分组分配问题

计数原理分组分配问题
计数原理（Counting Principle）是组合学的一个基本原理，它用于计算某个事件中可能发生的不同情况数。

其中，分组分配问题是计数原理的重要应用之一。

在分组分配问题中，我们需要将n个物品分配给k个组，每个组中至少分配一个物品，而不同组之间的物品是可以相同的。

这种问题在实际中有很多应用，比如将n个人分配到k个房间、将n个球分配到k 个篮子等等。

在解决分组分配问题时，我们可以使用组合数公式来求解。

具体来说，设n个物品要分配到k个组中，每个组至少分配一个物品，则可以得到如下公式：
C(n-1, k-1)
其中，C表示组合数，n-1是因为每个物品都必须被分配到某个组中，因此总共要减去k个物品，再加上一个物品，即n-1+1=n。

k-1是因为每个组至少分配一个物品，在分配第一个物品后，剩下的物品就可以看作是n-1个物品分配到k-1个组中，因此组数为k-1。

例如，如果有8个人要分配到4个房间中，每个房间至少有一个人，则可以使用上述公式进行计算：
C(8-1, 4-1) = C(7, 3) = 35
因此，共有35种不同的分配方案。

需要注意的是，在实际问题中，有时可能会出现一些限制条件，比如某些物品不能被分配到某些组中，或者某些组必须分配到特定的物品等等。

在这种情况下，我们需要对上述公式进行适当的调整，以满足特定的限制条件。

分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。

该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。

解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。

下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。

一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。

这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。

具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。

2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。

设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。

其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。

3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。

二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。

在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。

多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。

具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。

通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。

2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。

利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。

3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。

计数原理分组分配问题问题描述计数原理分组分配问题是一个经典的组合数学问题，涉及到如何将一组元素分配到不同的组中，以满足一定的条件。

这个问题在实际生活中有很多应用，比如任务分配、车站排队等。

问题背景在讨论计数原理分组分配问题之前，先来了解一下计数原理。

计数原理是组合数学中的一项基本原理，通过这个原理，我们可以计算出某个情况下的可能性数量。

在计数原理中，有两个常用的方法，分别是排列和组合。

排列指的是从给定的元素中选择若干个进行排列，考虑了元素的顺序。

组合则是从给定的元素中选择若干个，不考虑元素的顺序。

对于计数原理分组分配问题，我们通常使用组合的方法来求解。

问题分析计数原理分组分配问题可以形式化地表述为：将n个元素分配到k个组中，每个组中至少要有m个元素，求解满足条件的分组方法数量。

这个问题的关键在于如何选择元素放置的位置，以及如何限制分配的条件。

在前面给出的问题描述中，我们已经知道了元素的总数量n、分组的数量k以及每个组中至少要有的元素数量m。

不妨假设将每个组看作是一个盒子，将元素看作是小球。

我们需要通过计数原理来确定如何将小球放入盒子中，并且满足每个盒子至少有m个小球的要求。

算法设计为了解决计数原理分组分配问题，我们可以使用递归的算法。

具体步骤如下：1.设定一个变量count，用于记录满足条件的分配方法的数量。

2.如果n < k * m，表示元素的数量不足以满足每个组至少有m个元素的要求，直接返回0。

3.如果k = 1，表示只有一个组，这时无论元素数量如何，都只有一种分配方法，即所有元素都放入这个组中，所以count = 1。

4.否则，我们需要依次考虑将一个元素放入第一个组、放入第二个组等等情况下的分配方法数量。

5.对于将一个元素放入第i个组的情况，我们需要求解剩下的n-1个元素分配到k-1个组中，每个组至少有m个元素的分配方法数量，即递归调用算法。

6.将所有情况下的分配方法数量相加，得到最终的结果，即为count。

排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。

在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。

1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。

在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。

2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。

在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。

具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。

3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。

在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。

具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。

4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。

在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。