2005年第五届中国西部数学奥林匹克官方解答

第五届西部数学奥林匹克四川 成都 第一天（2005年11月5日 上午8：00---12：00）一、已知20052005αβ+可以表示成以αβ+，αβ为变元的二元多项式，求这个多项式的系数之和．解1： 在k k αβ+的展开式中， 令1,αβ+=1αβ=，其所求系数之和为k S ．由1122()()()()k k k k k k αβαβαβαβαβ−−−−++=+++， 有：12k k k S S S −−=−，从而 2323()k k k k k S S S S S −−−−=−−=−， 同理 36k k S S −−=−． 所以， 6k k S S −=．于是，数列{}k S 是周期为6的周期数列． 故200511S S ==．解2：在k k αβ+的展开式中， 令1,αβ+=1αβ=，其所求系数之和为k S ． 则,αβ是方程210x x −+=的根． 解得：cossin33i ππα=+，cossin33i ππβ=−，从而(cossin )(cos sin )3333kkkki i ππππαβ+=++−(cos sin )(cos sin )3333k k k k i i ππππ=++−2cos .3k π=取2005k =，得 1.k S =二、如图, 过圆外一点P 作圆的两条切线,PA PB ，,A B 为切点， 再过点 P 作圆的一条割线分别交圆于,C D 两点，过切点B 作PA 的平行线分别交直线,AC AD 于,E F ． 求证：BE BF =．证明: 连 ,,BC BA BD , 则ABC PAC E ∠=∠=∠．所以, ~ABC AEB ΔΔ．从而BE ABBC AC=, 即AB BCBE AC⋅=---------(1) 又ABF PAB ADB ∠=∠=∠, 所以~ABF ADB ΔΔ, 从而BF AB BD AD=, 即AB BDBF AD ⋅=--------(2) 另一方面, 因为~PBC PDB ΔΔ, ~PCA PAD ΔΔ． 所以BC PC BD PB=, AC PCAD PA =． 而BE BF =, 所以BC ACBD AD=-------（3） 于是 BC BD AC AD=．故由（1）（2）（3）三式即知BE BF =．三、设{1,2,,2005}S = ． 若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值．解:首先, 我们有16n ≥．事实上, 取集合222220{1,2,3,5,,41,43}A = 则0A S ⊆, 0||15A =,0A 中任意两数互质, 但其中无质数, 这表明16n ≥．其次, 我们证明: 对任意,||16A S n A ⊆==， A 中任两数互质, 则A 中必存在一个质数． 利用反证法, 假设A 中无质数． 记1216{,,,}A a a a = ，分两种情况讨论．（1）若 1A ∉, 则1216,,,a a a 均为合数, 又因为(,)1(116)i j a a i j =≤<≤,所以i a 与j a 的质因数均不相同,设i a 的最小质因数为i p ,不妨设1216p p p <<< ，.aoshoo com 暗记，则222222112215152,3,,472005a p a p a p ≥≥≥≥≥≥> ,矛盾．（2）若1A ∈, 则不妨设161151,,,a a a = 均为合数,同（1）所设,同理有222222112215152,3,,472005a p a p a p ≥≥≥≥≥≥> ,矛盾．由（1）（2）知, 反设不成立, 从而A 中必有质数, 即||16n A ==时结论成立． 综上, 所求的n 最小值为16．四、已知实数12,,,n x x x （2n >）满足1||1ni i x =>∑, ||1i x ≤（1,2,,i n = ）．求证： 存在正整数k , 使得 11||1kni ii i k x x ==+−≤∑∑．解：令1111(0),()(11),(),n knni i ii i i i k i g x g k x x k n g n x ===+==−=−≤≤−=∑∑∑∑则1|(1)(0)|2||2,g g x −=≤1|(1)()|2||2,1,2,,2,k g k g k x k n ++−=≤=− |()(1)|2|| 2.n g n g n x −−=≤所以对任何01k n ≤≤−均有|(1)()|2,g k g k +−≤ (1)假设结论不对,则由条件对任何0k n ≤≤均有|()|1g k >, (2)这时若存在01i n ≤≤−有()(1)0g i g i +<,则不妨设()0,(1)0g i g i >+<,这时由(2)知()1,(1)1,g i g i >+<−故|(1)()|2,g i g i +−>与(1)矛盾．