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行列式——习题课PPT课件

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基础考试高等数学之行列式精品PPT课件

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性质6：把行列式的某一行（列）的各元 素乘以同一数然后加到另一行（列）上 去，行列式不变。
※ 行列式的性质，主要是用来计算行列 式。其具体做法是：先将行列式化成上 （下）三角行列式，再直接计算即得。
1110 例2、计算行列式 1 1 0 1
1011 0111
提示：直接化成上三角行列式。
§1.6 行列式按行（列）展开
a22
a2n
0
an1 an2 ann
则方程组有唯一解。且
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中，Di是将D中的第 j 列换成bi 所得。
例1、解线性方程组：
x1 x2 x3 x4 1
2x1 3x2 x3 4x4 4x1 9x2 x3 16x4
5 25
8x1 27x2 x3 64xn 125
相应的有主对角线（实线）
副对角线（虚线） 。
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a1a 12a 233a1a 22a 331a1a 32a 132 a1a 12a 332a1a 22a 133a1a 32a 231
主对角元：a1、 1 a22、a33
副对角元：a13、a22、a31
1、余子式： 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列划去后，留下的 n－1阶行列式叫做元素的余子式，记为 Mij ※ 余子式实际上是一个数。 2、代数余子式： Aij (1)ijMij
引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i
行所有元素除 aij 外都为零，那么此行
列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，
推论：行列式某一行（列）的所有元素 的公因子可以提到行列式符号的外面。

线性代数-行列式PPT课件

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矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。

行列式习题课PPT课件

行列式习题课PPT课件
f (0) ＝12．
8
第8页/共36页
a1 a2 a3 p
例2 设四阶行列式 D b1
b2
b3
p ,
c1 c2 c3 p
d1 d2 d3 p
则其第1列元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=___0__.
解 因为当p＝0时，有A11=0, A21=0, A31=0, A41=0. 因而 A11+A21+A31+A41= 0． p ≠ 0时， 由与 pA11+pA21+pA31+pA41= 0, 即 p（A11+A21+A31+A41）= 0， 得 A11+A21+A31+A41= 0．
a1n xn 0, a2n xn 0,
ann xn 0
的系数行列式D ≠ 0, 则方程组没有非零解.
若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为 零.
4
第4页/共36页
三、重要公式
1、对角行列式
λ1
D=
λ2
λ1λ2 λn ;
λn
λ1
D=
λ2
n ( n 1)
(1) 2 λ1λ2 λn.
cos n.
0
0
0
1
0
0
0
1 2cos
证：对阶数n用数学归纳法
因为 D1= cosα，
D cos
2
1
1 2cos2 1 cos 2, 2cos
所以n=1,2，结论成立. 20 第20页/共36页
假设对阶数小于n的行列式结论成立,下面对于阶数
等于n的行列式也成立. 将 Dn 按最后一行展开

矩阵行列式复习ppt课件

矩阵行列式复习ppt课件
式，记作 Mij 。
记 Aij 1 i j Mij ，叫做元素 a的ij 代数余子式。
a11 a12 a13
例如 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
A11
M11
a22 a32
a23 a33
M 23
a11 a31
a12 a32
A23 M 23
行列式按行（列）展开法则
定理
行列式等于它的任一行（列）各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
x Ay A(Bz) (AB)z
求出AB即可。
a 0 1
例
设
A
0 0
a 0
0 a
,
求Ak（其中k是正整数）。
a2 0 2a
ak 0 kak1
解：A2
0
a2
0 ,
设 Ak
0
ak
0 0 a2
0 0
0
,
则
ak
ak 0 kak1 a 0 1 ak1 0 (k 1)ak
det(A1 2 A*) det(A1 4A1) det(3A1) (3)3(det A)1 27 2
线性方程组
线性方程组的有关概念 Cramer法则 利用逆矩阵求解线性方程组 线性方程组的消元法
一、线性方程组的有关概念
线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2
a21 x1
BT (CBT )(CBT ) (CBT )C
1
1
1 2
1
3
又 CBT 1
1 2
1 3
2 3
3
An
n1
3
BTC
3n1
2
3
1

线性代数行列式课件

线性代数行列式课件

行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
KEEP VIEW
线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。

