江苏省扬州市仪征中学2018—2019学年高一上学期期中考试数学试题(精编含解析)

2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜45．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点；15．已知函数，则f（log23）＝．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}【分析】根据补集的定义，写出∁U M．【解答】解：全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝{x|2≤x＜3}．故选：B．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅【分析】由2x＞3，得x＞log23，由（x﹣1）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜1即M＝（log23，+∞），N＝（﹣3，1），得M∩N＝∅．【解答】解：∵2x＞3∴x＞log23，即M＝（log23，+∞）又∵（x﹣1）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜1∴N＝（﹣3，1），又∵log23＞1，∴M∩N＝∅故选：D．【点评】本题考查了指数不等式与二次不等式的解法，属简单题．3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4【分析】根据f（x）的定义域为R，即可得出不等式kx2+kx+1≥0的解集为R，显然k＝0时满足题意，而当k≠0时，则满足，解出k的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴不等式kx2+kx+1≥0的解集为R；①k＝0时，1≥0恒成立，满足题意；②k≠0时，；解得0＜k≤4；综上得，0≤k≤4．故选：B．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集和判别式△取值的关系．5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】由已知得f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，结合简图易得结果．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）图象关于y轴对称，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，∴f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】用a＝1排除A、D，由底数大于0，排除B．【解答】解：a＝1时，2＜1成立，排除A、D又3﹣2a＞0得a＜，排除B，故选：C．【点评】本题考查了其它不等式的解法，属基础题．7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f （c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【分析】根据f（x）的定义域，可看出，要使得函数g（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1）；∴要使g（x）有意义，则；解得1＜x＜2；∴g（x）的定义域为（1，2）．故选：A．【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b【分析】直接利用对数的运算性质进行大小比较．【解答】解：∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log23＞1，d＝log45＞1．且．∴b＜a＜d＜c．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）【分析】先求得函数的定义域，本提即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：由函数f（x）＝log（x2﹣4x），可得x2﹣4x＞0，求得x＜0，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞4 }，本题即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x在定义域内的增区间为（4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）【分析】作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象，根据图象得出m的范围．【解答】解：作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象如图所示：∵程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，∴直线y＝m与y＝x2﹣4|x|+3的函数图象有4个交点，∴﹣1＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由奇偶性的定义可判断①；讨论x＞2，x＜2，求得f（x），以及导数，判断符号，即可判断②；由f（x）的单调性可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，设g（x）＝f（x+2）＝（|x|+1）4，g（﹣x）＝g（x），可得g（x）是偶函数，故①正确；x＞2时，f（x）＝（x﹣1）4的导数为f′（x）＝4（x﹣1）3＞0；x＜2时，f（x）＝（3﹣x）4递，导数为f′（x）＝4（x﹣3）3＜0，可得f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；由②可得f（x）在x＝2处取得最小值1，故③错误．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的求法，考查导数的运用和奇偶性定义的应用，考查运算能力，属于基础题．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．【分析】函数y＝有意义，可得0＜5x﹣3≤1，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y＝有意义，可得，即为0＜5x﹣3≤1，解得＜x≤，则定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，以及偶次根式被开方数非负，考查运算能力，属于基础题．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）；【分析】令幂指数等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1），令x2﹣2x+1＝0，求得x＝1，y ＝3，可得函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3），故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15．