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北京科技大学_计算方法_2010真题和解答

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北京科技大学2010年 《科学与工程计算》 研究生考试试题答案一、填空题(每空题2分，共20分)1.310-，则近似值至少需要取3位有效数字.33(8.944271908-8.9)=0.004(8.944271908-9>108.9448.94)8.944271908=0.000477<108.294427171990808--≈2.为了提高数值计算精度, 当数x 非常接近0时, 应将1cos sin x x -改写为sin 1cos xx+.3.设531323224-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，则1A =10，A ∞=9。

4. 若使用二分法求解方程1xxe =在[0,1]上的根，要求误差小于30.510-⨯，则至少需要迭代__10__步。

注：二分k 步误差小于12k b a +- 3110.51021000102kk k -+≤⨯→≥→≥5．已知函数f (-1)=-5, f (1)=0 , f (2)=7,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x 2的系数是 7/2 .6.设743()54321f x x x x x =++++，则差商[0,1,2,3,4,5,6,7]f =5。

[4,3,2,1,0,1,2,3,4,5]f ----=07 . 求解初值问题'210,(0)1y y x y =-+=时，若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h 不超过.0.2。

8.设()3231(1)(1)101()3212x a x b x x S x x x x ⎧-+-+-+≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩是[0,2]上的三次样条函数，那么a=_9_二、 (20分) 分别用Jacobi 迭代与高斯-赛德尔迭代法解线性方程组，1231125134124730x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦给出迭代格式与迭代矩阵，说明上述迭代是否收敛，若全两者均收敛问哪种方法收敛快。

解：本问题的Jacobi 迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()31325141332430777k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=-+⎪⎪=+-⎨⎪⎪=--+⎪⎩（2分）迭代矩阵为0121403324077J B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ （2分）221201014141842422333337773244248777777J I B λλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++317λλ=- （4分）()1J B ρ=< （1分） Jacobi 迭代收敛 （1分）本问题的高斯-赛德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()(1)()21323(1)(1)(1)()()313232514122133333243010452777212121k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +++++++⎧⎪=-+⎪⎪=+-=++⎨⎪⎪=--+=-++⎪⎩（2分）迭代矩阵为0121203310402121S B ⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（2分）212121113033212110402121J I B λλλλλλλ-⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭-（3分）()1s B ρ=< （1分） Seidel 迭代收敛 （1分）()()J s B B ρρ==Jacobi 迭代收敛的快（1分）三、（10分）给定数据（()f x ，试用hermite 插值多项式计算()1.75f 的近似值，并估计误差。

解：方法1首先构造差商表：那么，（每个插商2分）()()()210.2510.06081N x x x =+--- （1分）最后计算可以得到()()1.75 1.75 1.1533f N ≈=。

（1分）()31221()()6464maxx f x f x f x x ≤≤''''''==≤()()()21163(1.75) 1.751 1.751 1.7520.00769042968756468192R ≤⨯---== （误差2分）方法2 待定系数法()2G x a bx cx =++ ()2G x b c x'=+ ()11G a b c =++= （1分）()224 1.1892G a b c =++=（1分） ()220.25G b c '=+=（1分）解得0.6892,0.3716,0.0608a b c ===- （3分） ()20.68920.37160.0608N x x x =+-（1分）最后计算可以得到()()1.75 1.75 1.1533f G ≈=。

（1分）误差同方法1方法3 基函数法()() 1.1892()0.25()G x a x b x c x =++(1)1,(2)0,(1)0a a a '=== (1)0,(2)1,(1)b b b '=== (1)0,(2)0,(1)c c c '===()(2)()a x x A Bx =-+ (1)1a A B =--= (1)0a A '== ()(2)a x x x →=-- （2分） 2()(1)b x C x =- (2)1b C == 2()(1)b x x →=- （2分） ()(1)(2)c x D x x =-- ()(23)c x D x '=- (1)1c D '=-= ()(1)(2)c x x x →=--- （2分）()2(2) 1.1892(1)(1)(2)G x x x x x x =--+---- （1分）最后计算可以得到()()1.75 1.75 1.1533f G ≈=。

