高二数学新人教版A必修5 3.3《二元一次不等式(组)与平面区域》(5课时)

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域；【教学难点】【教学过程】1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。

在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型把实际问题转化数学问题：设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。

（把文字语言转化符号语言）（资金总数为25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）⇒(12%)x+(10%)y 30000≥ 即12103000000x y +≥（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥ （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。

平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1 画出不等式44x y+<表示的平面区域。

解：先画直线44x y +=（画成虚线）.取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。

变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。

例2 用平面区域表示.不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。

变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。

3.随堂练习1、课本第97页的练习1、2、34.课时小结1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．5.评价设计课本第105页习题3.3[A]组的第1题【板书设计】课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第2课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】1.课题导入[复习引入]二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习11、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.B(-52,52)C(A(3x=x+y=0x-y+5=0063x y2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

2.讲授新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++⨯+⨯≤即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。

列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：41018156600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题]例1、画出下列不等式表示的区域(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2)xy x 2≤≤分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x x 2≤，得0≥x ，又用y -代y ，不等式仍成立，区域关于x 轴对称。

解：(1)10010≤-≤⇒⎩⎨⎧≤--≥-y x y x y x 或⎩⎨⎧≥-≤-10y x y x 矛盾无解，故点),(y x 在一带形区域内（含边界）。

(2) 由x x 2≤，得0≥x ；当0>y 时，有⎩⎨⎧≥-≤-020y x y x 点),(y x 在一条形区域内(边界)；当0≤y ，由对称性得出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解例2、利用区域求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--015530632032y x y x y x 的整数解分析：不等式组的实数解集为三条直线032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，1553:3=--y x l 所围成的三角形区域内部(不含边界)。

设A l l =⋂21，Bl l =⋂31，C l l =⋂32，求得区域内点横坐标范围，取出x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为y 的一元不等式组得出相应的y 的整数值。

解：设032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，01553:3=--y x l ，A l l =⋂21，Bl l =⋂31，Cl l =⋂32，∴)43,815(A ，)3,0(-B ，)1912,1975(-C 。

于是看出区域内点的横坐标在)1975,0(内，取x ＝1，2，3，当x ＝1时，代入原不等式组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><-<512341y y y ⇒1512-<<-y ，得y ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。

同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。