已知函数，则f（log23）＝．【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用进行求解．【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log23+2）＝f（log23+3）＝f（log224）＝＝．故答案为：．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝1．【分析】f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，从而a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，进而f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，f（lg3）＝3，∴f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，∴a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，∴f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝，（2）原式＝﹣+lg100+2＝﹣+2+2＝．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】先确定A、B，由B⊆A得，得﹣1≤a≤1．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）＝2，得c＝2，又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各（1分），解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1∈[﹣1，2]，故f min（x）＝f（1）＝1，又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，所以f max（x）＝f（﹣1）＝5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）g（x）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．【分析】（1）f（x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；（2）先求出a，再求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）是增函数．证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则．∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2＝0，即a＝1．（也可利用f（0）＝0求得a＝1）∴，∵2x+1＞1，∴，∴，∴．故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【分析】第一步得到解析式和x的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．【解答】解：（1）由题意可得g（x）＝，且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．【分析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），可得f （0）的值，令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），分析可得f（﹣1）的值；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，进而有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），结合单调性的定义分析可得结论；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）•f（b）；令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），又由f（1）＝2，则；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），则f（x2）﹣f（x1）＞0，即函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，则f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．。

江苏省扬州市2018-2019学年度高三第一学期期中调研数学试题2018—2019学年度第一学期期中调研测试试题高三数学2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足112z i i =+-，则复数z ＝． 2．函数42xy =-3．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为 ．4．已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝．5．已知向量m =(1，a )，n =(4a ，31a +)，若m ∥n ，则实数a ＝．6．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若26a =6b =，cosB ＝12-，那么角A 的大小为． 7．设实数x ，y 满足121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32x y +的最大值为．8．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)ypx p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为．9．已知条件p ：x ＞a ，条件q ：102xx ->+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为． 11．若函数()Asin()f x x ωϕ=+(A＞0，ω＞0，02πϕ<<)的部分图像如图所示，则函数()f x 在[π-，0]上的单调增区间为． 12．在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G是△ABC 的重心，若△ABC 的面积为61+，AC ＝5，tanC ＝2，则(AH BC)(GB GC)+⋅+＝．13．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是． 14．已知函数2()22f x x x =-，()ln 5g x x ax =-+（e 为自然对数的底数，e ≈2.718）．对于任意的0x ∈(0，e )，在区间(0，e )上总存在两个不同的1x ，2x ，使得1()g x ＝2()g x ＝0()f x ，则整数a 的取值集合是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，3AB AC AB AC ⋅=，设∠BAC ＝α．