运用匈牙利法算法

匈⽛利算法解决⼆分图最⼤匹配预备知识 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。

匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆分图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。

⼆分图 ⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。

设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A，B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集(i in A，j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。

匹配 在图论中，⼀个图是⼀个匹配（或称独⽴边集）是指这个图之中，任意两条边都没有公共的顶点。

这时每个顶点都⾄多连出⼀条边，⽽每⼀条边都将⼀对顶点相匹配。

例如，图3、图4中红⾊的边就是图2的匹配。

图3中1、4、5、7为匹配点，其他顶点为⾮匹配点，1-5、4-7为匹配边，其他边为⾮匹配边。

最⼤匹配 ⼀个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最⼤匹配。

图 4 是⼀个最⼤匹配，它包含 4 条匹配边。

任意图中，极⼤匹配的边数不少于最⼤匹配的边数的⼀半。

完美匹配 如果⼀个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是⼀个完美匹配。

显然，完美匹配⼀定是最⼤匹配，但并⾮每个图都存在完美匹配。

最⼤匹配数：最⼤匹配的匹配边的数⽬。

最⼩点覆盖数：选取最少的点，使任意⼀条边⾄少有⼀个端点被选择。

最⼤独⽴数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。

最⼩路径覆盖数：对于⼀个DAG（有向⽆环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于⼀条路径，路径长可以为0（即单个点）定理1：Konig定理——最⼤匹配数 = 最⼩点覆盖数定理2：最⼤匹配数 = 最⼤独⽴数定理3：最⼩路径覆盖数 = 顶点数 - 最⼤匹配数匈⽛利算法例⼦ 为了便于理解，选取了dalao博客⾥找妹⼦的例⼦： 通过数代⼈的努⼒，你终于赶上了剩男剩⼥的⼤潮，假设你是⼀位光荣的新世纪媒⼈，在你的⼿上有N个剩男，M个剩⼥，每个⼈都可能对多名异性有好感（惊讶，-_-||暂时不考虑特殊的性取向） 如果⼀对男⼥互有好感，那么你就可以把这⼀对撮合在⼀起，现在让我们⽆视掉所有的单相思（好忧伤的感觉，快哭了），你拥有的⼤概就是下⾯这样⼀张关系图，每⼀条连线都表⽰互有好感。

匈牙利算法计算机题目摘要：1.匈牙利算法的概述2.匈牙利算法的应用领域3.匈牙利算法在计算机题目中的应用实例4.如何使用匈牙利算法解决计算机题目5.结论正文：一、匈牙利算法的概述匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家Mátéi Kálmán 于1937 年提出。

该算法采用贪心策略，通过不断迭代寻找图中未被匹配的顶点，并将其与待匹配的顶点配对，直到所有顶点都被匹配或者无法找到匹配的顶点为止。

匈牙利算法在计算机科学、运筹学、图论等领域具有广泛的应用。

二、匈牙利算法的应用领域1.任务分配：在项目管理中，可以将任务分配给具有不同技能和时间的团队成员，以实现最优任务分配。

2.资源调度：在资源有限的情况下，通过匈牙利算法可以实现最优资源调度，提高资源利用率。

3.数据融合：在数据融合领域，匈牙利算法可以应用于数据融合和数据挖掘，提高数据分析效果。

4.社交网络：在社交网络中，匈牙利算法可以用于寻找最优好友推荐，提高用户满意度。

三、匈牙利算法在计算机题目中的应用实例以N 个学生和N 个课程为例，每个学生可以选择修习若干课程，每个课程有一定的容量限制。

要求通过匈牙利算法找到学生和课程之间的最大匹配数，使得每个学生的课程总容量不超过其限制，同时所有课程都被充分使用。

四、如何使用匈牙利算法解决计算机题目1.构建邻接矩阵：根据题目中给出的学生和课程信息，构建一个N×N 的邻接矩阵，表示学生和课程之间的选择关系。

2.初始化匹配矩阵：初始化一个N×N 的匹配矩阵，用于记录学生和课程之间的匹配情况。

3.迭代寻找匹配：根据邻接矩阵和匹配矩阵，采用贪心策略迭代寻找未被匹配的顶点，并将其与待匹配的顶点配对，更新匹配矩阵。

4.判断匹配情况：当所有顶点都被匹配或者无法找到匹配的顶点时，迭代结束。

若所有顶点都被匹配，输出匹配矩阵；否则，输出无法找到匹配的顶点。

匈牙利算法详细步骤例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲这神奇的匈牙利算法。

你可别小瞧它，这玩意儿在好多地方都大有用处呢！
咱先来看个具体的例子吧。

就说有一堆任务，还有一堆人，要把这
些任务分配给这些人，怎么分才能最合理呢？这时候匈牙利算法就闪
亮登场啦！
第一步，咱得弄个表格出来，把任务和人之间的关系都给标上。

