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2020届九师联盟高三12月质量检测数学(理)试题及答案

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2020届九师联盟高三12月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|2A x x =<，{}|0B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}|02x x <<B ．{|x x <C ．{|0}x x <<D ．{|0x x <<【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由交集定义求得结果. 【详解】{}{22A x x x x =<=<<Q {0A B x x ∴⋂=<<故选：D 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．已知复数241iz i+=-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,3-D ．()1,3【答案】B【解析】由复数运算法则化简得13z i =-+，由复数的几何意义可知对应点的坐标. 【详解】()()()()2412426131112i i i i z i i i i +++-+====-+--+Q ∴复数z 对应的点的坐标为()1,3-故选：B 【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的坐标的求解，关键是能够利用复数的运算法则化简复数.3．函数()2sin f x x x =在区间[],ππ-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性可排除,C D ，由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭可排除B ，从而得到正确结果. 【详解】()()()22sin sin f x x x x x f x -=-=-=-Q()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，可排除,C D ；又22sin 02424f ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，可排除B ，则A 正确. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，通常采用排除法来进行判断；排除的依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性.4．河南省新郑市望京楼遗址位于新郑市新村镇杜村和孟家沟村以西及周边区域，北距郑州市35公里，遗址发现于20世纪60年代，当地群众平整土地时曾出土过一批青铜器和玉器等贵重文物.望京楼商代城址保存较为完整，城址平面近方形，东城墙长约590米、北城墙长约602米、南城墙长约630米、西城墙长约560米，城墙宽度为10米～20米，则下列数据中可作为整个城址的面积较为准确的估算值的是（ ） A ．24万平方米 B ．25万平方米C ．37万平方米D ．45万平方米【答案】C【解析】由城址近方形可计算出方形边长的近似值，进而得到估算面积. 【详解】∴城址面积约为2238235.464⎛⎫≈ ⎪⎝⎭万平方米 选项中与35.46最接近的数据为37万平方米 故选：C 【点睛】本题考查根据数据计算估算值的问题，关键是能够计算出方形边长的近似值，属于基础题.5．已知向量()1,2a =-r ，()0,1b =r ，若向量xa b -r r 与a b +rr 垂直，则实数x 的值为（ ） A ．57B ．37C ．17-D ．27-【答案】B【解析】利用坐标表示出xa b -r r 与a b +r r ，由垂直关系知()()0xa b a b -⋅+=r r r r ，由数量积的坐标运算构造方程求得结果. 【详解】由题意得：(),21xa b x x -=--r r ，()1,3a b +=-rrxa b-r r Q 与a b +r r 垂直 ()()630xa b a b x x ∴-⋅+=+-=r r r r ，解得：37x = 故选：B 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系的坐标表示，关键是明确两向量垂直等价于两向量的数量积等于零.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7520a a -=，则4842S S S S +=（ ） A ．6 B ．7 C ．8D ．9【答案】C【解析】利用公比q 表示出7520a a -=，得到22q =；利用等比数列前n 项和公式表示出所求式子，化简后代入2q 即可得到结果.【详解】设等比数列{}n a 公比为q50a ≠Q 22q ∴=()()()()841184424424242118111111112428111111a q a q S S q q q q q q S S q q a q a qqq------∴+=+=+=+++=++=------ 故选：C 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前n 项和公式的应用，关键是能够利用已知等式确定公比的取值.7．将函数()2sin cos f x x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，若所得的图象过点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】由二倍角公式和三角函数的平移变换得到所得函数为()()sin 22g x x ϕ=-，代入1,32π⎛⎫⎪⎝⎭可求得ϕ所有可能的取值，进而得到最小值. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==将()f x 向右平移ϕ个单位得：()()sin 22g x x ϕ=-21sin 2332g ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22236k k Z ππϕπ∴-=+∈或()252236k k Z ππϕπ-=+∈ 即()4k k Z πϕπ=-∈或()12k k Z πϕπ=--∈又0ϕ> ϕ∴的最小值为4π故选：B 【点睛】的应用，关键是能够根据特殊角三角函数值得到角所有可能的取值.8．已知函数()32f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()173f a -=，()353f a -=-，则n S 的最大值为（ ）A ．20B ．22C ．18D ．