（1）求tan α的值；（2）若3cos 5β=，β∈(0，2π)，求cos(β﹣α)的值．16．（本小题满分14分）已知a R ∈，函数1()f x a x=-． （1）若()2f x x ≤对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a ＝1时，解不等式()2f x x ≥． 17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)xy r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．18．（本小题满分15分）江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为2，22km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为10．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图π)），铺设三段鹅卵石(2)中∠COF为θ（θ∈(0，4路的总费用为y（万元）．（1）求南京园到柏油路的最短距离d关于θ1的表达式；（2）求y的最小值及此时tanθ的值．（1）（2）19．（本小题满分16分）2），求实数k 的值.22、（10分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为32，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次. （1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望)(X E .23、（10分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA 1=A 1C=2，平面ACC 1A 1⊥平面ABC.现以边AC 的中点D 为坐标原点，平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，直线AC 为y 轴，直线DA 1为z 轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB 与A 1C 所成角的余弦值； （2）求直线AB 与平面A 1BC 所成角的正弦值. 24、（10分）已知正项数列}{na 满足)(*21N n a a an n n ∈-=+.（1）求证:101<<a ，且当2≥n 时，21+≤n an；（2）求证:)1ln(2+<∑=n a ni i .参考答案1．3i- 2．(,2]-∞ 3．124．25．16．4π7．38．3x =- 9．2a ≤-10．5y =11．(3,0)-(区间开闭皆可)12．113．13514．{3,4,5,6,7} 15．解：（1）3AB AC AB AC⋅=⋅，3cos AB AC AB ACα⋅=⋅，所以cos 3α=，又因为0α<<π，所以2212sin 1cos 1()33αα=--．∴tan 2α分（2）∵3cos 5β=，(0,)2πβ∈∴4sin 5β=………8分 由（1）知：2sin 3α=，∴3423346cos()cos cos sin sin 5533βαβαβα+-=+=+=……14分16．解：（1）∵()2f x x ≤对(0,2)x ∈恒成立∴12a x x ≤+对(0,2)x ∈恒成立∵1222x x +≥，当且仅当12x x =，即2x =时取等号 ∴22a ≤6分（2）当1a =时，1()1||f x x =-，∵()2f x x ≥∴112||x x -≥……（*） ①若0x >，则（*）可化为：2210x x -+≤，所以x ∈∅；…9分②若0x <，则（*）可化为：2210xx --≥，解得：1x ≥或12x ≤-，∵0x <∴12x ≤-…12分由①②可得，（*）的解集为1(,]2-∞-．…14分 17．解：∵直线3100x y --=与圆222:(0)O xy r r +=>相切∴圆心O 到直线3100x y --=的距离为1019r =+ (2)分（1）记圆心到直线l 的距离为d ，所以1062d =-=．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =，满足题意；…3分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即(12)0kx y k -+-=所以221d k ==+，解得34k =-，此时直线l 的方程为34100x y +-=…6分综上，直线l 的方程为2x =或34100x y +-=．…7分 （2）设0(,)P x y ．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取(1,3),(1,3)A B -，∴直线PA 、PB 的方程分别为033(1)1y y x x --=--，033(1)1y y x x --=++ 令0x =，得00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分因为点0(,)P x y 在圆C 上，所以220010xy +=，即220010yx =-，代入（*）式 得M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-为定值．…15分18．解：（1）∵COF θ∠=，南京园在中心广场的南偏西45°2km∴4AOE πθ∠=-∴12sin()4d πθ=-………4分 （2）分别设点,B C 到直线EF 的距离为23,d d ．由（1）知：2322sin(),104d d πθθ=- ∴2221cos(2)1cos 222[(2sin())(22))(10)]20[]4422y πθππθθθθ---=-+-+=+2010(sin 2cos2)]20102)4πθθθ=-+=-+，(0,)4πθ∈………9分 ∵(0,)4πθ∈∴32(,)444πππθ+∈∴当242ππθ+=时，min20102y=-元）…12分此时24πθ=∴22tan tan 211tan θθθ==-，解得：tan 21θ= (14)分答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(20102-)万元，此时tan θ21．………15分19．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以2a c =， 又由右准线方程为2x =，得到22a c=，解得2,1a c ==，所以2221b a c =-=所以，椭圆C 的方程为2212x y +=…4分（2）设11(,)B x y ，而(0,1)A ，则111(,)22x y M +，∵62ON OM =，∴1166(1)()x y N +因为点,B N 都在椭圆上，所以221122111233(1)1168x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，将下式两边同时乘以83再减去上式，解得113y =，21169x=…8分所以2221116117()93OB x y =++=…9分（3）由原点O 到直线l 的距离为1，得211k=+，化简得：221km +=联立直线l 的方程与椭圆C 的方程：2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++，且280k∆=> (11)分22222222222222222224222242(1)121212m k m m k m k k m m k m k m k k k --+--++=+-+=+++2222232211212m k k k k λ--+===++，所以2121kλλ-=-OAB△的面积22212121211111|1()4222S AB k x x k x x x x =⨯⨯=+-=++-2222222218(1)122(1)2(12)(12)k k k k k k λλ+=+==-++14分因为2(1)S λλ=-45[,]56为单调减函数， 并且当45λ=时，22S =，当56λ=时，10S =，所以OAB △的面积S 的范围为1022[]5．