用判别式法求函数值域的方法之欧阳光明创编

关于判别式法求函数值域的局限性判别式法在求定义域为R的分式函数的值域时有重大作用，但是在许多情形下使用判别法求值域时会失效，应避免选用此法。

以下分别探讨几种情况，以供参考：一、定义域不是R时例1：求函数的值域。

错解：易求函数定义域为D={x| }由原函数得：（2y-1）x2-（5y+1）x+3y+2=0……①（1）当y=时，由①得：x=1D ∴y≠（2）当y≠时，△=（5y+1）2-4（2y-1）（3y+2）≥0∴（y+3）2≥0故y∈R且y≠∴所求函数值域为{ y |y∈R且y≠}此解法错在函数定义域并不是R。

正解：y=显然y≠，同时x≠1时y≠-3∴所求函数值域为{y|y∈R ，y≠且y≠-3}二、定义域有限制时例2：已知x∈[-5，-2]，求函数y=的值域。

错解：由原函数得x2-（y+2）x-（y+2）=0∵△≥0 ∴（y+2）2+4（y+2）≥0y≥-2或y≤-6∴函数值域为{ y |y≥-2或y≤-6}此解错在函数的定义域已经有限制了，不能用此方法。

正解：∵y=（x+1）+-4∴可令t=-（x+1）∵x∈[-5，-2] ∴t∈[1，4]令u =t+，t∈[1，4]时u为增函数∴u∈[2，]∴-u∈[]，而y=-u-4 ∴y∈[-，6]故所求函数值域为[-，6]。

三、定义域为R时例3：求函数的值域y=错解：令2x=t∴y=变形，有t2+（7-y）t+（8-2y）=0由定义域x∈R有△=（7-y）2-4（8-2y）=y2-6y+17≥0∴y∈R此解法错在x∈R并不等于换元后的t∈R。

正解：由上可知，令t=2x＞0y==（t+2）-+3令u= t+2＞2∴y=u-+3当u∈（2，+）时，y为增函数∴y＞2-1+3=4故所求函数值域为（4，+）。

四、在函数有根式时例4：求函数y=x+2+的值域。

错解：由原函数得2x2+（4-2y）x+y2-4y=0由△=(4-2y)2-4×2(y2-4y)=4(-y2+4y+4)≥0∴2-2≤y≤2+2此解法错在变形后没有注意到x的取值范围是[-2，2]。

判别式法求函数值域之错误面面观判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数的值域问题。

判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x 的方程应有实数解，从而求出y 的取值X 围。

判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就同学们容易出错的地方举例加以说明。

一、忽视对方程的二次项系数是否为零加以讨论致错例1 求函数y=6122++-+x x x x 的值域。

错解： y=6122++-+x x x x , ∴yx2+yx+6y=x2+x-1， ∴(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，①因为方程①是关于x 的二次方程，它有实根的充要条件是∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0, 解得，1235≤≤-y 。

∴原函数的值域为{y|1235≤≤-y }.剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x 的二次方程了，就不能再用判别式了。

正解： y=6122++-+x x x x , ∴(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，①当y-1=0，即y=1时，方程①为7=0，不成立，故y ≠1； 当y-1≠0，即y ≠1时，∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0，解得，1235≤≤-y综上，得原函数的值域为{y|1235<≤-y }.例2．求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+---y x y x y ，①∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。

故所求函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21103，。

剖析：把21=y 代入方程①显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21=y 时，方程①的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。

关于判别式法求值域增根的研究我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。

但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x)=的形式，然后再求出其值域。

但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 的值域．方法判别式法化简为一次分式法解题过程∵ y =∴ ( x2 – 1 ) y = x2 – 2x - 3∴ ( y－1 ) x2 + 2x + 3 – y = 0----------*①当y ≠ 1时，△= b2 – 4 a c = 22 – 4 ( y –1 ) ( 3 – y )∵ y = =∴①当x ≠－1时，y = ，即：y ≠ 1②当x = －1时，= 4 y 2 – 16 y + 16= 4 ( y – 2 ) 2≥0 (△= 0时，y = 2 )∴ y ∈ R , 且 y ≠ 1②当y = 1时，代入*式得：2 x +3 – 1 = 0∴ x = －1∵函数的定义域为：{ x ∈ R | x ≠ 1 且 x ≠－1 }∴ y ≠ 1由①②得函数的值域为：y = = = 2∵函数的定义域为：{x∈R | x ≠ 1 且 x ≠－1 } ∴ y ≠ 2由①②得函数的值域为：结果{ y ∈ R | y ≠ 1 } {y∈R | y ≠ 1 且 y ≠ 2 } 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。