于是(0),(1),,()g g g n 同号，但(0)()0g g n +=,矛盾．故结论成立．第五届西部数学奥林匹克四川 成都 第二天（2005年11月6日 上午8：00---12：00）五、如图，圆1O 与圆2O 交于,A B 两点． 过点1O 的直线DC 交圆1O 于D 且切圆2O 于C ，CA 切圆1O 于A ，圆1O 的弦AE 与直线DC 垂直． 过A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足．求证：BD 平分线段AF ．证：设AE 交DC 于H ，AF 交BD 于G ， 连接,,,,,AB BC BH BE CE GH ，由对称性知CE 边也是圆O 的切线，H 为AE 的中点．,HCB BAC BAC BEH ∠=∠∠=∠∵， ,,,,HCB HEB H B C E ∴∠=∠四点共圆，BHC BEC ∴∠=∠．又BEC BDE ∠=∠，BHC BDE ∴∠=∠． ① 2AF DE AGB BDE π⊥⇒∠=−∠， ② 2AE DC AHB BHC π⊥⇒∠=−∠， ③由①②③得：AGB AHB ∠=∠，,,,A G H B ∴四点共圆，AHG ABG AED ∴∠=∠=∠， //GH DE ∴．而H 为AE 的中点，故G 为AF 的中点．六、在等腰直角ABC Δ中，1CA CB ==, 点P 是ABC Δ边界上任意一点, 求PA PB PC ⋅⋅的最大值．解:首先证明取到最大值只有当P AB ∈时, 才可能取到．.O 1 FDECB A. O 2H(1)当PAC ∈时，有1,4PA PC PB ⋅≤≤ 故4PA PB PC ⋅⋅≤，其中等号不成立（因为两个等号不可能同时成立），即4PA PB PC ⋅⋅<．（2）当P AB ∈时，设AP x=∈，则222222())(1)f x PA PB PC x x x =⋅⋅=−+．令)t x x =，则21[0,],()()(1)2t f x g t t t ∈==−．注意到/2()23(23)g t t t t t =−=−，故()g t 在2[0,]3上递增，11()()28f x g∴≤=，故4PA PB PC ⋅⋅≤=． 等号成立当且仅当1,22t x ==，即P 为AB 的中点时取等号．七、设正实数 ,,a b c 满足1a b c ++=, 证明：33355510()9()1a b c a b c ++−++≥． 证明：35213(),15()[]a a b a a b a ab =−Π+=−Π+⋅+∑∑∑∑∵∴原不等式210[13()]9[15()()]1a b a b a ab ⇔−Π+−−Π++≥∑∑245()()30()a b a ab a b ⇔Π++≥Π+∑∑223()22()2(2)a ab a a ab ⇔+≥==+∑∑∑∑∑ 2a ab ⇔≥∑∑ （*） 而2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥故222a ab ≥∑∑，即2a ab ≥∑∑，即（*）成立． 从而原不等式成立．八、设n 个新生中，任意3个人中有2个人互相认识， 任意4个人中有2个人互不认识． 试求 n 的最大值．CP A（1）（2）CPBA解：所求n 的最大值为8．当8n =时，如右图所示的例子满足要求， 其中128,,,A A A 表示8个学生，i A 与j A 连 线表示i A 与j A 认识，否则不认识．下设n 个学生满足题设要求，我们来证明8n ≤．为此，我们先来证明如下两种情况不可能出现：① 若某人A 至少认识6个人，设为16,,B B ，由Ramsey定理，这6个人中存在3个互不相识（这与已知任3个人中有2个相识矛盾）；或存在3个人互相认识，这时A 与这3个人共4人两两互相认识，亦与已知矛盾．② 若某人A 至多认识5n −个人，则剩下至少4个人均与A 不相识，从而这4个人两两相识，矛盾．其次，当10n ≥时，①与②必有一种情况出现，故此时n 不满足要求当9n =时，要使①与②均不出现，则此时每个人恰好认识其他5个人，于是这时9个人产生的朋友对（相互认识的对子）的数目为*952N ×∉，矛盾！ 由上可知，满足要求的8n ≤．综上，所求n 的最大值为8．A 1A 2A 5A 8A 7A 3A 4A 6。