16【答案】A【解析】由函数单调性，可知()13f =，()13f -=-，从而求得13,a a ，求得公差d 后可得等差数列通项公式，由此确定4n =或5时，n S 取得最大值；利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】易知 ()f x 在R 上单调递增令()3f x =，即()()()()33223121130x x x x x x x +-=-+-=-++=，解得：1x =即()13f = 171a ∴-=，即18a =令()3f x =-，即()()()()33223121130x x x x x x x ++=+++=+-+=，解得：1x =-即()13f -=- 351a ∴-=-，即34a =∴等差数列{}n a 的公差3122a a d -==- ()821210n a n n ∴=--=-+ 40a ∴>，50a =，60a < n S ∴的最大值为451545202S S a d ⨯==+=故选：A 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值的求解，涉及到函数单调性的应用、利用函数值求解自变量的值、等差数列通项公式的求解等知识；求解等差数列前n 项和的最值的常用方法有两种：①根据通项公式确定变号项；②利用n S 的二次函数性来求解.9．若把单词“anyway ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A ．179 B ．181C ．193D ．205【答案】A【解析】结合排列组合的知识，利用分步乘法计数原理求得6个字母排成一排所有可能的写法的种数，则可确定错误写法的种数.将6个字母排成一排，可分三步进行： 第一步：排,n w ，共有2630A =种排法；第二步：排两个a ，共有246C =种排法； 第三步：排两个y ，共有1种排法∴将6个字母排成一排共有3061180⨯⨯=种排法 ∴可能出现的错误写法的种数为1801179-=种故选：A 【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够采用分步的方式，确定所有可能的结果种数.10．已知正三棱锥P ABC -的底面ABC 为边长为6的正三角形，三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为4的球上，且球心O 在三棱锥P ABC -内，则三棱锥P ABC -的侧棱PA 的长度为（ ） A ．8 B ．62C ．152D ．43【答案】D【解析】作PG ⊥平面ABC ，由正三棱锥定义和外接球的性质可知G 为ABC ∆的中心且球心O 在PG 上；由中心的性质可知23AG AD =，利用勾股定理可求得OG ，进而得到PG ；再利用勾股定理求得结果. 【详解】作PG ⊥平面ABC ，垂足为G ，则G 为ABC ∆的中心且球心O 在PG 上 如图所示，其中D 为BC 中点223692333AG AD ∴==-= 2216122OG OA AG ∴=-=-= 246PG OG OP ∴=+=+= 22123643PA AG PG ∴+=+=本题考查立体几何中多面体外接球的相关计算问题，关键是能够确定外接球球心的位置，根据垂直关系，利用勾股定理求得所求值.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点，点P 为椭圆C 上任一点，直线AP 与直线l ：x a =相交于点Q .若2OP OQ a ⋅=u u u r u u u r ，则ab=（ ） A ．32BCD【答案】C【解析】设()P m n ,，利用两点坐标得到直线AP 方程后，与x a =联立后得到Q 点坐标，从而由平面向量数量积坐标运算可得到2222m n a +=，与22221m n a b+=对应可得22a b，进而得到结果. 【详解】设()P m n ,，则22221m n a b +=，(),OP m n =u u u rAP n k m a ∴=+ ∴直线AP 方程为：()n y x a m a=++ 令x a =得：2an y m a =+，即2,an Q a m a ⎛⎫⎪+⎝⎭ 2,an OQ a m a ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭u u u r222an OP OQ ma a m a∴⋅=+=+u u u r u u u r ，整理可得：2222m n a +=由22221m n a b +=得：22222a m n a b+= 222a b ∴=，即a b =故选：C 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到平面向量数量积的坐标运算问题；关键是能够利用数量积运算得到等量关系，进而根据点在椭圆上可求得所求量. 12．若0,x ∃∈+∞使得1(2)ln 30mx x x x x -+-+<成立，则实数m 的取值范围是A ．(,)(2,)e -∞-⋃+∞B ．(,0)(,)e -∞⋃+∞C ．(,1)(4,)-∞-+∞UD ．(,0)(4,)-∞+∞U【答案】D 【解析】令()()12ln 32f x mx x x x x =-+-+； ①当0m =时，由导函数可确定单调性，得到()()min 10f x f =>，不符合题意； ②当0m >时，由导函数可确定单调性，得到()()min 1122f x f m ==-+，由存在性可知只需()min 0f x <即可，由此构造不等式求得m 范围；③当0m <时，由02x <<时，()0f x >可将问题转化为()02,x ∃∈+∞，使得()00f x <；利用放缩法，结合存在性可知()02,x ∃∈+∞，使得()200003ln 13x f x x m x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭；构造函数()ln 2xy x x=>，结合其导函数确定其极限值，从而可知所需结论必成立，可知0m <； 综合三种情况得到最终结果. 【详解】 令()()12ln 32f x mx x x x x =-+-+，则()()ln 1ln f x mx m x m x x '=-+=-+ ①当0m =时，()ln 3f x x x x =-+，()ln f x x '=∴当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增()()min 120f x f ∴==>，不符合题意②当0m >时，()10f '=当()1,x ∈+∞时，()10m x ->，ln 0x >，即()0f x '>，()f x 单调递增 当()0,1x ∈时，()10m x -<，ln 0x <，即()0f x '<，()f x 单调递减∴只需()()min 11202f x f m ==-+<，解得：4m >③当0m <时，若02x <<，则()120mx x ->，由①知ln 32x x x -+≥()0f x ∴>若命题成立，则必()02,x ∃∈+∞，使得()00f x <()02,x ∃∈+∞Q ，使得()2000112323m x x mx -=+<()2200000003ln 11ln 33x f x mx x x x m x ⎛⎫∴<+=+ ⎪⎝⎭令()ln 2x y x x =>，则21ln 0xy x-'=< 当x →+∞时，0y →，则03ln 0x m m x +→< ∴必存在()02,x ∈+∞，使得()00f x < 0m ∴<综上所述：m 的取值范围为()(),04,-∞+∞U 故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立的问题，关键是能够将问题转化为函数的最小值与零之间的大小关系的比较；解题难点在于对0m <进行讨论时，只需说明存在性即可，不需说明恒成立，从而可结合放缩的方式求得结果.