…16分20．解：（1）ln ()x f x x =，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)；又21ln '()x f x x -=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ．…3分（2）21ln '()(0)-=>x f x x xx(0,)ee(,)e +∞'f x 正负f x单调增 极大值 单调减由2()()0fx tf x +>，得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍；② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍；③t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<，即ln5ln 252t ≤-<，即ln 2ln525t -<≤-； 所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-．…8分 （3）2()24ln =-+h x xx x，因为221212()()0+-=h x h x x x，所以22221112221224ln 24ln 0xx x x x x x x -++-+-=，即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t tt t t ϕ=+->，…11分则2(1)(2)4()22(0)t t t t t t tϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t tt t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t tt t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．…14分因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x，所以21212()2()3x x x x +-+≥，即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤．因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．…16分（加试部分）21．解：设直线1y kx =+上任意点(,)M x y 在矩阵0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的点'(',')M x y ，则'01'11x x y y y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''x y y x y=⎧⎨=+⎩，∴'''x x y y x =-+⎧⎨=⎩…5分 代入直线方程1y kx =+得：'('')1x k x y =-++，将(3,2)P 代入上式，解得：2k =-．…10分22．解：（1）设(1,2,3)iA i =表示第i 次投篮命中，iA 表示第i 次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A ，则123123()()P A P A A A A A A =+=221122833333327⨯⨯+⨯⨯=．…4分 （2）命中的次数X 可取0，1，2，3；321(0)(1)327P X ==-=，1123222(1)()(1)339P X C ==-=，2213224(2)()(1)339P X C ==-=， X 0 123P127 29 49 827…8分所以248()12329927E X =⨯+⨯+⨯= 答：X 的数学期望为2．…10分23．（1）根据题中空间直角坐标系可知：A (0,1-,0)，C (0,1,0)，B (2,1,0)，A 13，…1分∴1(2,2,0),(0,1,3)AB A C ==-∴112222120210(3)2cos ,||||22(1)(3)AB ACAB AC AB AC ⋅⨯+⨯+⨯-<>===+⋅-+3分设异面直线AB 与1A C 的所成角为α，则(0,]2πα∈，∴12cos |cos ,|4AB AC α=<>=4分（2）由（1）得：1(2,1,3),(2,0,0)A B BC =-=-，设平面1A BC的法向量为(,,)n x y z =， ∴1n A Bn BC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴123020n A B x y z n BC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，则(0,3,1)n = (7)分∴22222023016cos ,||||22(3)1AB nAB n AB n ⋅⨯+⨯+⨯<>==+⋅+．…9分设直线AB与平面1A BC 所成角为β，(0,]2πβ∈，则6sin |cos ,|4AB n β=<>=．…10分24．证明：（1）由21120a a a -=>，解得101a <<．…1分下用数学归纳法证明：当2n ≥时，12na n ≤+ ①当2n =时，222111111()244aa a a =-=--+≤．所以不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12ka k ≤+则当1n k =+时，有则当1n k =+时，不等式也成立．综合①②，当2n ≥时，都有12na n ≤+． …5分 （2）记()ln(1)(0)1x f x x x x=+->+…6分 当0x >时，2211'()01(1)(1)xf x x x x =-=>+++所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，则()(0)0f x f >=，即ln(1)1xx x+>+…8分 令*1()1x i N i =∈+，则121ln ln21i i i i i++<<++， 从而有2221[ln(1)ln ]ln(1)ln 2ln(1)2n nni i i i a i i n n i ===<<+-=+-<++∑∑∑．…10分。

