27.2.4二次函数的图象与性质4

课堂小结 1.你能说出函数 y＝a（x－h）2＋k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标吗？试填写下表．
2.本节研究了函数 y＝a（x－h）2＋k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象及其性质，这种形式 叫做二次函数的顶点式，是我们研究二次函数问题的重要形式。 3.不画图象说出下列函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1） y 2 x
复习导学
1．函数 y
1 1 ( x 1) 2 的图象可以看作是将函数 y x 2 的图象向_____平移_____个单位 2 2
得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）．当 x______时，函数 值 y 随 x 的增大而减小；当 x_____时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x_____时，函数取 得最______值，最______值 y ＝______． 2．函数 y
2
系． 2．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数 y a( x k ) 2 h 的性质．
重点、难点
重点：理解 y a( x k ) 2 及 y a( x k ) 2 h 类型函数的图象特点和性质． 难点：灵活运用 y a( x k ) 2 及 y a( x k ) 2 h 类型函数的图象特点和性质去解决问 题．
2
做一做： （1） 画出函数 y 2( x 1) 2 的图象，并将它与函数 y 2( x 1)
2 2
的图象作比较．
2
函数 y 2( x 1) 2 2 的图象是由函数 y 2( x 1) 2 的图象向_____平移_____个单位 得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）． 当 x______时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_____时，函数值 y 随 x 的增大而增 大；当 x_____时，函数取得最______值，最______值 y ＝______． （2） 试说出函数 y

二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。

二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。

根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。

根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。

平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。

与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向

27．2 二次函数的图象与性质（4）(第5课时)一、知识衔接由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数________________(222+=x y )的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数_________________(2)3(2-=x y )的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ 二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、．并观察三个图象之间的关系．,把函数y=221x y =的图象沿x 轴向 平移 个单位长度,可得2)1(21-=x y 的图象;再把函数2)1(21-=x y 的图象沿y 轴方向向 平移 个单位长度就可以得到函数2)1(212--=x y 的图象. 即．把抛物线y ＝－12x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得x… -3-2 -10 12 3... 221x y = (2)9 221 021 229 … 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．三、归纳1. 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中______________________的值；左右平移，只影响__________________________的值，抛物线的____ _________________不变，所以平移时，可根据 ______________的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．2、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x-h)2y ＝a (x －h)2＋k开口方向顶点 对称轴 最值增减性（对称轴右侧）3．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________．例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．四、课堂练习 1．y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12(x －2)2＋3B ．y ＝12(x ＋2)2－3C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________． 五、作业：1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．4.已知函数()9232+--=x y 。