二、填空题13．已知函数()()21xf x x e =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为__________．【答案】310x y -+=【解析】利用导函数求得()0f '即为切线斜率，由原函数求得()0f ，由直线点斜式方程整理得到结果. 【详解】由题意得：()()()22123x x xf x e x e x e '=++=+()03f '∴=，又()01f =()y f x ∴=在()()0,0f 处的切线方程为：()130y x -=-，即310x y -+=故答案为：310x y -+=本题考查曲线在某一点处的切线方程的求解问题，是对导数的几何意义的应用，属于基础题.14．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为奇数的概率是__________． 【答案】12【解析】利用组合数的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】骰子先后投掷2次，所有可能的结果种数共有：116636C C =种Q 奇数与偶数之和为奇数 ∴向上的点数之和为奇数的结果种数有1133218C C =种∴向上的点数之和为奇数概率183126p == 故答案为：12【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数公式、分步乘法计数原理的应用，属于基础题.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，垂线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点P ，O 为坐标原点.若POF V 为等腰三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】2 【解析】由双曲线方程可得渐近线方程b y x a=± ①当1ba>时，结合等腰三角形三线合一可知FOH POH ∠=∠，从而求得3FOH π∠=，由此得到tan 3b a π=；②当01ba <<时，由等腰三角形性质及垂直关系可求得6POF π∠=，由此得到tan 6b a π=； 在两种情况下，结合双曲线222bc a =-可构造关于离心率的方程，解方程求得离心率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为b y x a=± ①当1ba>时，如下图所示：POF ∠Q 为钝角，∆POF 为等腰三角形 OF OP ∴= FH OH ⊥Q FOH POH ∴∠=∠ 2FOH POH π∠+∠=Q 3FOH π∴∠=tan 33b a π∴==，即22222213b c a e a a-==-=，解得：2e = ②当01ba<<时，如下图所示：OFP ∠Q 为钝角，∆POF 为等腰三角形 OF PF ∴= FPO FOP ∴∠=∠又FH OH ⊥，FOH POF ∠=∠ 6POF π∴∠=3tan 6b a π∴==222222113b c a e a a -==-=，解得：23e =综上所述：双曲线的离心率为2或33故答案为：2或233【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够根据等腰三角形的性质确定渐近线倾斜角的大小，进而根据双曲线的几何性质构造关于,a c 的齐次方程，从而求得离心率. 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 为圆22:()(2)4C x m y -+-=上两个动点，且||AB =.若直线:2l y x =-上存在唯一的一个点P ，使得OC PA PB =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为__________．【答案】1-或1-【解析】取AB 的中点Q ，由垂径定理可求得1CQ =，从而得到Q 点轨迹方程；由向量线性运算可知2OC PQ =u u u r u u u r，由此可利用P 点坐标表示出Q 点坐标，代入Q 点轨迹方程可整理得到关于t 的一元二次方程；由存在唯一的P 点可知方程0∆=，由此求得结果. 【详解】由题意知：圆C 的圆心(),2C m ，半径2r =取AB 的中点Q ，连结CQ ，则CQ AB ⊥1CQ ∴===∴点Q 在圆()()2221x m y -+-=上设(),2P t t -，(),Q x y2OC PA PB PQ =+=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(),2OC m =u u ur ，(),2PQ x t y t =-+u u u r22224m x t y t =-⎧∴⎨=+⎩，解得：212m x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，即,122m Q t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()2212212m t m t ⎛⎫∴+-+--= ⎪⎝⎭，即()222112m t t ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()225404m t m t ∴+-+=Q 点P 具有唯一性 ()22450m m ∴∆=--=，解得：1m =-+1-故答案为：1-+或1-【点睛】本题考查直线、圆和平面向量的综合应用问题；关键是能够利用直线截圆所得弦长求得弦中点轨迹方程，通过向量的线性运算得到坐标间的关系，结合点的唯一性可利用一元二次方程判别式等于零求得结果.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若1132a c +=，ABC Vb .