线性代数课件第一章行列式-习题课PPT

线性代数课件第一章行列式-习题课PPT
线性代数课件第一章 习题课
目录
• 习题回顾 • 习题解析 • 习题解答 • 习题拓展
01
习题回顾
习题一：二阶行列式的计算
总结词
理解二阶行列式的计算规则
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本概念，通过习题一，学生应掌握二阶行列式的 计算方法，理解行列式的定义和性质，为后续学习打下基础。
习题二：三阶行列式的计算
06
详细描述
通过习题的拓展，学生可以学会应用行列式解 决物理问题，如利用行列式计算物理量如力矩、 动量等。
THANKS
感谢观看
04
习题拓展
拓展一：高阶行列式的计算
总结词
掌握高阶行列式的计算方法
详细描述
高阶行列式是线性代数中的重要概念，通过习题的拓展， 学生可以掌握高阶行列式的计算方法，包括对角线法则、 Laplace定理等。
总结词
理解高阶行列式的性质
详细描述
通过习题的拓展，学生可以深入理解高阶行列式的性质， 如转置行列式、行列式的乘法、行列式的加减法等。
解析三：代数余子式的计算方法
深化理解
代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到行列式的展开和计算。通过习题课，学生可以深 入理解代数余子式的定义和计算方法，掌握其在实际问题中的应用，提高解决线性代数问题的能力。
03
习题解答
解答一：二阶行列式的计算答案
总结词
掌握二阶行列式的计算方法
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本 概念，通过计算二阶行列式，可 以掌握行列式的计算方法，为后 续学习高阶行列式打下基础。
总结词
掌握三阶行列式的计算技巧
详细描述
三阶行列式是线性代数中一个重要的概念，通过习题二，学生应学会如何计算三 阶行列式，理解其性质和计算技巧，加深对线性代数基本概念的理解。

二章行列式ppt课件


m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 推论2
偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次 对换改变排列的奇偶性。
任意一个n 级排列都可以经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换的次数与该 排列有相同的奇偶性.
a31 b3 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
n( n1)
1 2 a1na2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
1 a a 1 j1 2 j2 anjn
j1 jn
若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1，
它的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n 1 n
2
当a 时b ， 经对换后 a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a 时b ， 经对换后 a的逆序数不变， 的b 逆序数减少1.
因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
a1al a b1bm bb c1cn
m 次相邻对换

行列式习题课共56页


46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
行列式习题课
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力Байду номын сангаас。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。

《高等代数行列式》课件

向量的内积和外积的应用：在几何学、物理学等领域中的应用，如向量的加法、减法、数乘等 运算规则
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么