这就是说，用判别式法求值域会产生增根。

这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。

反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。

将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。

用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R,将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。

思考之二:对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。

但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠52 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解因此只需△≥0即可,以下过程略思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习: 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

判别式法求函数值域巴东覃兴山判别式法求函数值域是中学数学的常用方法，那么它的理论依据是什么？适用于哪些情况？有哪些注意事项？带着这些问题，我们一起来探讨．一、方法探源例1求函数的值域.略解：变函数式为. （1）这就是判别式法求函数值域．善于思考的同学一定会问：为什么使方程（1）有解的y的取值范围就是所求函数的值域？要回答这一问题先要明白以下几点：（1）函数式是一种特殊的二元方程式(y能用x的解析式表示，从而每一个x值对应于唯一的函数值y)，但方程式不一定是函数式，如.（为什么？）（2）由函数的定义可知：在函数所确定的映射下，每一个函数值y在定义域上至少有一个自变量x与之对应．反过来，若某一实数y在定义域上有自变量x值与之对应，则此实数一定是值域中的元素．（3）判别式大于等于零是一元二次方程在实数集R上有解的充要条件．例1中，将原函数式变为方程（1）是方程的等价变形，即两式中的x,y的取值范围完全相同．由每一函数值都有自变量与之对应，可知方程（1）中的y 若是值域中的元素，必使关于x的方程有解；又因为使关于x的方程有解的实数y也一定是值域中的元素.综上，y是值域中的元素的充要条件是：使关于x的方程（1）在定义域R上有解．注意：y＝1时，方程（1）为一次方程，不能用判别式法，要单独讨论．因为y=1有原象，所以，1在值域中．二、方法推广下面问题能否用判别式法呢？例2求函数的值域.函数定义域为，而判别式是方程在R（注意，不是R的子集！）上有解的充要条件，所以不能用判别式法.这时，我们应该反思，判别式法的实质到底是什么？实际上，判别式法深层的理论根据是对应和方程的思想！如果你真正理解了判别式法的实质，就不难发现，方程（1）中的y是函数的值域中的元素的充要条件为：方程（1）在函数的定义域上至少有一实根，也即方程（1）至少有一根大于等于零．这时判别式仅仅是必要条件．至少有一根大于等于零，可分为两根都大于等于零和一根大于等于零另一根小于零两种情况来求，也可用补集思想来求，即先求使方程没有非负根的y的取值范围，将有根的范围看作全集，再求其补集．解：显然y=1不在值域中.当y1时，使方程（1）有两负根的充要条件为.所以方程至少有一个非负根的充要条件为，即函数值域为.例3求函数的值域.解：变函数式为. （2）当y=1时，方程无解．当时，方程（2）为关于x的一次方程，x在定义域上有解的充要条件为，所以函数的值域为.说明：用对应和方程的思想解释这种解法非常清楚．有些资料上把这类求函数值域的方法解释为所谓的“反函数法”，即先求出原函数的反函数，说反函数的定义域为原函数的值域，所以只须求反函数的定义域.虽然结果巧合，但犯了逻辑错误，因为反函数依原函数而生，反函数的定义域不能从反函数式中求得，而要从原函数的值域中求．而且这种所谓的“反函数法”很容易产生误导．如下例.例4求函数的值域.分析：不难求出原函数的反函数为．从反函数式求得，试问：反函数的定义域是不是？原函数的值域是不是？正解：（分析法）函数的定义域为，所以函数值域为．此题也可以用单调性法来求解．例5求函数的值域.想一想，能否也用方程有解的思想来求？解：变函数式为,函数的定义域为R，由三角方程在R上有解的充要条件是，得，所以函数值域为.另解：设点，则函数y的几何意义为直线PA的斜率，又P在圆上，由数形结合不难求出PA的斜率的取值范围．例6求函数的值域.解：变函数式为.当y=1时，x无解；当. （3）方程（3）在R上有解的充要条件为，所以所求值域为.三、辨析正误例7求函数的值域.函数的定义域为，能否直接用判别式法呢？变函数式为 . （4）判别式是方程（4）在上有解的必要条件．它是不是充要条件呢？只需考查一下当时，方程（4）是否有x=1这一根即可．将x=1代入方程（4）可知，无论y为何值，方程（4）均不可能有x=1这一根．所以判别式非负是方程（4）在上有解的充要条件.所以函数值域为说明：当函数定义域为使分式有意义的一切实数时，也是方程在定义域上有解的充要条件，可直接用判别式法．例8求函数的值域.仿照例2，不难找方程在x>1上有解的充要条件，但求解比较麻烦，请看下面解法．今t=x-1,由x>1得t>0.原函数变为.当即t=2（此时x=3）时，y=6.所以函数值域为.该解法运用了换元法和平均值不等式求最值．说明：判别式法求值域有时不定是最简单的，掌握一种方法，要抓住方法的实质，明确适用范围．例9求函数的值域.看下面的解法.变函数式为，整理得. （5）由.所以函数值域为（-∞,1］.上面的解法有没有问题？将y=1代入（5）得x=0,再将x、y的值代入函数式，成立吗？问题出在哪里？原因是方程变形中，两边平方不是同解变形，从而使x、y的取值范围发生了变化（平方前要求，平方后没有）．正解：函数的定义域为.又函数在定义域上为增函数，所以函数值域为.另解：令换元得，只需求此二次函数的值域．说明：求函数值域时，一般不能对函数式作非等价变形，如平方．结论：判别式法的实质是对应和方程的思想．即y为值域中的元素的充要条件是，使关于x的方程在函数定义域上有解，至于方程，可以是一次、二次、三角方程或其他方程等．运用这一思想解题时，要注意条件的充要性和方程变形的等价性．。

