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第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题(初二组)

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第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试题（初二组）
（时间：2007年4月21日 10：00~11：30 ）
一、填空题（每题10分，共80分）
1、已知4=-b a ，042=++c ab ，则c b a ++的值为 。

2、已知0)2(12=-+-ab a ，则)
2007)(2007(1)1)(1(11+++++++b a b a ab 的值为 。

3、在平面直角坐标系中，点P ]1)1([-+m m m ，（m 为实数）不可能在第 象限。

4、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是 。

5、如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5，S △PAD ＝2，则阴影部分的面积为 。

6、若10个数据的平均数是2
2，平方和是10，则方差
是 。

7、若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），
则222004
b a +的值是 。

8、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。

则该校去参加春游的人数为 ；若已知45座客车的租金为每辆250元，60
座客车租金为每辆
300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 元。

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程） 9、已知f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)1(，求下列各式的值： （1）f e d c b a +++++ （2）e d c b +++ （3）e c a ++
10、如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上
一点，且∠AED ＝90°＋2
1
∠C ，求CE 的长。

A
D
B
C
E
11、已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数。

是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由。

12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。

问这家原来的电话号码是多少？
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试题参考答案（初二组）
一、填空（每题10分，共80分）
注：第8题，每空5分。

1-8题参考答案提示：
1、解：因为042
=++c ab ，即0)4(2=++c ab ，所以4-=ab ，0=c 。

0)4(4164)()(22=-⨯+=+-=+ab b a b a ，所以c b a ++=0。

2、解：由非负性可得：
1=a ，2=b ，
原式=
2009
2008200912008141313121211200920081431321211=-++-+-+-=⨯++⨯+⨯+⨯ 3、解：（1）当0)1(>+m m 时，有⎩⎨⎧>+>010m m 或⎩
⎨⎧<+<010m m ，所以0>m 或1-<m ，因此
11->-m 或21-<-m ，即P ]1)1([-+m m m ，经过第一、四象限。

（2）当0)1(<+m m 时，有⎩⎨
⎧<+>010m m 或⎩
⎨⎧>+<010m m ，所以01<<-m ，因此
112-<-<-m ，即P ]1)1([-+m m m ，经过第四象限。

综合得，P ]1)1([-+m m m ，不经过第二象限。

4、解：11：10。

设标准时间经过了x 小时，则60)6
5
105.4(3⨯-+=x x ，解得=x 6小时40分。

5、因为S ∆PAB ＋S ∆PCD ＝
2
1S ABCD ＝S ∆ACD
所以S ∆ACD －S ∆PCD ＝S ∆PAB 则S ∆PAC ＝S ∆ACD －S ∆PCD －S ∆PAD ＝S ∆PAB －S ∆PAD ＝5－2＝3 6、解：2
2)(1011021=+++=
x x x x ，102
102221=+++x x x ，
2
1]21102522210[101]
10)(2)[(101]222[10
1])()()[(10
1
210212
1022212102
10222221212102221=⨯+⨯⨯-=++++-+++=+-+++-++-=
-++-+-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S 7、解：⎩⎨⎧=+=+8975431771103457323y x y x ，解得⎩⎨⎧==1
2y x ，所以2=a ，1=b ，因此22
2004
b a +=2008 8、解：设该校去参加春游的人数为a 人，则有
160
30
45++=a a ，解得a =270 设租用45座客车x 辆，则租用60座客车（x +1）辆，由题意
若单独租45座客车需要270÷45=6辆，租金250×6=1500元，若单独租60座客车需要（270+30）÷60=5辆，租金300×5=1500元，则有
⎩
⎨
⎧≥++<++270)1(60451500)1(300250x x x x ，解得1124
34<≤x ∴x = 2
即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250×2+300×3=1400（元）
二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程）
9、解：（1）令1=x ，即可得32=+++++f e d c b a ； （2）比较两边系数，因为1==f a ，所以30=+++e d c b ；
（3）再令1-=x ，可得0=+-+-+-f e d c b a ，与（1）中的结论相减再除以2，即可得16=++e c a 。