（1分）误差同方法1四、(15分)已知数据表求最小二乘法求其二阶拟合多项式并计算平方误差。

计算中间数值及结果保留6位小数。

解：2y a bx cx =++20121,,x x ϕϕϕ===()00,5ϕϕ=()01,0i x ϕϕ==∑()()20211,,10i x ϕϕϕϕ===∑ ()312,0i x ϕϕ==∑()422,34i x ϕϕ==∑ ()0,31i y y ϕ==∑ ()1,172i i y x y ϕ==∑ ()22,146i i y x y ϕ==∑解方程501031010017210034146a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得29/586/56a b c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（每个非0系数1分，共6分）二阶拟合多项式为22986305x x y -++= （a,b,c系数1分）近似值814(2)1755y --==-+ (1)17143y -=-=-+ 2921(0)1055y =-=-+ 8713(1)2055y ==- 2633(2)5255y ==+平方误差=()22222421133172355555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（误差1分）五、(10分)01x =，要求误差510-<350x -=的根利用牛顿法构造递推公式3122525333k k k k k kx x x x x x +-=-=+，（２分） 01x =，计算结果如下， := x 1 2.333333334 １分 := x 2 1.861678005１分 := x 3 1.722001880１分:= x 4 1.710059736 2分 := x 5 1.7099759512分45410x x --< *1.709975951x ≈（１分）六、(15分) 用改进的欧拉方法求解初值问题'0.9/(12)(0)1y y x y =-+⎧⎨=⎩ 取步长h =0.25，计算)5.0(y , 并与准确值0.45(12)y x -=+比较.解: 10.9(,)12n n n ny k f x y x -==+,121110.9()(,)12n n n n y k h k f x y k h x ++-+=+=+,[]1122n n h y y k k +=++公式2分00y =,00x =,10.1x =,10.9k =-(2分)20.465k =- (2分),10.829375y =, (2分)真实值0.8332185564(1分)10.25x =,20.5x =,10.497625k =-(1分),20.3172359375k =- (1分),20.7275173828y = (1分)真实值0.7320428480(1分)1y 误差约为0.0038435564，(1分)2y 误差约为0.0045254652(1分)七、(10分) 已知某连续可微函数()f x 的几点函数值如下表x 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1f(x)10.9961 0.9843 0.9646 0.9368 0.9006 0.8554 0.8006 0.7351使用复化梯形求积公式及其外推公式估计1()d f x x ⎰，使估计值尽可能准确（注：每步计算结果保留小数点后6位。

） 解： （1）110[10.7351]0.857552T -=+= （1分） 21110.93680.90217522T T =+⨯= （1分）4211(0.98430.93680.8554)0.91102524T T =+++= （1分）8411(0.99610.96460.90060.8006)0.913243750.91324428T T =++++=≈ （1分）外推第一层21120.9137173T T S T -=+≈（1分） 42240.9139583T TS T -=+≈ （1分） 84480.9139883T TS T -=+≈ （1分）外推第二层21120.91397415S S C S -=+≈ （1分） 42240.91399015S S C S -=+≈ （1分） 外推第三层21120.91399063C C R C -=+≈ （1分） 1、已知()f x 的函数值和导数值如下:(1)1f =，(2)2f =，(3)3f =，'(1)1f =，'(2)2f =。

求次数小于等于4的多项式()P x ，使得：(1)1P =，(2)2P =，(3)3P =，'(1)1P =，'(2)2P =。

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北科大研究生计算方法作业

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计算方法姓名：学号：班级：指导教师：目录作业1 (1)作业2 (5)作业3 (8)作业4 (10)作业5 (14)作业6 (16)作业7 (17)作业11、分别用不动点迭代与Newton 法求解方程 -+=x 2x e 30的正根与负根。

解：(1)不动点迭代a.原理：将 230x x e -+=变型为1()k k x g x +=进行迭代，直到 为止变型后为有两种形式： 和 b.程序：初值为1形式: x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=log(2*x(i)+3); tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; enddisp(i-1); 形式:x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=(exp(x(i))-3)/2; tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; end disp(i-1);c.运行结果：初值为1(23)1lnk x k x ++=6110k k x x -+-<132k x k e x +-=(23)1ln k x k x ++=132k xk e x +-=迭代次数：11迭代次数：9(2)Nexton法a.原理：令()()1'kk kkf xx xf x+=-得到迭代公式为：()1232kkxkk k xx ex xe+-+=--b.程序：初值为0x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=0;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1);初值为1x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=1;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1)a=x(i-1);b=2*a-exp(a)+3;disp(b);c.运行结果：初值为0迭代次数：5初值为1迭代次数：8 -1.6171e -006结果分析：不动点迭代会因为迭代公式选取的不同得出不同的迭代结果，而牛顿法迭代会因为初值选取的不同而得到不同的结果。