判别式法求值域原理
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲判别式法求值域原理。

这可真是个神奇的东西啊，就好像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开值域这个神秘大门！
比如说有个函数，像 y=(x^2+2x+3)/(x^2+x+1)，哇，这么复杂，怎么知道它的值域呢？这时候判别式法就闪亮登场啦！其实啊，判别式法就像是个侦探，能从那些复杂的式子中找出线索。

我们把函数变形一下，然后看成是一个关于 x 的二次方程。

这就像是给这个函数穿上了一件特定的衣服，让我们更容易看清它。

然后呢，我们利用判别式大于等于 0 这个条件，为啥呢？因为不能有不存在的解呀！
好比说，我们要找一个人的踪迹，判别式法就是那个能嗅出蛛丝马迹的高手。

有时候我们觉得迷茫，哎呀，这个函数值域到底是啥呀，但判别式法就像一盏明灯，给我们指明方向。

咱再看看这个例子，当我们把它变成方程后，判别式就出现啦。

它就像一个严格的守卫，告诉我们哪些值是可以的，哪些是不行的。

是不是很有意思？
你想想，如果没有判别式法，我们面对这些复杂的函数该多头疼啊！但有了它，就好像有了依靠，心里踏实多了。

所以啊，判别式法求值域原理真的是超级重要的武器啊！它能帮我们解决那么多难题，让我们在数学的海洋里畅游得更畅快！千万别小瞧了它，一定要好好掌握哦！相信我，一旦你学会了，你会惊叹不已，哇，原来这么好用啊！。

判别式法一. 求函数的值域 例1. 求函数y x x x =+++2362的值域。

解：将原函数变形得yx y x y 231620+-+-=()，把此方程看作关于x 的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y 的取值范围，即为原函数的值域。

当y =0时，x =2（说明函数值可以为0）。

当y ≠0时，令∆=---≥()()3146202y y y ，解得-≤≤1513y 故原函数的值域为[,]-1513二. 求最值例2. 已知a b ab ++=230，且a b >>00，，试求实数a 、b 为何值时，ab 取得最大值。

解：构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”。

设ab y =（1）由已知得a b y ++=230（2）由（1）（2）消去b ，对a 整理得a y a y 23020+-+=()（3）对于（3），由∆=--⨯≥-+≥()y y y y 3042068900022，，解得y ≥50或y ≤18。

由y ab =<30，舍去y ≥50，得y ≤18。

把y =18代入（3）（注意此时∆=0），得a a 212360-+=，即a =6，从而b =3。

故当a b ==63，时，ab 取得最大值为18。

例5：已知x ≥0，y ≥0且x ＋2y ＝1，求x 2＋y 2的最大值和最小值。

解：∵ x ＋2y ＝1 ∴x ＝1－2y∴s ＝x 2＋y 2＝(1－2y)2＋y 2＝5y 2－4y ＋1 ∴5y 2－4y+1－s ＝0此方程为关于y 的一元二次方程且有解1∴△=16－20（1－s ）≥0 s ≥—51∴s min ＝—51又∵x ≥0，y ≥0且x=1－2y ≥0 ∴0≤y ≤— 2对于函数s(y)＝5y 2－4 y ＋11 1s(0)＝1 s(—)＝— ∴x 2＋y 2 最大值为1 2 41∴x 2＋y 2 最大值为1，最小值为—5三. 证明不等式例3. 已知x y R ,∈。

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例析用判别式法求分式函数值域之困惑
作者：成效雨
来源：《新课程·中旬》2014年第07期
判别式法是求形如……的分式型二次函数值域的常用方法。

但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。

其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如……的分式型二次函数值域还是比较方便的。

下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。