……………………绝密★启用前江苏省扬州市仪征中学2018—2019学年高一上学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ={1,2,3}，B ={x |(x +1)(x −2)<0,x ∈Z }，则A ∪B = A ．{1} B ．{1，2} C ．{0，1，2，3} D ．{−1，0，1，2，3} 2．下列四个对应f ，不是．．从集合A 到集合B 的函数的是（）． A ．A ＝{12,1,32}，B ＝{－6，－3,1}，f (12)=−6，f (1)＝－3，f (32)=1； B ．A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1； C ．A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1；D ．A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1. 3．已知幂函数f (x )的图象经过点（9，27），则f (x )＝（）. A ．x 3B ．x 2C ．x −3D ．x −24．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝（）. A ．−43 B ．34 C ．43 D ．−345．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．已知f x+1=x2+4x+1, 则f3= ( ) A．33B．13C．25D．227．与−150°终边相同的最小正角是（）．A．23πB．56πC．43πD．76π8．三个数0.70.6，50.8，log0.65的大小顺序是( ) A．50.8<0.70.6<log0.65B．50.8<log0.65<0.70.6 C．log0.65<50.8<0.70.6D．log0.65<0.70.6<50.89．已知f(x)=x2−2ax+5,x≤1−log a x,x>1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是（）A．1,+∞B．1,3C．(1,3D．1,310．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上为增函数，f(1)=1，则不等式f(2x−3)>1的解集为( )A．(1,2)B．(2,+∞)C．(−∞,2)∪2,+∞D．(−∞,1)∪2,+∞11．已知函数f(x)=3x−2−m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A．(0,+∞)B．(0,2)C．0,+∞D．0,212．已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1，若关于x的不等式f f x<0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )．A．−3,−2B．−∞,−1C．−∞,−2D．−∞,−2第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．函数y=log0.5(4x−3)的定义域为__________．14．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．15．1634+log49×log332−2log23=____________________.16．设函数f(x)=x2−2x+2,x≥0log2(x+2)+1,x<0，若互不相同的实数x1,x2,x3满足f(x1)= f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是__________________________.三、解答题17．已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，C={x|x<a}，全集为实数集R. （1）求A∪B，(C R A)∩B；（2）如果A∩C≠ϕ，求实数a的取值范围.18．已知tanα=2，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)若α是第三象限角，求cosα的值．19．已知函数f x=3x,f a+2=81,g x=1−a x1+a.(1)求函数g x的解析式并判断g x的奇偶性；(2)用定义证明：函数g x在R上单调递减；(3)求函数g x的值域.20．（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)的值域.22．定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间a,b上存在x0a<x0<b，满足f(x0)=f b−f a，则称函数y=f(x)是a,b上的“平均值函数”，x0是它的均值点.b−a（1）y=x4是否是-1，1上的“平均值函数”，如果是请找出它的均值点；如果不是，请说明理由；（2）现有函数y=−2x2+2mx+1是-1，1上的平均值函数，则求实数m的取值范围.参考答案1．C【解析】试题分析：集合B={x|−1<x<2,x∈Z}={0,1}，而A={1,2,3}，所以A∪B={0,1,2,3}，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．C【解析】【分析】直接利用函数的定义“集合A中每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应”，对选项中的函数逐一判断即可.【详解】对于A，A=12,1,32,B=−6,−3,1,f12=−6,f1=−3,f32=1，满足函数的定义“集合A中每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应”，则f为从集合A到集合B的函数，满足题意；对于B，A=B=x|x≥−1,f x=2x+1，满足函数的定义“集合A中每一个元素在集合B 中都有唯一元素与之对应”，则f为从集合A到集合B的函数，满足题意；对于C，A=B=1,2,3,f x=2x+1,∵f2=5∉B，不满足条件“集合A中每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应”，则f不是从集合A到集合B的函数，不满足题意；对于D，A=Z,B=−1,1,n为奇函数时f n=−1,n为偶函数时f n=1，满足函数的定义“集合A中每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应”，则f为从集合A到集合B的函数，满足题意，故选C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3．A【解析】【分析】先设幂函数f x=xα，再根据其图象经过点9,27，求出α的值，从而可得结果.【详解】设幂函数f x=xα，把点9,27代入，得9α=27⇒32α=33，解得α=32，∴f x=x3，故选A.【点睛】本题题主要考查幂指数的运算以及幂函数的解析式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.4．A【解析】【分析】由cosα=x2+42=15x，可求得x的值，利用正切函数的定义即可得到结果.【详解】∵cosα=x2+42=15x,因为α是第二象限角,∴x≠0,∴ x2+16=5,解得x=±3,又α是第二象限角,∴x=−3,∴tanα=4−3=−43，故选A.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于基础题.5．C故零点存在于()1,2上。