线性代数-行列式(完整版)ppt课件

设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
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解：因行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成。 即： a11a23a3i a4j，其中i、j只能是2,4的取值。 所以有两项： a11a23a32 a44， a11a23a34 a42
行标按自然数排列，那么列标排列的逆序数为： t(1324)=1， t(1342)=2
所以,含有因子a11a23的两项为: -a11a23a32 a44， a11a23a34 a42
k1
0
ij
定义法
递推法
计
加边法
算
方
数学归纳法
法
公式法
拆项法
析因子法
应
克拉默法则
用
齐次线性方程组有非零解的充要条件
.
2
下面我们通过例题来进一步巩固所学 的内容，并更好的掌握理解方法和技 巧，本章常见题型有填空题、计算题、 证明题
.
3
例1：问当i、j如何取值是，排列2 1 i 3 7 6 j 9 5 为偶排列？
性 推论：某行(列)有公因子可提到行列式的外面
质 4. 若有两行(列)成比例，则行列式等于0
5. 若某一行(列)所有元素均为两元素之和，则行
列式可拆成两个行列式。
6. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。
.
1
展
行展开
n
D i j
aki Akj
k1
0
ij
开
列展开
n
D i j
aikAjk
x3
D3 D
6
2 1 1 D3 4 2 4 36
206
.
20
例10：问λ，μ取何值时，齐次线性方程组
x1 x2 x3 0
x1
x2
x3
0
x1 2 x2 x3 0
有非零解
解：对于方程个数与变量个数相同的齐次线性方程组，
有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
11
11
r31r2
1 D
1
0
2
1 2 1 0
2 1 10
解：
0 1 1 2
0 1 1 2
r3 r2 1 1 0
D 0 r4 2r2 1 1
2 2
1 r3 r1 1 0 2
0 r4 3 r1 0 2 4
0 3 1 4
0 0 2 2
.
8
1 1 0 2
1 1 0 2
r1 r2 0 1 1 2 r4 1r3 0 1 1 2
解：令i=4，j=8，得排列为： 2 1 4 3 7 6 8 9 5 因为t( 214376895)=0+1+0+1+0+1+0+0+4=7 所以214376895为奇排列，与题意矛盾。
故取i=8，j=4，此时排列2 1 8 3 7 6 4 9 5为偶排列。
.
4
例2：写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
.
5
例3：已知四阶行列式D的第2行元素分别为: -1, 0,2 ,4 第4行元素的余子式依次为：2, 4, a, 4 求a=？
解：由已知得：A41=-2，A42=4, A43=-a, A44=4 由行列式某行元素与另一行元素的代数余子式乘 积之和为零，可知：
2 1 4 1 2 0 1 4 2 4 2 1 4 3 a 4 1 4 4 4 0
.
10
12 3 4
n
0 1 1 1
1
0 x 1 1 1
1
D
0 0 x 1 1
1
按第1列展开
00
x 1 1
1 1 1
1
x 1 1 1
1
x 1 1
1
1
x 1 1 n-1阶
.
11
x 0 0
0
x 1 ri 1ri1 x
0
0
x 1 x
0
x 1 1
1 n1 xn2
.
12
例7（边加法） 1 a1 1
假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时也成立
.
16
0
1
0
Dk1 0
1
0
1 k+1阶
0
按第1列展开
1
0
Dk 0 1
0
.
17
按第1行展开
D kD k 1
k 1k 1kk
k2 k2
所以当n=k+1时结论成立，由此结论得证。
.
18
例9：求解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1
解得：a=9
Hale Waihona Puke .6123 23 3
例4，计算3阶行列式 D 2 4 9 4 9 9
367 67 7
123 23 3
解：D 2 4 9 4 9 9
367 67 7
100 20 3
c21c1
113
200 40 9100202 2 90
c31c1 300 60 7
337
.
7
0 1 1 2
例5：计算四阶行列式
1
1 D
1 a2
1
解：
11
1 an
11 1
1
111
1
0 1 a1 1 D 0 1 1 a2
1
1 a1 0
1
1 1 0 a2
1
1
1
01 1
1 an 1 0 0
an
n+1阶
第1行(-1)倍 加到各行上
.
13
第2列、第3列…第n列，依次乘 1 , 1 , ... 1
后加到第1列上去。
a1 a2 an
D 1 1 1 1
1 2 1
00
.
21
1 1 1
0 1 1 0
0 01
所以当λ，μ满足λ=1或μ=0时，方程组有非零解。
.
22
行列式主要知识点网络图
排 列 逆序数，奇排列，偶排列
概 念 行 列 式 知 识 点
a11 a12
行列式 D a21 a22
a1n a2n
一般项是不同 行不同列元素
乘积代数和
1.D=DT
an1 an2
ann
2.互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论：若行列式两行(列)相同，则行列式等0 3.某行(列)所有元素同乘k，等于k乘行列式
0
0
2 4
0
0
2
4
0 0 2 2
00 02
4
.
9
12 3 4
n
11 2 3
n 1
1x12
n2
例6：计算n阶行列式 D 1 x x 1
n3
1x x x
2
1x x x
1
解：第(n-1)行的(-1)倍加到第n行上，第(n-2) 行(-1)倍加到第(n-1)行上,以此类推，直到第1 行(-1)倍加到第2行上。
4
x1
2 x2
5 x3
4
2
x1
2 x3
6
2 1 3
解：因为系数行列式 D 4 2 5 6 0
202
所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解。
1 1 3 D1 4 2 5 54
602
.
19
213 D2 4 4 5 6
262
所以，方程组的解为：
x1
D1 D
54 6
9
x2
D2 D
6 6
1
1 1 1 ... 1 1 1
1
a1 a2
an
0
0
a1 0
0
0 a2
0
0
0
an
a1a2..an
1
n i1
1 ai
.
14
例8：用数学归纳法证明
1 0 1
00
00
00
n1
n1
0 0
1
.
15
证明：当n=1时，D1
2 2
结论成立。
当n=2时，
D1 1
222
33
结论成立。