【答案】（1）23B π=（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可将已知等式整理求得tan B ，根据()0,B π∈可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得ac ，利用11a c ac a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭求得a c +，利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）∵sin sin 3b C c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴由正弦定理得：sin sin sin sin 3B C C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∵0C π<< ∴sin 0C > ∴sin sin 3B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴1sin sin cos 22B B B =- ∴tan B =∵()0,B π∈ ∴23B π=（2）由112sin sin 223ABC S ac B ac π====△4ac = ∴113462a c ac a c ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭∴b =====【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱AB 的中点.（1）证明：1//A B 平面1D CE ；（2）求平面11A BC 与平面1CED 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】（1）根据正方体特点可证得11//A B CD ，由线面平行判定定理证得结论； （2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得夹角的余弦值，根据同角三角函数关系求得所求的正弦值. 【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ∴四边形11A BCD 为平行四边形 ∴11//A B CD ∵1CD ⊂平面1D CE ，1A B ⊄平面1D CE ∴1//A B 平面1D CE .（2）以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -设2AB =，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E ，()10,2,2C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ，()0,2,0C .设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =r ，由1(0,2,2)A B =-u u u r ，()112,2,0AC =-u u u u r则111220220A B n y z ACn x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v vu u u u v v ，取1x =，1y =，1z =，则()1,1,1n =r 设平面1CED 的法向量为(),,m a b c =u r ，由1(0,2,2)DC =-u u u u r ，(2,1,0)EC =-u u u r则122020D C m b c EC m a b ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩u u u u v vu u u v v ，取1a =，2b =，2c =，则()1,2,2m =u r 可得5m n ⋅=u r r ，3m =u r，3n =r ，53cos ,33m n <>==u r r 故平面11A BC 与平面1CED 所成二面角的正弦值为2536199⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中角度问题的方法，属于常考题型.19．如图，已知抛物线M ：24y x =，四边形ABCD 和DEFG 都为正方形，原点O 为AD 的中点，点,C F 在抛物线M 上.（1）求点C 和点F 的坐标；（2）过点D 的直线l 与抛物线M 相交于,P Q 两点，若49AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程.【答案】（1）,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为(32,22)++（2）直线l 的方程为330x y --=或330x y +-=【解析】（1）分别假设正方形ABCD 和DEFG 边长为,a b ，利用,a b 表示出,C F 坐标，代入抛物线方程可构造方程求得,a b ，进而得到所求坐标；（2）设:1l x my =+，将直线方程与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式；根据数量积的坐标运算，代入韦达定理的结论可构造方程求得m ，从而得到所求直线方程. 【详解】（1）设正方形ABCD 的边长为a ，则,2a C a ⎛⎫-⎪⎝⎭代入24y x =得：242aa =⋅，解得：2a =或0a =（舍） ∴点C 的坐标为()1,2- 设正方形DEFG 的边长为b ，则()1,F b b +代入方程24y x =得：()241b b =+，解得2b =+2b =-∴点F的坐标为(3++（2）由（1）知()1,0A -，()1,0D设直线l 的方程为1x my =+，点,P Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y联立方程241y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理为：2440y my --=则121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ()21212242x x m y y m ∴+=++=+，22212116y y x x ==又()111,AP x y =+u u u r ，()121,AQ x y =+u u u r，()()212121212121114AP AQ x x y y x x x x y y m ⋅=+++=++++=u u u r u u u r由49AP AQ ⋅=u u u r u u u r 得：2449m =，解得：13m =±故直线l 的方程为()31y x =±-即直线l 的方程为：330x y --=或330x y +-= 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量数量积的坐标表示；解决直线与抛物线的问题通常采用的方法为：直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，从而构造方程求得变量.20．