函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值 函数的极值的定义
一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，
（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作
)(0x f y =极大值；
（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作
)(0x f y =极小值.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：
求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理
若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连
函数的极值和最值
函数在闭区间上的最大值和最小值
函数的极值
函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1
()(0)f x x x
=>. 要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；
（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数
()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】
例1.已知函数.,33)(2
3
R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求
)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；
【解析】2
'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f ==
所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三：
【变式1】设a 为实数，函数()22,x
f x e x a x =-+∈R ．
(1)求()f x 的单调区间与极值；
(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，2
21x e x ax >-+．
【解析】（1）由()22,x
f x e x a x =-+∈R 知()2,x
f x e x '=-∈R ．
令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
x (,ln 2)-∞
ln 2
(ln 2,)+∞
()f x ' － 0
+ ()f x
单调递减
2(1ln 2)a -+
单调递增
故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，
()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+
(2)证明：设2
()21x
g x e x ax =-+-，x ∈R 于是()22x
g x e x a '=-+，x ∈R
由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+> 于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>． 即2
210x
e x ax -+->，故2
21x
e x ax >-+．
【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。 类型二：利用导数解决函数的最值问题
