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函数逼近方法一、概述函数逼近方法是一种数学工具，用于通过已知数据点的集合来估计或近似出一条连续函数的近似函数。
它在各个领域都有广泛的应用，比如数值计算、统计学、机器学习和信号处理等。
通过函数逼近方法，我们可以在缺少完整数据的情况下对函数的行为进行研究和预测。
二、插值法插值法是函数逼近方法中最常见的一种方法，它基于已知点的函数值，构造出一个多项式函数来逼近原函数。
插值法的基本思想是通过已知点之间的连线或曲线来构造一个连续的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
2.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过利用拉格朗日基函数构造插值多项式的方法。
给定一个已知函数的离散采样点集合，拉格朗日插值的目标是构造一个多项式函数，该函数在已知点上的函数值等于已知函数在相应点上的函数值。
拉格朗日插值多项式的形式如下：L(x)=∑y ini=0∏x−x jx i−x j nj=0,j≠i其中，y i表示已知点的函数值，x i表示已知点的横坐标。
2.2 牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用差商的概念构造出一个多项式函数。
牛顿插值的优势在于可以递归地计算插值多项式，而不需要重新计算整个多项式。
牛顿插值多项式的形式如下：N(x)=f(x0)+∑[∏(x−x j)i−1j=0]ni=1f[x0,x1,…,x i]其中，f(x0)表示已知点的函数值，f[x0,x1,…,x i]表示差商。
三、最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来逼近函数的方法。
最小二乘法的基本思想是找到一个函数的近似函数，使得所有已知数据点到近似函数的距离的平方和最小。
3.1 线性最小二乘法线性最小二乘法是最简单的一种最小二乘逼近方法，它假设要逼近的函数是一个线性函数。
给定一组已知数据点(x i,y i)，其中x i为自变量，y i为因变量，线性最小二乘法的目标是找到一个形如y=ax+b的线性函数，使得所有已知数据点到该直线的距离的平方和最小。
第六章 函数逼近用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。
近似又称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。
简单函数：仅用加、减、乘、除。
多项式是简单函数。
插值也可以理解为一种逼近形式。
用Taylor展开：10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(++-++-+-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。
如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。
逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。
6.1 函数内积本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。
定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=ba dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
常用权函数有：211)(],1,1[xx -=-ρ；x e x -=∞)(],,0[ρ；2)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。
定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=ba dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2,g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。
定义3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]，若⎰==ba dx x g x f x g f 0)()()(),(ρ，则称f (x )与g (x )在[a ,b ]上带权ρ (x )正交。
定义 4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件()⎩⎨⎧==>≠=)是常数i i jiA j i j i A ji x x ,,1,0,(,0,0)(),(( ϕϕ，则称{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系。
当A ij ≡ 1时称函数系为标准正交函数系。
例 验证多项式：31,,12-x x 在]1,1[-上带权ρ (x ) = 1两两正交。
容易验证⎰-=⋅1101xdx ，⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1120311dx x ，⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅11113203131dx x x dx x x ，⎰->11201dx ，⎰->1120dx x ，⎰->⎪⎭⎫⎝⎛-1122031dx x 结论成立。
例nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ在[-π ,π ]上是正交的，且函数自乘之积在[-π ,π ]上的积分是1。
6.2切比雪夫多项式切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的有效工具。
定义：可以用递推关系给出切比雪夫（Chebyshev ）多项式T n (x)的定义如下：),2,1)(()(2)(,)(,1)(1110 =-===-+n x T x xT x T x x T x T n n n 。
可用归纳法证明：)cos())(cos(θθnTn=，假设对于小于等于n的情况此式成立，则对n+1的情况是：))1cos(()sin(sin)cos(cos]sin)sin(cos)[cos()cos(cos2))1cos(()cos()cos(2))(cos(1θθθθθθθθθθθθθθθ+=-=+-=--=+nnnnnnnnTn利用此关系（令θcos=x）可以证明切比雪夫多项式的正交性：切比雪夫多项式具有以下性质：(1)正交性：{T n (x)}在[-1, 1]上是带权211)(xx-=ρ的正交多项式序列，(2)奇偶性：当n为奇数时T n (x)为奇函数；n为偶数时为偶函数，(3)零点：T n (x)在[-1,1]上有n个零点),,2,1(,2)12(cos nknkxk=-=π，(4)极值点：T n (x)在[-1,1]上有n+1个极值点nkxkπcos='，nk,,2,1,0=，轮流取1和-1。
