. R
d v v2 C. dt R
D. √
v dv R dt
2
2
2
E. 以上都不对
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课堂练习
一质点沿螺旋线自外向内运动，如图，已知其走过的 弧长与时间t的一次方成正比，则该质点加速度的大 小是：
A. √
越来越大 B. 越来越小 C. 不变 D. 条件不足，不能判定
2 2 a a ax a y
a lim
t 0
v a n en at et t
两种表示法下加速度 的大小相同吗？
2 2 a a an at
dv v2 at , an dt
10
课堂 讨论
a
2 2 ax ay
a a
v n v t v lim a lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
法向方向-相当于匀速率圆周 运动时的向心加速度方向
vn 方向改变量 vt 大小改变量
v
切线方向
B

O
vB
vt
A
vn
vA
在直角坐标系中 矢量 A Ax i Ay j Az k 两维以上， 矢量！ 大小： A A Ax2 Ay2 Az2
一维， 可用标量替代！
上次课内容复习
1. 位置矢量
r xi yi zk
矢量 矢量
2. 运动方程
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
O
r S t
P(x,y)
0
x i
v2 匀速率圆周运动时： at 0; an av 自然坐标： r 非匀速率圆周运动时 : S f (t ) 2 dv d d at ; an at r r 2 0 dt dt dt v2 a v an r 2 r
2-2-2 圆周运动及其角量描述
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曲线运动的自然坐标描述
(一) 一般曲线运动的角线量关系
ds d
d
2
自然坐标系中
曲率半径
角量
角位移： d d t 1 d dt lim 角速度： t 0 t dt d d 2 角加速度： lim 2 t 0 t dt dt
a a n en a t et a n a t
2 2 大小: a a an at
8
a a n en a t et
an at
*法向加速度: 由速度方向的变化带来得的加速度 2 v 2 大小: a a ：曲率半径。 v n n 方向 : en 垂直于速度,指向曲线的凹侧。 *切向加速度： 由速度大小的变化带来的加速度。
an v k k
dS v K k v dt
2 2 2
dv dk at 0 dt dt

k a( ) at an
a
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圆周运动的角量描述 线量与角量之间的关系
角位移： d
1 2
d lim 角速度： t 0 t dt 2 d d 角加速度： lim t 0 t dt dt 2
d 2r d2 a 2 2 ( xi yj zk ) dt dt
两维以上， 矢量！
a a x i a y j az k 大小：a a a 2 a 2 a 2 x y z
dv x d 2 x a x 2 dt dt dv y d 2 y a y 2 dt dt 2 dv a z d z z 2 dt dt
即
x dx t v cos dt 0 0 0 进行积分： y t dy v 0 sin gt dt 0 0 积分得: x v 0 t cos
(3) 1 2 y v 0 t sin gt 2 运动方程 1 2 r (v0t cos )i (v0t sin gt ) j 2
方向：当质点作曲线运动时， a 的方向 总是指向轨迹曲线凹的一面，与同一 时刻速度v 的方向一般是不同的。
a
v
3
#1a0106002a
课堂讨论 若一质点的运动方程为 x=x(t),y=y(t),有人求速度加速度作法如下:
r x2 y2
dr d2 r 速度 v , 加速度 a dt dt2
？
v
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一质点沿螺旋线自外向内运动，如图，其走过的 课堂 弧长与时间t一次方成正比，比例系数为 k。求该 练习 质点加速度的大小与t时刻的曲线曲率半径的关系？
分析： 已知：S kt a( ) ?
a
2 at2 an
dv v2 at , an dt
v
解: S kt dS kdt k dS d dt
rt
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用角量和线量表示的匀变速率圆周运动的运动方程
0 t
0
2 2 0
2( 0 )
v v0 at t 1 2 S S0 v0t at t 2
1 0t t 2 2
dv at r dt
v r
v v 2at(S S0 )
r v t
方向:
矢量
dx dy dz dr i j k v x i v y j vz k v dt dt dt dt v v 大小：v v v v
2 2 2 x y z
方向：该点切线方向
7.平均速率与瞬时速率（即速率）
标量
dS v dt
S v t
v v
dr ds
dr ds v v dt dt
v v
1; 2 2
求瞬时速率的两种方法:
矢量 8.瞬时加速度（即 加速度） 2 v dv d dr d r a lim 2 t 0 t dt dt dt dt 一维， 标量,代数量！
0
D. 以上都不对
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*(四) 自然坐标系下角速度和加速度的矢量表示
v
规定: 的方向:
右手螺旋规则

r
o
速度与角速度的关系
v r
dv dω dr r ω 加速度与角量的关系 a dt d t dt
r ω (ω r ) 切向 a t 法向 a n
2 n
2 t
a axi a y j a a n en a t et
a
ax
o
y
at
an en ax i
a e a y j
ay