比
如说，这个人干这个任务合适不合适呀，合适就标个高分，不合适就
标个低分。

这就好像给他们牵红线似的，得找到最合适的搭配。

然后呢，开始试着给任务找人。

从第一个任务开始，找个最合适的人。

要是这个人还没被别的任务占着，那太好了，直接就配对成功啦！要是已经被占了呢，那就得看看能不能换一换，让大家都更合适。

就好比是跳舞，你得找到最合适的舞伴，跳起来才带劲嘛！要是随
便找个人就跳，那多别扭呀。

这中间可能会遇到一些麻烦，比如好几个人都对同一个任务感兴趣，那可咋办？这就得好好琢磨琢磨啦，得权衡一下，谁更合适。

有时候你会发现，哎呀，怎么这么难呀，怎么都找不到最合适的搭配。

别急别急，慢慢来，就像解一道难题一样，得一点点分析。

咱再说说这算法的奇妙之处。

它就像是一个聪明的红娘，能把最合适的任务和人牵到一起。

你想啊，要是没有它，那咱不得乱点鸳鸯谱呀，那可不行，得把资源都好好利用起来才行呢。

比如说，有五个任务，五个。

匈牙利算法是一种求解指派问题的算法，其步骤如下：对指派问题的系数矩阵进行变换，使每行每列至少有一个元素为“0”。

具体做法是让系数矩阵的每行元素去减去该行的最小元素，再让系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。

从第一行开始，若该行只有一个零元素，就对这个零元素加括号，对加括号的零元素所在的列画一条线覆盖该列。

若该行没有零元素或者有两个以上零元素（已划去的不算在内），则转下一行，依次进行到最后一行。

从第一列开始，若该列只有一个零元素。

就对这个零元素加括号（同样不、考虑已划去的零元素）。

再对加括号的零元素所在行画一条直线覆盖该列。

若该列没有零元素或有两个以上零元素，则转下一列，依次进行到最后一列为止。

重复上述步骤（1）和（2）可能出现3种情况：（5）按定理进行如下变换：①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的k；②当矩阵中的第i行有直线覆盖时，令；无直线覆盖时。

3.2 求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。

算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。

利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。

若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。

由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。

下面通过一例子来说明该算法。

例7 求解指派问题，其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。

有时问题会稍复杂一些。

例8 求解系数矩阵C 的指派问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下∨∨∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----- 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。

数学建模匈牙利算法
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目录
一、匈牙利算法的概念与基本原理
二、匈牙利算法的应用实例
三、匈牙利算法的优缺点
正文
一、匈牙利算法的概念与基本原理
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家 Mátyásovszky 于 1937 年首次提出。

