电场中的圆周运动

电场中的圆周运动作者：金爱兵来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期带电体在电场中的圆周运动是近几年高考和高校自主招生考试的的热点问题.为应对新的自主招生考试模式，笔者根据几例自主招生考题和它的母题谈带电体在电场中圆周运动这一重要的模型.并将这一模型用于开放式探究性复习课的课堂，这将有助于培养学生的联想能力、知识与方法的迁移能力、空间想象能力、总结归纳能力，更为突出的是培养学生在物理学习中作图这一技术素养.1.带电体在点电荷电场中的匀速圆周运动母题1 已知电子的电荷量为e，质量为m，氢原子的核外电子在原子核的静电力吸引下做半径为r的匀速圆周运动，则电子运动形成的等效电流大小为多少？解析由库仑力提供向心力有：ke2r2=m4π2T2r得T=2πremrk根据电流的定义即可算出等效电流的大小，截取电子运动轨道的任一截面，在电子运动一周的时间T内，通过这个截面的电荷量q=e，则有I=qt=eT=e22πr2mkmr.考题1 （2011年华约自主招生）如图1所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则（）.A.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动B.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动C.若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变D.若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动解析答案：ACD.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变小的曲线运动.若库仑力小于所需的向心力，P2围绕P1做离心运动，以后P2做加速度、速度都变小的曲线运动.若P1、P2带异种电荷，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，库仑力的方向与带电质点P2的速度方向垂直，若正好满足库仑力等于向心力，P2围绕P1做匀速圆周运动，以后P2的速度大小和加速度大小都不变.考题2 一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图2所示，现有一质量为m，带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略，求：1.微粒的带电性质.2.微粒的轨迹所在平面及圆心O的位置解析 1.微粒的静电力和重力的合力提供向心力，异种电荷相互吸引，故微粒带负电;2.考虑重力的带电体做圆周运动的轨迹在水平面内，且圆心O在点电荷的正下方，设其离O点的距离为H;对于微粒受力分析如图3所示.由牛顿第二定律得mgtanα=m4π2T2r ①由几何知识得r=Htanα ②由①②得H=gT24π2带电体的轨迹所在平面为水平面，圆心O在Q下方的位置.本题的实质上是圆锥摆模型.若使小球带上- q 的负电荷，同时在悬点处置一电量为+Q 的正点电荷，合理选取参数，即可实现负电荷在某一平面上做匀速圆周运动.还可以让学生讨论该带电体的轨迹平面是否可以在固定点电荷的正上方;如果将固定点电荷换成负电荷，那么带电体的电性及轨道又如何？2.带电体在辐向电场中的匀速圆周运动母题2 如图4所示，空间A 、B 两点固定着一对等量正点电荷，今有一重力可忽略的带电微粒在它们产生的电场中运动，带电微粒在电场中所做的运动可能是（）.A. 匀变速直线运动B. 类平抛运动C. 机械振动D. 匀速圆周运动解析 CD.从匀速圆周运动的条件出发思考，重力可忽略的带电体要做匀速圆周运动，等量异种电荷的电场对带负电的带电体施加一大小不变且方向指向圆心的电场力，电场力提供圆周运动的向心力.轨迹是在AB连线的中垂面内以O为圆心的圆，但要使带负电的带电体在AB连线的中垂面内具有一定的速度.设两同种点电荷带电量为Q，之间距离为2a，另一在AB连线中垂面内做圆周运动的点电荷电量为-q，距O点的距离为x，速率为v.圆轨道处的电场强度大小为E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32电场力提供向心力Eq=mv2x得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向与电场方向垂直.3.带电体在匀强电场中的约束轨道做非匀速圆周运动母题3 水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度v0至少应为多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）解析静止时对球受力分析如右图，且F=mgtan37°=34mg等效场力F′=（mg）2+F2=54mg，方向与细线拉力方向相反，等效加速度g′=54g，与重力场相类比可知，小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处，且最小的速度vB′=g′R，从B到A运用动能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.考题3 （2013年北约试题）如图所示，在水平O-xy 坐标平面的第Ⅰ象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y 轴方向的匀强电场.带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Eko.P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一.1.试问P所带电荷是正的，还是负的？为什么？2.P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2R≥x≥0范围内导出 P 的动能Ek随x变化的函数.3.P在运动过程中受管道的弹力FN也许是径向朝里的（即指向圆心的），也许是径向朝外的（即背离圆心的）.通过定量讨论，判定在2R≥x≥0 范围内是否存在FN径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域;继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在FN径向朝外x取值区域，若存在，请给出该区域.解析 1.带电质点 P在管道内无摩擦地运动，动能减少，电势能增加，电场力做负功，故该带电质点带负电（-q）.2.设P运动到某一位置坐标为（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根据能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③联立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.3. 根据题意判断该带点质点的运动具有对称性，只需讨论0≤x≤R范围即可.设P运动到某一位置坐标为（x，y），质点和（R，0）点连线与竖直方向夹角为θ，假设弹力FN的方向径向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤当x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的弹力FN为最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R减小，Eqcosθ增大，FN减小，当x=R时，mv2R达最小值，Eqcosθ达最大值为Eq，此位置的弹力FN为最小值，FNmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R区域内有FN>0，故FN的方向径向朝里.根据对称性，0≤x≤2R 范围内FN径向朝里，不存在FN径向朝外的取值范围.这个模型可以转化成轨道在竖直平面内，不受电场力，在重力和弹力的作用做变速圆周运动，那么这个模型就是考生比较熟悉的“双轨约束”模型.如果将本题改编为将圆轨道放在竖直平面内且考虑带电体的重力，也可以运用相同的方法解决.电场中的圆周运动类型较多，无论有无外界约束轨道、无论是否匀速率，解题的关键就是对向心力来源的分析以及对轨迹平面、圆心、半径的确定，根据牛顿定律和能量知识列方程，再利用数学知识进行讨论解答.本文着重例析几种不同电场情境中的圆周运动，在课堂中采用开放探究教学，以提高学生的综合能力.。

