周周练(13) 答案1. 解:(Ⅰ)设函数()g x 图像与x 轴的交点坐标为(a ,0),又∵点(a ,0)也在函数()f x 的图像上,∴320a a +=.而0a ≠,∴1a =-.(Ⅱ)依题意,()()f x g x =,即2ax ax x a +=-,整理,得 2(1)0ax a x a +-+=,①∵0a ≠,函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ,∴0∆>,即△=22(1)4a a --=2321a a --+=(3a -1)(-a -1)>0.∴-1<a <31且0a ≠.设A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),且1x <2x ,由①得,1x 2x ⋅=1>0, 121a x x a-+=-.设点o 到直线()g x x a=-的距离为d ,则d =12|||AB x x ==-.∴O A BS ∆=2112||x x-=21=.∵-1<a <31且0a ≠,∴当13a =-时,O A B S ∆有最大值33,O A B S ∆无最小值.(Ⅲ)由题意可知()()()()f x g x a x p x q -=--.10x p q a <<<<,∴()()0a x p x q -->,∴当()0,x p ∈时,()()0,f x g x ->即()()f x g x >.又()()()()()()(1)f x p a a x p x q x a p a x p ax aq --=--+---=--+, 0,110,x p ax aq aq -<-+>->且∴()()f x p a --<0, ∴()f x p a <-,综上可知,()()g x f x p a<<-.2. 解:(I )22()[(2)]x f x x a x a b e -'=++++,由条件得:(1)0f '=. 230a b ∴++=,32b a ∴=--.22()[(2)3]0x f x x a x a e -'=++-->得:(1)[(3)]0x x a ---->.当4a =-时,1x =不是极值点,4a ∴≠-.当4a >-时,得1x >或3x a <--;当4a <-时,得3x a >--或1x <.综上得:当4a >-时,()f x 的单调递增区间为(,3)a -∞--及(1,)+∞单调递减区间为(3,1)a --.当4a <-时,()f x 的单调递增区间为(,1)-∞及(3,)a --+∞单调递减区间为(1,3)a --.(II )(0,1)a ∈时,由(I)知()f x 在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.∴当[0,2]x ∈时,11min ()(1)(1)(2)f x f a b e a e --==++=--.职 又2(0)(32)f a e-=--,(2)421f a b =++=,则(2)(0)f f >.∴当[0,2]x ∈时,1()[(2),1]f x a e -∈--.由条件有:2112max minmax [(2)]1()()()()m a m e f x f x f x f x -+++>-=-11(2)a e-=++.2(2)2m a m a ++>+.即2(1)20m a m ++->对(0,1)a ∈恒成立.令2()(1)2g a m a m =++-,则⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=≥-=01)1(02)0(22m g m g解得:m ≥或2m ≤.3. 【解析】(1)证明:∵),(21OB OA OM += ∴M 是AB 的中点.设M 点的坐标为(x ,y ),由21(x 1+x 2)=x =21,得x 1+x 2=1,则x 1=1-x 2或x 2=1-x 1.而y =21(y 1+y 2)=21[f (x 1)+f (x 2)] =21(21+log 2)1log21122211x x x x -++-=21(1+log 2)1log122211x x x x -+- =21(1+log 2)1·12211x xx x --=21(1+log 2,21)0121··2121=+=()x x x x ∴M 点的纵坐标为定值21.(2)由(1),知x 1+x 2=1,f (x 1)+f (x 2)=y 1+y 2=1,S n =f (),1()2()1nn f n f n-+⋯++S n =f ()1()2()1nf n n f nn +⋯+-+-,两式相加,得2S n =[f ()1()1nn f n -+)+[f ()2()2nn f n-+)+…+[f ()1()1nf n n +-)=1111-+⋯++n ,∴S n =21-n (n≥2,n∈N *).(3)当n≥2时,a n =114114().(1)(1)(1)(2)12n n S S n n n n +==-++++++T n =a 1+a 2+a 3+…+a n =432+[()1111()4131+-++⋯+-n n ]=432+(.22)2131+=+-n n n由T n <λ(S n+1+1),得22+n n <λ·.22+n ∴λ>.444444)2(422++=++=+nn n n n n n ∵n+n4≥4,当且仅当n =2时等号成立,∴.21444444=+≤++nn因此λ>21,即λ的取值范围是(,21+∞).4. 解:(1)由题意,211()sin g x xxθ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立,即2sin 10sin x xθθ⋅-⋅≥.∵θ∈(0,π),∴sin 0θ>.故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立, 只须sin 110θ⋅-≥,即sin 1θ≥,只有sin 1θ=.结合θ∈(0,π),得π2θ=.(2)由(1),得()()f x g x -=2ln mmx x x--.()222()()m x x mf xg x x -+'∴-=. ∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数,∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1,+∞)恒成立. 220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥,即221x m x+≥,而22211x x x x=++,(21x x+)max =1,∴1m ≥.220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤,即221x m x+≤在[1,+∞)恒成立,而221x x +∈(0,1],0m ≤.综上,m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ . (3)构造()()()()F x f x g x h x =--,2()2ln m e F x mx x xx=---.当0m ≤时,[1,]x e ∈,0m mx x -≤,22ln <0e x x--,所以在[1,e ]上不存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立. 当0m >时,22222222(())'m e m x x m eF x m xxxx-++=+-+=.因为[1,]x e ∈,所以220e x -≥,20mx m +>,所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立.故()F x 在[1,]e 上单调递增,m ax ()()4m F x F e me e ==--,只要40m me e-->,解得241e m e >-.故m 的取值范围是24(,)1e e +∞-.。