该算法的基本思想是：通过不断循环寻找图中的偶数长度路径，并将路径中的顶点依次匹配，直到找不到这样的路径为止。

此时，图中的所有顶点都已匹配，即得到了二分图的最大匹配。

二、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法广泛应用于任务分配、资源调度、数据融合等领域。

下面举一个简单的例子来说明匈牙利算法的应用。

假设有 5 个工人和 8 个任务，每个工人完成不同任务的效率不同。

我们需要为每个任务分配一个工人，使得总效率最大。

可以用一个二分图来表示这个问题，其中顶点分为两类：工人和任务。

边表示任务与工人之间的效率关系。

匈牙利算法可以用来求解这个问题，找到最优的任务分配方案。

三、匈牙利算法的优缺点
匈牙利算法的优点是简单、高效，可以解决二分图的最大匹配问题。

然而，它也存在一些缺点：
1.匈牙利算法只能解决无向图的匹配问题，对于有向图，需要将其转
换为无向图才能使用匈牙利算法。

2.当图中存在环时，匈牙利算法无法找到最大匹配。

这时需要使用其他算法，如 Euclidean algorithm（欧几里得算法）来解决。

3.匈牙利算法在实际应用中可能存在数值稳定性问题，即在计算过程中可能出现精度误差。

匈牙利算法求解原理的应用什么是匈牙利算法匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。

所谓二分图，就是一个节点集合可以分为两个不相交的子集，而且每个子集内的节点之间不存在边。

在二分图中，最大匹配问题就是寻找最大的边集合，使得每个节点都和边集合中的某条边相邻接。

匈牙利算法的原理是通过增广路径的方法来求解最大匹配问题。

其中增广路径是指在匹配图中的一条未被匹配的边交替经过未被匹配的节点，最终到达另一个未被匹配的节点的路径。

匈牙利算法的应用匈牙利算法有许多实际应用场景。

以下列举了一些典型的应用案例：1.婚姻匹配问题：假设有n个男人和n个女人，每个人都有一个倾向表，表明他们对各种婚姻选择的偏好程度。

那么如何进行匹配，使得每个人都得到一个满意度最高的选择，同时保证没有不合适的匹配？这就可以使用匈牙利算法进行求解。

2.任务分配问题：假设有m个任务和n个工人，每个任务对于每个工人都有不同的技能要求和报酬。

如何将任务分配给工人，使得任务总报酬最大化，并满足每个任务的要求？这也可以使用匈牙利算法进行求解。

3.运输问题：在某个地区有n个供应点和n个需求点，以及不同供应点到需求点之间的运输成本。

那么如何选择合适的运输方案，使得总运输成本最小？同样可以使用匈牙利算法进行求解。

4.社交网络匹配问题：在一个社交网络中，每个人都有一定的朋友圈和交往偏好。

如何将这些人进行匹配，使得每个人都能够找到最适合的交往对象？匈牙利算法也可以应用于这种情况。

匈牙利算法的实现步骤下面是匈牙利算法的具体实现步骤：1.在匹配图中选择一个未匹配的顶点作为起始点，并为其标记为已访问。

2.对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果该邻接顶点未被匹配，则找到一条增广路径。

如果该邻接顶点已被匹配，但可以通过其他路径找到一条增广路径，则将该邻接顶点的匹配权转移到当前顶点的匹配边上。

3.继续选择下一个未匹配的顶点，重复步骤2，直到无法找到增广路径为止。

4.返回当前匹配图的最大匹配。

用匈牙利算法求二分图的最大匹配二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是匈牙利算法。

这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。

最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。

匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：初始时最大匹配M为空while 找得到增广路径do 把增广路径加入到最大匹配中去可见和最大流算法是一样的。

但是这里的增广路径就有它一定的特殊性，下面我来分析一下。

（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。

每条边也不需要有方向。

）图1是我给出的二分图中的一个匹配：［1，5］和［2，6］。

图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径：3->6->2->5->1->4。

我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质：(1)有奇数条边。

(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。

(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。

（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连。

）(4)整条路径上没有重复的点。

(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。

（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。

）(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。

（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。

而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。

）(7)最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

匈牙利算法流程匈牙利算法是一种经典的图论算法，用于解决二分图的最大匹配问题，其流程简洁而高效。

下面将以人类的视角来叙述匈牙利算法的流程。

我们假设有一个二分图，其中左边有一组顶点，右边有另一组顶点。

我们的目标是找到一个最大的匹配，即找到左边的每个顶点与右边的某个顶点之间的边，使得每个右边的顶点最多与一个左边的顶点相连。

开始时，我们将所有的边标记为未匹配状态。

然后，我们从左边的第一个顶点开始，尝试寻找一个未匹配的右边的顶点。

如果找到了，我们将这条边标记为匹配状态，并继续寻找下一个左边的顶点。

如果没有找到，我们就需要进行增广路径的寻找。

为了寻找增广路径，我们从未匹配的左边顶点开始，沿着它的边逐个访问右边的顶点。

如果当前的右边顶点已经匹配了，我们就尝试寻找与这个右边顶点相匹配的左边顶点，然后再以这个左边顶点为起点，继续递归地寻找下一个右边顶点。

如果找到了增广路径，我们就可以通过交替匹配和取消匹配来增加匹配数目。

为了实现这个过程，我们需要用一个数组来保存每个左边顶点的匹配状态，另一个数组来保存每个右边顶点的匹配状态。

同时，我们还需要一个标记数组来记录每个左边顶点是否已经访问过。

通过深度优先搜索的方式，我们可以找到增广路径并更新匹配状态。

当所有的左边顶点都被访问过时，我们就找到了一个最大的匹配。

此时，我们可以输出匹配数目，或者根据需要输出具体的匹配方案。

总结一下，匈牙利算法通过不断寻找增广路径来增加匹配数目，直到无法找到增广路径为止。

它的核心思想是通过深度优先搜索来寻找增广路径，以达到最大匹配的目标。

这个算法简单而高效，被广泛应用于实际问题的求解中。