每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我们国家会定期进行0～18岁孩子身高体重全国性调查，然后根据这个调查结果制定出相应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高，对照一下身高体重表，如果在平均值标准差以内的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究0～18岁的孩子的身高服从正态分布()2,N μσ.在某城市随机抽取100名18岁男大学生得到其身高（cm ）的数据.（1）记X 表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在(2,2)μσμσ-+之内的人数，求()99P X ≤及X 的数学期望.（2）若18岁男大学生身高的数据在(2,2)μσμσ-+之内，则说明孩子的身高是正常的.（i ）请用统计学的知识分析该市18岁男大学生身高的情况；（ii ）下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高（cm ）的数据：经计算得2011 1.7220i i x x ==≈∑，0.06s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个学生的身高，1,2,3,,20i =L .用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计，剔除(2,2)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ的值.（精确到0.01）附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，1000.95440.0094≈.【答案】（1）概率为0.9906，期望为95.44（2）（i ）在该市中，18岁男大学生的身高是正常的比例为95.44%.（ii ）μ的估计值为1.71，σ的估计值为0.1.【解析】（1）由3σ原则知抽取的1名18岁男大学生身高的数据在()2,2μσμσ-+之外的概率为0.0456，得到()~100,0.9544X B ，由二项分布的知识可求得所求概率和期望；（2）（i ）由（1）中身高正常的概率可得统计结论；（ii ）首先确定剔除数据为1.86，计算剩余数据的平均值和标准差即为μ和σ的估计值. 【详解】（1）抽取的1名18岁男大学生身高的数据在()2,2μσμσ-+之内的概率为0.9544 在()2,2μσμσ-+之外的概率为：10.95440.0456-=，故()~100,0.9544X B()()10099110010.95440.9906P X P X ∴≤=-==-=，()1000.954495.44E X =⨯=（2）（i ）由（1）知，18岁男大学生的身高是正常的概率为0.9544 在该市中，18岁男大学生的身高是正常的比例为95.44%（ii ）当 1.72μ=，0.06σ=时，区间()2,2μσμσ-+为()1.6,1.84，故除去的数据为1.86剩下数据的平均数为：20 1.72 1.861.7119⨯-≈ μ∴的估计值为1.71又202221200.0620 1.7259.24i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除1.86 剩下数据的样本方差为：()22159.24 1.8619 1.710.0119--⨯≈ ∴其标准差为0.1 σ∴的估计值为0.1【点睛】本题考查概率统计部分知识的综合应用，涉及到正态分布与二项分布的知识、用样本估计总体、平均数和方差及标准差的计算问题，属于常考题型. 21．已知函数()ln(1)sin f x x x x =-+-.（1）证明：函数()f x 在区间()0,π上存在唯一的极小值点； （2）证明：函数()f x 有且仅有两个零点. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由导函数解析式可确定导函数在()0,π上单调递增；利用零点存在性定理可知存在唯一()00,x π∈使得()00f x '=，由此可确定()f x 单调性，从而得到结论； （2）①当(]1,0x ∈-时，由()0f x '<可知()f x 单调递减，由此可确定0x =为()f x 的一个零点；②当()0,x π∈时，由零点存在定理和（1）中()f x 单调性，可确定()f x 存在唯一的零点；③当(),x π∈+∞时，令()()()()ln 1,g x x x x π=-+∈+∞，由()0g x '>可确定()g x 单调递增，则()1g x >，由此可确定()0f x >，进而得到()f x 无零点；综合三种情况可得结论. 【详解】 （1）()11cos 1f x x x '=--+当()0,x π∈时，函数11y x =+和cos y x =单调递减 ∴函数11cos 1y x x =--+单调递增 又由()011cos010f '=--=-<，()11112011f πππ'=-+=->++ 故存在唯一()00,x π∈使得()00f x '=且当()00,x x ∈时，()0f x '<；当()0,x x π∈时，()0f x '>∴当()00,x x ∈时，函数()f x 单调递减；当()00,x π∈时，函数()f x 单调递增故函数()f x 在区间()0,π上存在唯一的极小值点 （2）①当(]1,0x ∈-时，由()cos 1xf x x x '=-+ 又由01xx +≤，cos 0x >，可得()0f x '<，故在区间(]1,0-上函数()f x 单调递减 又由()00f =，故有()0f x ≥ 可得此时函数()f x 的零点为0x = ②当()0,x π∈时，由()00f =，()()2ln 1ln 20fe πππππ=-+>-=->ln 1sin ln 1ln 233333323232f ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-<--<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1135415 3.7503232434123πππππ--=--<--=-==< 由（1）可知，此时函数()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点； ③当(),x π∈+∞时，令()()()()ln 1,g x x x x π=-+∈+∞ 则()11011xg x x x '=-=>++，故此时函数()g x 单调递增 有()()()2ln 1ln 21g x g e πππππ>=-+>-=-> 又由sin 1x ≤，故对(),x π∀∈+∞，有()0f x > 所以在区间(),π+∞上函数()f x 没有零点综上所述，函数()f x 有且仅有两个零点 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点个数、零点个数的问题，涉及到利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理的应用；在研究函数零点个数问题时，需结合函数的单调性，利用零点存在定理确定所求区间内零点个数.