§1二重积分概念

第二十一章 二重积分§1 二重积分概念教学目的与要求：1.掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件.2.了解有界闭区域上的连续函数的可积性.3.了解平面点集可求面积的充要条件.教学重点：二重积分的定义和性质.教学难点：二元函数可积条件.教学过程一、平面图形的面积（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网T 分割平面图形P ，T 的网眼中小闭矩形i ∆的分类：（ⅰ）i ∆含的全是P 的内点,（ⅱ）i ∆含的全是P 的外点（不含P 的点）,（ⅲ）i ∆内含有P 的边界点,记()T s P 为T 的第ⅰ类i ∆的面积的和．记()T S P 为T 的第ⅰ和第三类i ∆的面积的和．记P I =(){}T s P T sup ，称为P 的内面积． 记P I =(){}T S P T inf ，称为P 的外面积．定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P I =P I =P I 为P 的面积（约当，黎曼测度）定理21.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，总存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P . （2）证明 [必要性]设平面有界图形P 的面积为P I ．由定义1，有P I =P I =P I ．对任给的ε，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得记T 为由1T 与2T 这两个直线网合并的直线网，可证得()()T s T s P P ≤1，()()T S T S P P ≥2， (3)于是由（3）可得从而得到对直线网T 有 ()()ε<-T s T S P P ，[充分性]对任给的0>ε，存在直线网T ，使得（2）式成立．但所以 ()()ε<-≤-T s T S I I P P P P ，由ε的任意性，因此P I =P I ，因而平面图形P 可求面积．推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=P I ，即对任给的0>ε，存在直线网T ，使得，或对任给的0>ε，平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零．证明 由定理21．1，P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P ．由于所以也有()ε<T S K ．由上述推论，P 的边界K 的面积为零．定理21.3 若曲线K 为由定义在[]b a ,上的连续函数()x f 的图象，则曲线K 的面积为零证明 由于()x f 在闭区间[]b a ,上连续函数，从而一致连续．因而对任给的0>ε，总存在0>δ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-()n i ,,1 =并且满足{}n i x x x i i i ,,1max 1 =-=∆-δ<时，可使在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立a b i -<εω．现把曲线K 按自变量n x x x x ,,,10 =分成n 个小段，这时每一个小段都能被以i x ∆为宽，i ω为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为 所以由定理21．1的推论即得曲线K 的面积为零．还可证明得到：由参量方程()()()βαψϕ≤≤==t t Y t x ,所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．二、 二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域：,,,,21n σσσ∆∆∆ 以i σ∆表示i σ∆的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i d 表示i σ的直径，称{}i n i d T ≤≤=1max 为分割T 的细度，在每一个i σ上任取一点（i i ηξ,），作和式： ∑=∆n i i i i f 1),(σηξ，称之为函数在上属于分割的一个积分和． 定义2 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度δ<T 时，属于T 的所有积分和都有则称()y x f ,在D 上可积，数J 称为函数()y x f ,在D 上的二重积分，记作其中()y x f ,称为二重积分的被积函数，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域．几何意义：当()y x f ,0≥时，二重积分()⎰⎰D d y x f σ,在几何上表示以=z ()y x f ,为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D ，则面积元素为dxdy d =σ直角坐标系下可表示为： ()⎰⎰D d y x f σ,=()⎰⎰D dxdy y x f ,.可积的必要条件：()y x f ,在可求面积的区域D 上有界函数()y x f ,在可求面积的区域D 上有界时，T 是D 的一个分割，把D 分成个可求面积的小区域n σσ,,1 ，令()y x f , 关于分割T 的上和与下和：定理21.4 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：定理21.5 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得()()ε<-T s T S ．定理21.6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．定理21.7 设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若()y x f ,的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则()y x f ,在D 上可积.证明 不失一般性，可设()y x f ,的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上．记L 的长度为l ，于是对任给的ε>0，把L 等分成1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εl n 段： 在每段i L 上取—点i P ，使段与其一端点的弧长为n l2，以i P 为中心作边长为ε的正方形i ∆，则i L ⊂i ∆，从而有n i i L 1=∆⊂记 n i i 1=∆⊂∆，则∆为一多边形．设∆的面积为W ，那么 现在把区域D 分成两部分．第一部分∆= D D 1．第二部分121D D D -=．由于()y x f ,在2D 上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在2D 的分割2T ，使得()()ε<-22T s T S ．又记()()y x f M y x ,sup ,∆∈∆=，()()y x f m y x ,inf ,∆∈∆=，以T 表示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有其中ω是()y x f ,在D 上的振幅．由于()y x f ,在D 上有界，故ω是有限值．于是由定理21，5就证明了()y x f ,在上可积.三、二重积分的性质二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：1. 若()y x f ,在区域D 上可积，k 为常数，则k ()y x f ,在D 上也可积，且2．若()y x f ,,()y x g ,在D 上都可积，则()y x f ,±()y x g ,在D 上也可积，且()()[]⎰⎰±D d y x g y x f σ,,=()⎰⎰D d y x f σ,±()⎰⎰D d y x g σ,.3. 若()y x f ,在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则()y x f ,在1D 2D 也可积，且()⎰⎰21,D D d y x f σ=()⎰⎰1,D d y x f σ+()⎰⎰2,D d y x f σ.4．若()y x f ,与()y x g ,在D 上可积，且()y x f ,≤()y x g ,，()∈y x ,D ，则5．若()y x f ,在D 上可积，则函数()y x f ,在D 上也可积，且6. 若()y x f ,在D 上可积．且 m ≤()y x f ,≤M ， ()∈y x , D则这里D S 是积分区域D 的面积．7．(中值定理) 若()y x f ,在有界闭区域D 上连续，则存在()∈ηξ,D ，使得 这里D S 是积分区域D 的面积．中值定理的几何意义：以D 为底，()())0,(,,≥=y x f y x f z 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在()y x f ,区域D 中某点()ηξ,的函数值()ηξ,f ．作业2，4，5.。

第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。

二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。

为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。

本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。

一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。

它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。

一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。

对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。

二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。

二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。

一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。

对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。

通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。

2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。

特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。

对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。

通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。

3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。

第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。