例 在[-1, 1]上找多项式逼近e x ，使误差ε < 0.01。
先对e x在0处作泰勒展开，有 ++++=!3!2132x x x e x，取前六项之和54325120124161211)(x x x x x x p +++++=作为e x 的近似，这时截断误差0038.0!61!61)(65<<=e x e x R ξ，能否降低 p 5(x )的次数？将p 5(x )表示为54321051920119213841748131922176481)(T T T T T T x p +++++=，由于在1≤x 上1)(≤x T k ，若略去最后两项，则误差为0058.0192011921<+。
在1≤x 上若用32103841748131922176481)(T T T T x y +++=近似代替e x 的总误差不超过0.0038+0.0058 < 0.01。
定理：在区间[-1,1]上所有首1的n 次多项式中,与0的偏差最小的多项式为12)(-n n x T 。
证明：假设有一个首1的n 次多项式P(x)与0的偏差比12)(-n n x T 还小，则考虑Q(x)=P(x)-12)(-n n x T ，注意Q(x)次数小于n ，由于12)(-n n x T 在[-1,1]有n+1个极值点，则Q(x)在[-1,1]有n 个不同零点，于是Q(x)恒等于0，所以P(x)=12)(-n n x T 。
要使拉格朗日插值多项式L(x)尽量逼近函数f(x)，则余项R(x)就要尽量小。
在R(x)中f(x)是固定的，而ξ又是未知数，所以要减小余项，有一条途径是恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值。
只在区间[-1, 1]上讨论切比雪夫插值法：当取切比雪夫多项式零点n k n k x k 2,1,0),2212cos(=++=π为插值点时， ∏=+-=-=---=ni n n i n n x T x x x x x x x x x 0110)(2)()())(()( ω则有)!1(2)(max )()1(+≤+n x f x R nn6.3 最佳平方逼近介绍在[a, b]上较易计算的最佳平方逼近。
定义1 设)(x i ϕ在[a , b ]上连续，如0)()()(1100=+++x a x a x a n n ϕϕϕ 当且仅当010====n a a a ，则称)(x i ϕ在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。
如果函数系{ϕk (x )}中的任何有限个函数线性无关，则称函数系{ϕk (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在[a , b ]上线性无关。
设)(x i ϕ在[a ,b ]上线性无关，a 0,a 1,…,a n 是任意实数，则)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++= 的全体是C [a ,b ]的一个子集，记为},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ，并称)(x i ϕ是基底。
例如P n = Span {1, x , x 2, …, x n }表示由基底1, x , …, x n 生成的多项式集合。
定理 连续函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上线性无关的充分必要条件是克莱姆(Gram)行列式G n ≠ 0，其中这个定理等价于)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上线性相关的充分必要条件是G n = 0，证明这个结论更简单一些。
定义2 对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，称S *(x )是f (x )在集合Φ中的最佳平方逼近函数，如果[]=-⎰dx x S x f x ba 2*)()()(ρ []dx x s x f x ba x S ⎰-∈2)()()()(min ρφ，},,,{10n Span ϕϕϕ =Φ。
求)()(0**x a x S j nj j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求系数**1*0,,,n a a a ，使dx x a x f x a a a I j n j j ban 2010)()()(),,,(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑⎰=ϕρ 取得极小值。
由于I (a 0,a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件0=∂∂ka I，写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(10101011100101000n n n n n n n n f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ，此方程叫法方程，其系数行列式就是G n ，由于ϕ0, ϕ1, …, ϕn 线性无关，故G n ≠ 0，上述方程组存在唯一解。
例1 ]1,1[,)(4-∈=x x x f ，求不超过二次的多项式，使⎰--112dx)]()([x P x f 最小。
设2)(cx bx a x P ++=，即取1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ，22)(x x =ϕ，1)(=x ρ。
由法方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(222120212111010201000f c b a f c b a f c b a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+7252323252322c a b c a ，解此线性方程组得：76,353,0=-==c a b ，所以276353)(x x P +-=，偏差⎰-=-1124012.0))((dx x P x 。
6.4 最小二乘逼近已知函数关系)(x f y =的实验数据为mm y y y x f x x x x 1010)(，其中m m x b x a x x x ==<<<,,010 。