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为21x a ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）若1a =，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若3a =-，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【答案】（12【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，代入直线l 的参数方程整理可求得12,t t ，由此可得,A B 坐标，利用两点间距离公式可求得结果；（2）根据曲线C 的参数方程可设其上点坐标为()cos ,2sin αα，将直线l 化为普通方程，利用点到直线距离公式可将问题化为三角函数最值求解问题，由此求得结果. 【详解】（1）由参数方程可得曲线C 的直角坐标方程为：2214y x +=当1a =时，直线l 的参数方程为121x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）设点,A B 对应的参数分别为12,t t代入曲线C 的直角坐标方程后整理得：2171810t t ++= 解得：11t =-，2117t =-设()11,A x y ，()22,B x y ，则1111121x t y t =+⎧⎨=+⎩，2222121x t y t =+⎧⎨=+⎩AB ∴==()21111717t ⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭（2）设曲线C 上的点的坐标为()cos ,2sin αα当3a =-时，直线l 的直角坐标方程为：250x y -+=∴曲线C 上的点到直线l 的距离d ==≥=（当且仅当()cos 1αϕ+=-时取等号）∴曲线C 上的点到直线l 5- 【点睛】本题考查参数方程问题中的弦长求解和点到直线距离的求解问题；求解点到直线距离的最值的关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题；本题易错点是在直线参数方程为非标准形式的时候，错误的应用直线参数方程中参数的几何意义，造成弦长求解错误.23．已知,,a b c 为正数，且满足3a b c abc ++=.证明：（1）3ab bc ca ++≥；（2）2221113++≥a b c. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）利用基本不等式可构造不等式求得1abc ≥，由ab bc ca ++≥可证得结论；（2）利用基本不等式可求得22211111122a b c ab bc ca ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1113ab bc ca++=可证得结论. 【详解】（1）由a b c ++≥（当且仅当a b c ==时取等号）3abc ∴≥1abc ≥（当且仅当1a b c ===时取等号）又ab bc ca ++≥1abc ≥ 3ab bc ca ∴++≥（当且仅当1a b c ===时取等号）（2）由22121a b ab +?（当且仅当a b =时取等号）；22112b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号）；22112c a ca+≥（当且仅当c a =时取等号） 三式相加得：22211111122a b c ab bc ca ⎛⎫⎛⎫++≥++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222111111a b c ab bc ca ∴++≥++ 又11133a b c abc ab bc ca abc abc++++=== 2221113a b c ∴++≥（当且仅当1a b c ===时取等号） 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式的问题，关键是灵活利用基本不等式配凑出所证结论所需的形式，属于常考题型.。

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河南省2020届高三数学12月教学质量检测考试试题理

河南省2020届高三数学12月教学质量检测考试试题理


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20. C本小题满分12分）
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2019-2020年高三上学期12月第一次联考数学理试题含答案

2019-2020年高三上学期12月第一次联考数学理试题含答案


∴=------------------------------------------------------------------------10 分
文（ 3）， ----------------------------------------13
分
pn pn 1 log a bn log a bn 1 log a bn
23．（本题共 3 小题，满分 18 分。第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 8 分）
已知 y ax b a 0,b 0, x 0 单调减区间是，单调增区间是 x
（1）求的单调区间（简单说明理由，不必严格证明）
.设， .
（2 ） 证明的最小值为 （3）设已知函数，定义： ，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．例如：
13. 14. （理）
二、选择题
15. A
16. C
17. A
18. D
三、解答题
19. 解：（ 1）虚数与是方程的两个根 .----------2
分
-------------------------------------------------------------------4 分
--------------------------------------------------------------------------------6 分
21. 解 :(1) 在 y kx 1 (1 k2 )x 2( k 0) 中, 令, 得. –2 分 20
由实际意义和题设条件知 .