北科大2010-11(1)材料力学期末考试试卷-A-答案

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北京科技大学2010--2011学年 第1学期材料力学期末考试试卷（A ）考试试题参考答案和评分标准一．基本选择题 A(卷)A A D DBCD B D B B(卷) C D B A D B A D D B 二、（1）传动轴的计算简图N P N T N T P T M NmnNM non e e 3.2371 1337267420cos 15.025.02.3349549212===∴===⨯=（2）画圆轴的内力图 轴的扭矩图为xz 平面内弯曲的弯矩图为xy 平面内弯曲的弯矩图为（3）强度计算P n 0.15P n 334．3Nm 360NmB 截面最危险NmT Nm M B B 3.3343.8792.80236022==+=第三强度理论[]mmd dW WT M B B r 3.49 323223≥∴=≤+=πσσ评分标准：外力和外力偶矩的计算：4分，画扭矩图和弯矩图：8分，按强度理论计算：8分三、弯曲强度：R A =7.kN ，R B3max85100.095610080010MPa MPa σ-⨯⨯==<⨯ 稳定性校核：max 13.464173.21000.02lib μλλ====>=2932200100.020.0565.8()112cr P kN π⨯⨯⨯⨯==⨯65.8n 2.924n 2.522.5cr w st w P P ===>=。

安全！ 四、已知正方形刚架的弯曲刚度为EI 。

刚架在四边受到均布载荷q 作用如图所示。

试用力法正则方程求中点A 截面的弯矩和拐角B 截面的内力。

（15分） 解：利用对称性，为一次超静定。

五、 （1）原载荷引起的内力：(2) 求水平相对位移，在A 、B 施加一对方向相反单位水平载荷由对称性取一半研究 （5）用莫尔定理求AB 的位移，根据莫尔积分EI a 211=δEIqaΔ31F,-=1111F 0X δ+∆=2121qa X M A ==2, 2S A qa F M ==:()sin ;[0,]AC M R πθθθ=∈ :()sin ;[0,2CE M PR πθθθ=∈ :()0;[0,]2AC M πθθ=∈ :()sin ;[0,]2DE M PR πθθθ=∈ :()0;[0,]2BD M πθθ=∈ :()sin ;[0,]AD M R πθθθ=-∈ :()sin ;[0,]2CE M PR πθθθ=∈ :()0;[0,]2AC M πθθ=∈ ():()1sin ;[0,]2CE M R πθθθ=+∈附加题、如图所示单位厚度的1/2圆弧筒可以简化为曲梁，其左端A 固定,B 端自由。

北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案

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北京科技大学2009--2010学年第一学期高 等 数 学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（ ）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装 订 线 内 不 得 答 题 自觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（ ）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（ ）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（ ）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。

(NEW)北京科技大学861应用运筹学历年考研真题及详解

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目录2011年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题2011年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题及详解2010年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题2010年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题及详解2008年北京科技大学应用科学学院810运筹学考研真题及答案2007年北京科技大学应用科学学院410运筹学考研真题2007年北京科技大学应用科学学院410运筹学考研真题及详解2011年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题2011年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题及详解北京科技大学2011年硕士学位研究生入学考试试题试题编号：810 试题名称：运筹学适用专业：系统工程说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。

一、填空题（20分，每空2分）1．若对偶问题为无界解，则原问题______。

【答案】无可行解【解析】任一对偶问题的可行解都是原问题的上界，而原问题的任意可行解都是对偶问题的下界。

若对偶问题为无界解，则原问题的目标函数，则z无解，即没有可行解。

2.0.618法在[2，6]区间上取的初始点是______。

【答案】3.528【解析】0.618法在[2，6]区间上取的初始点为：0.382×（6－2）＋2＝3.528。

3．最速下降法的搜索方向______。

牛顿法的搜索方向为______。

拟牛顿法的搜索方向为______。

【答案】－；；【解析】最速下降法：可以得出，当时，下降最快。

牛顿法：正定二次函数若X*是最优点，则，即搜索方向是。

拟牛顿法：，，4．若是在处的下降方向，则需满足______。

【答案】【解析】将目标函数在点处作一阶泰勒展开，可知满足条件的方向必为点的下降方向。

5．在一维搜索中，当为非正定二次函数时，最优步长满足______，当为正定二次函数时，最优步长＝______。

【答案】【解析】6．两阶段法中，若第一阶段目标函数最优值不为0，则原问题______。