评分参考：第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）题4分。

10、解：作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H 。

…………（1分）
则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋2
1
∠C 。

……………………………………………………（2分）
因为∠AED ＝90°＋
2
1
∠C ，所以∠CHF ＝90°＝∠CHB 。

……………………………（3分）
又∠FCH ＝∠BCH ，CH ＝CH 。

∴ △FCH ≌△BCH 。

……………………………………………………（5分） ∴ CF ＝CB ＝4，…………………………………（6分） ∴ AF ＝AC －CF ＝7－4＝3。

………………（7分）
∵ AD ＝DB ，BF ∥DE
∴ AE ＝EF ＝1.5。

………………（9分）
∴ CE ＝5.5。

………………（10分） 评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给2分。

11、解：不存在正整数n ，使得35+n 是质数。

理由如下：…………（1分） 设2
12k n =+，2
13m n =+，其中k ，m 都是正整数，则
)2)(2(4)13()12(43522m k m k m k n n n -+=-=+-+=+。

…………………（4分）
若12≠-m k ，则35+n 不是质数；…………………………………………………（7分） 若12=-m k ，则12235+=+=+m m k n ，于是
2)35()13(2)12(12)1(222++-+=++-=+-=-n n m m m m m
02<-=n ，矛盾。

…………………………………………………………………（9分）
综上所述，不存在正整数n ，使得35+n 是质数。

………………………………（10分） 评分参考：见解答过程。

12、解：设原电话号码为abcdef ，则升位后为bcdef a 32，令bc de f x =，…………（2分）
∴bcdef a abcdef 3233=⨯，即x a x a ++=+100000020300000)100000
(33， 化简得a x 23000002030000032-=91(≤≤a ，1000000<≤x 的整数），………………（6分）
故100000)23203(31250<-<≤a x ，20323171≤<a ，
∴8=a 。

…………………………………………………………………………………………（8
A D B
C
E F G
H
分）
于是59375)823203(3125=⨯-=x 。

故所求的电话号码为859375。

…………………………………………………………………（10分）
评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给4分。

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八年级数学华罗庚金杯少年决赛试题

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八年级数学华罗庚金杯少年决赛试题第十二届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二组）一、填空题（每题10 分，共80 分）1、已知，，则的值为。

2、已知，则的值为。

3、在平面直角坐标系中，点P（m 为实数）不可能在第象限。

4、有一只手表每小时比准确时间慢3 分钟，若在清晨4：30 与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是。

5、如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为。

6、若10 个数据的平均数是，平方和是10，则方差是。

7、若直线与直线的交点坐标是（，），则的值是。

8、某校组织师生春游，如果单独租用45 座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60 座客车，可以少租一辆，且余30 个座位。

则该校去参加春游的人数为；若已知45 座客车的租金为每辆250 元，60 座客车租金为每辆300 元，这次春游同时租用这两种客车，其中60 座客车比45 座客车多租1 辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元。

二、解答题（每题10 分，共40 分，要求写出解题过程）9、已知，求下列各式的值：（1）（2）（3）10、如图所示，在△ABC 中，AC＝7，BC＝4，D 为AB 的中点，E 为AC边上一点，且∠AED＝90°＋∠C，求CE 的长。

11、已知是正整数，且与都是完全平方数。

是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由。

12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3 成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2 成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33 倍。

问这家原来的电话号码是多少？第十二届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初二组）一、填空（每题10 分，共80 分）题号12345678 答案0 二11：1032008270，1400注：第8 题，每空5 分。

第十二届全国

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第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题（初二组）（时间：2007年4月21日 10：00~11：30 ）（每题10分，共80分）、已知4=-b a ，042=++c ab ，则c b a ++的值为 。

、已知0)2(12=-+-ab a ，则)2007)(2007(1)1)(1(11+++++++b a b a ab 的值为 。

、在平面直角坐标系中，点P ]1)1([-+m m m ，（m 为实数）不可能在第 象、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，10：50，准确时间应该是 。

5、如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5，△PAD ＝2，则阴影部分的面积为 。

、若10个数据的平均数是22，平方和是10，则方差是 。

、若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），222004b a +的值是 。

、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。

则该校去参加春游的人数为 ；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 元。

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程） 9、已知f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)1(，求下列各式的值： （1）f e d c b a +++++ （2）e d c b +++ （3）e c a ++10、如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长。