∴, 当且仅当时取等号 . ------------------- 5
分
∴炮的最大射程是 10 千米 .------------------------------------------------ 6
2020届高三数学(理)12月联考试题(含解析)

2020届高三数学(理)12月联考试题(含解析)

高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题 1．1312ii-+的实部为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】直接化简得到13112ii i-=--+，计算实部得到答案. 【详解】()()1312135511255i i i ii i -----===--+，故实部为1- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.2．设集合()(){}|320A x x x =+-<，{}|228B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|38x x -<<C ．{}|32x x -<<D ．{}|34x x -<<【答案】D【解析】分别计算{}|32A x x =-<<，{}|14B x x =-<<，再计算A B 得到答案.【详解】()(){}{}|3|2023x x x A x x =+-<-<<={}{}|228|14B x x x x =-<<=-<<，所以{}|34A B x x =-<<.故选：D 【点睛】本题考查了并集的运算，属于简单题.3．函数()()lg 4f x x =-的定义域为（ ） A ．(]4,10 B ．()4,10C ．()0,4D ．[)10,+∞【答案】A【解析】根据函数的定义域定义得到不等式1lg 0400x x x -≥⎧⎪->⎨⎪>⎩解得答案.【详解】函数()()lg 4f x x =-的定义域满足1lg 0400x x x -≥⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得(]4,10x ∈故选：A 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.4．某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．的是（ ）A ．甲景区月客流量的中位数为12950人B ．乙景区月客流量的中位数为12450人C ．甲景区月客流量的极差为3200人D ．乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 故选：D 【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力. 5．若tan 4α=，sin 2cos ββ=，则()tan αβ+=（ ）【答案】C【解析】根据sin 2cos ββ=得到tan 2β=，再利用和差公式展开得到答案. 【详解】sin 2cos ββ=∴tan 2β=∴()tan tan tan 1tan tan 246187αβαβαβ+=+-+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.6．执行下边的程序框图，若输入的x 的值为5，则输出的n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】执行程序框图：(),x n 依次为()5,0，()7,1，()9,2，()11,3，()13,4∵21313132+> ∴输出的n 的值为4. 故选：C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力. 7．函数()348xxf x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】分别计算()110f =-<，302f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到答案. 【详解】因为()110f =-<，302f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且()f x 为增函数 故()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题10．已知函数()272sin 4126x x x f ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象的对称中心为（ ） A ．(),0424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ B ．(),048k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．()424k k Z ππ⎛+∈⎝ D ．()48k k Z ππ⎛+∈⎝ 【答案】D【解析】化简得到()2cos4f x x =，取()42x k k Z ππ=+∈，计算得到答案.【详解】()71cos 4sin 466f x x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦4sin 466x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 42cos 466x x ππ⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令()42x k k Z ππ=+∈，得()48k x k Z ππ=+∈则()f x 的图象的对称中心为()48k k Z ππ⎛+∈ ⎝. 故选：D 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到()2cos4f x x =是解题11．已知函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．)⎡+∞⎣C ．(,-∞D ．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，然后分离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能确定m 的取值范围. 【详解】 因为函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，所以()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又因为2122e 2e x x +-+≥=，所以m ≤ 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键. 12．函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()f x 为奇函数.当0x >时，()()221f x f x =-，且()23f =，则满足()5272x f -<-<的x 的取值范围是（ ） A ．()2log 3,3 B ．()21,log 3C ．()22log 3,log 7D ．()1,3【答案】A【解析】计算()()445f f -=-=-，()12f =，判断函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，将不等式变换为4271x -<-<，计算得到答案. 【详解】()23f =，所以()()22113f f =-=，则()12f =.()()42215f f =-=，所以()()445f f -=-=-()()()()52724271x x f f f f -<-<⇔-<-<.所以()()()27142718432x x xf f f -<-<⇔-<-<⇔<<2log 33x ⇔<<.故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、填空题13．)53的展开式中2x 的系数为______.【答案】15-.【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】)53的展开式中：()5153rrr r T C-+=⋅-，取1r =得2x 的系数为()15315C ⨯-=-.故答案为：15- 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______. 【答案】23. 【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案. 【详解】根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为60202603P -==. 故答案为：23【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况. 15．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是___________. ①若01x <<，则lg log 10x x +的最大值为2-；②若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则41a =-；④“0x Z ∃∈，0tan x Z ∈”的否定为“x Z ∀∈，tan x Z ∉”. 【答案】①④【解析】①根据基本不等式判断；②利用等差中项先计算出公差，即可求解出4a 的值；③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；④含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断. 【详解】①若01x <<，则lg 0x <，11lg log 10lg lg 2lg lg x x x x x x ⎛⎫+=+=--+≤- ⎪-⎝⎭， 当且仅当110x =时，等号成立，所以①正确； ②若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则112(31)4a a a a +-=-⇒=， 所以452(1)(31)4a a a =---=-，所以②不正确； ③因为2443log 3log 9log 82=>=，所以“2log 3x >”能推出“23x >”，但是“23x >”不能推出“2log 3x >”，所示“23x >”的一个充分不必要条件是“2log 3x >”，所以③不正确；④因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意修改量词，否定结论.所以④正确.故所有正确结论的编号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“p 是q 的必要不充分条件”、“p 的必要不充分条件是q ”这两者的区别.16．在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，则当ABC ∆的面积取得最大值时，BC 边上的高为______. 【答案】83.【解析】如图所示：以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设(),A x y ，整理得22106439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得到面积的最大值.以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示： 则()2,0B-，()2,0C ，因为sin 2sin C B =，所以2AB AC =设(),A x y ，=整理得()221064039x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭则当ABC ∆面积取得最大值时，A 的坐标为108,33⎛⎫± ⎪⎝⎭，则BC 边上的高为83.故答案为：83【点睛】本题考查了三角形面积的最值问题，建立坐标系是解题的关键，可以简化运算.三、解答题17．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，已知tan A =，2b =.（1）若a =B ； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）6B π=；（2【解析】（1）计算3A π=，利用正弦定理得到sin 1sin 2b A B a ==，再根据边的大小关系得到答案.（2）直接利用余弦定理得到c =，再利用面积公式计算得到答案.（1）因为tan A =3A π=.sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a == 解得6B π=或56π，又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得()2222222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为111sin 2sin 2233bc A π-+=⨯⨯6=. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．直线1l ：()20y kx k =-≠与坐标轴的交点为A ，B ，以线段AB 为直径的圆C 经过点()3,1D .（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线2l ：3430x y ++=与圆C 交于M ，N 两点，求MN . 【答案】（1）()()22215x y -++=；（2）4MN =. 【解析】（1）先计算交点为()0,2-，2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭，根据AD BD ⊥得到12k =，再计算圆心和半径得到答案（2）计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】（1）直线1l ：()20y kx k =-≠与坐标轴的交点为()0,2-，2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为以线段AB 为直径的圆C 经过点()3,1D ，所以AD BD ⊥，所以311233k⨯=--，解得12k =. 所以圆C 的圆心为线段AB 的中点，其坐标为()2,1-，半径R == 圆C 的标准方程为()()22215x y -++=.（2）因为圆心C 到直线2l ：3430x y ++=的距离为64315d -+==，所以4MN ==. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，弦长，意在考查学生的计算能力.20．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b . （1）求{}n c 的通项公式； （2）求数列(){}nn n ab c +的前n 项和n S .【答案】（1）810n c n =-（2）2(49)236n n S n +=-+【解析】（1）根据递推公式计算22a =-，26b =，利用等差数列公式计算得到答案. （2）将题目中两式相加得到()112n n n n a b a b +++=+，故{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）∵111a b ==，∴22a =-，26b =，则{}n c 的公差为()628d =--= 故{}n c 的通项公式为28(1)810n c n n =-+-=-. （2）1331n n n a a b n +=---，①1331n n n b b a n +=-++，②①+②得()112n n n n a b a b +++=+.又112a b +=，从而{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn n a b +=.()()8102nn n n a b c n =+-22262(810)2n n S n =-⨯+⨯++-，23122262(810)2n n S n +=-⨯+⨯++-，()231248222(810)2n n n n S S n +-=-++++--，即()1114824(810)2(188)236n n n n S n n +++-=-+---=--，即2(49)236n n S n +=-+.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到()112n n n n a b a b +++=+是解题的关键. 21．已知函数()()()1ln 1f x x x m n =++++⎡⎤⎣⎦，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+.（1）求m ，n 的值和()f x 的单调区间；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，()f x kx >恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）1m =，0n =，()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）3. 【解析】（1）求导得到()()'ln 11f x x m =+++，根据切线方程计算得到1m =，0n =，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论0x =，0x >两种情况，变换得到()111ln 11x x k x⎛⎫++++ ⎪⎝⎭<，设 ()()111ln 11h x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，求函数的最小值得到答案.【详解】（1）()()'ln 11f x x m =+++，由切线方程，知()01f m n =+=，()'012f m =+=， 解得1m =，0n =.故()()()1ln 11f x x x x =++++，()()()'ln 121f x x x =++>-， 由()'0f x >，得211x e >-；由()'0f x <，得2111x e-<<-. 所以()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）①当0x =时，()0100f k =>⨯=恒成立，则k ∈R . ②当0x >时，()f x kx >恒成立等价于()111ln 11x x k x⎛⎫++++ ⎪⎝⎭<对()0,∞+恒成立. 令()()111ln 11h x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，()()2ln 11'h x x x x -+-=，()0,x ∈+∞. 令()()ln 11u x x x =-+-，()0,x ∈+∞， 则()1'1101xx u x x =-=>++对()0,x ∈+∞恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递增. 又()21ln30u =-<，()32ln 40u =->，所以()02,3x ∃∈，()00u x =. 当()00,x x ∈时，()'0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >. 所以()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭，又()()000ln 110u x x x =-+-=，则()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭()()00001111113,4x x x x ⎛⎫=+-++=+∈ ⎪⎝⎭，故01k x <+，整数k 的最大值为3. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +.【答案】（1）4a m n ===；（2【解析】（1）根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案. （2）将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则228x y y +=，即()22416x y +-=. 因为0m >，0n >，所以4a m n ===.（2）将21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=.设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以12t t P PB A =-==+【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--. （1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1t ≤-或9t ≥. 【解析】（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.【详解】（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤；当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >.综上所述：不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.（2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+--()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。