ADBCE11、已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数。

2019年香港华罗庚金杯少年数学邀请赛(决赛)初中二年级、初一年级组试题含答案

2019年香港华罗庚金杯少年数学邀请赛(决赛)初中二年级、初一年级组试题含答案

日期： 2019 年 3 月 16 日
一小時三十分鐘完卷 (上午 10:00 至上午 11:30) 比賽須知：
1. 全卷共 10 題，滿分 100 分。包括填空題 6 道，每題 10 分；詳答題 4 道，每題 10 分。 2. 參賽學生必須全部作答，所有答案寫在答題紙上。 3. 填空題無需書寫步驟，只須填寫答案；詳答題要求寫出詳細過程。 4. 比賽時使用自備文具，例如鉛筆、原子筆及橡皮擦膠等。不准使用計算器。違規者將被
若 | x1－x2|＝2 2，則 k 的值為
．
答案：1． 解：令 x＋2＝kxx2＋2x－k＝0，△＝22＋4k≥0k≥－1．
x1＋x2＝－2，x1x2＝－k，|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝ 4＋4k＝2 2 k＝1.
9. 如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長為 1．記圖中陰影部分的面積 A
中二組 F.2 (10 marks for each question)
1. (3x－1)2＝0x＝3，故3x＋3x＝2
2.
24＋1＝4( 2－1)，3－4 5＝3＋ 5即滿足要求的 m 可以取 2，3，4，
5，共 4 個數
3. 取(0，2)關於直線 y＝x 的對稱點(2，0)，過(－4，－2)，(2，0)的直線為 y＝ 13(x－2)，與 y＝x 交於點(－1，－1)．即為周長最小時的點 C．故 a＝－1
二、解答下列各題 (每小題 10 分，共 40 分，要求寫出詳細過程。)
7. 求 − 2 + 2 (− 2 )2 − 4 (− 2 )4 的值。
2
2
2
8. 設 k 為非零實數， 兩個函數 y = x + 2 與 y = k 的圖像相交於 A(x1，y1)、B(x2，y2) x
第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 (3)

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1第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（初一组）（时间：2007年3月24日 10∶00～11∶00）一、选择题（每小题10分）以下每小题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．1． 算式 321(1)21(1)2(1)1-⨯----+⨯-+等于（ ）．(A) 2- (B) 1- (C) 1 (D) 22． 新制作的渗水防滑地板是形状相同的长方形．如图1，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形．如果大长方形的周长为150厘米，则一块渗水妨滑地板的面积是（ ）平方厘米． (A) 450 (B) 600 (C) 900 (D) 1 350 3． 如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式．例如：32322x xy xyz y +++是3次齐次多项式．若22323m xy xy z ++是齐次多项式，则m 等于（）．(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44． 若x y y x +=-，则有（ ）． (A) y ＞0，x ＜0(B) y ＜0，x ＞0(C) y ＜0，x ＜0(D) x =0，y ≥0或y =0，x ≤05． 设a b ＞0，cd＞0．有如下四个结论： (1) 如果 ad ＞bc ，则必定有 a b ＞c d ．(2) 如果 ad ＞bc ，则必定有 a b ＜cd． (3) 如果 ad ＜bc ，则必定有a b ＜c d ．(4) 如果 ad ＜bc ，则必定有 a b ＞c d． 其中正确结论的个数是（ ）． (A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3图1第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛6． 已知a 是整数，则以下四个代数式中，不可能得整数值的是（ ）．(A)325a + (B)23a- (C)316a + (D)527a -二、填空题（每小题10分）7． 如图2，空心圆柱底面圆环的外径和内径之比为2∶1，若保持内径不变，外径扩大成内径的3倍，则扩大后的空心圆柱的体积是原来的体积的 倍．8． 图3是某车间的1至12月的产量图表，记月份为n ，1至5月份的产量为20an +，6至12月份的产量为2bn -，则ab 等于 ．9． 相同的正方块码放在桌面上，从正面看，如图4；从侧面看，如图5．则正方块最多有 个，最少有 个．10．甲种签字笔每支3.5元，乙种签字笔每支2.65元．班上的同学每人出了相同的钱凑在一起买了两种签字笔若干支，将这些笔分给同学们，每人3支多2支，每人4支少13支．该班里有 名同学，每人至少要出 元钱．三、解答题（30分钟完成）11、（15分）若记号“*”表示球两个有理数的平均数的运算，即*2a ba b += （1）对于任意三个有理数a 、b 、c ， 等式(*)(*)(*)()*(222)222a b ca ab bc c a b c ++=++++是否成立？ （2）试写出一个两边都含有运算符号“*”和“+”且对于任意四个有理数a 、b 、c 、d 都成立的等式。