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。

(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。

②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。

③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。

[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。

该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。

(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。

电场中的圆周运动作者：金爱兵来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期带电体在电场中的圆周运动是近几年高考和高校自主招生考试的的热点问题.为应对新的自主招生考试模式，笔者根据几例自主招生考题和它的母题谈带电体在电场中圆周运动这一重要的模型.并将这一模型用于开放式探究性复习课的课堂，这将有助于培养学生的联想能力、知识与方法的迁移能力、空间想象能力、总结归纳能力，更为突出的是培养学生在物理学习中作图这一技术素养.1.带电体在点电荷电场中的匀速圆周运动母题1 已知电子的电荷量为e，质量为m，氢原子的核外电子在原子核的静电力吸引下做半径为r的匀速圆周运动，则电子运动形成的等效电流大小为多少？解析由库仑力提供向心力有：ke2r2=m4π2T2r得T=2πremrk根据电流的定义即可算出等效电流的大小，截取电子运动轨道的任一截面，在电子运动一周的时间T内，通过这个截面的电荷量q=e，则有I=qt=eT=e22πr2mkmr.考题1 （2011年华约自主招生）如图1所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则（）.A.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动B.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动C.若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变D.若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动解析答案：ACD.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变小的曲线运动.若库仑力小于所需的向心力，P2围绕P1做离心运动，以后P2做加速度、速度都变小的曲线运动.若P1、P2带异种电荷，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，库仑力的方向与带电质点P2的速度方向垂直，若正好满足库仑力等于向心力，P2围绕P1做匀速圆周运动，以后P2的速度大小和加速度大小都不变.考题2 一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图2所示，现有一质量为m，带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略，求：1.微粒的带电性质.2.微粒的轨迹所在平面及圆心O的位置解析 1.微粒的静电力和重力的合力提供向心力，异种电荷相互吸引，故微粒带负电;2.考虑重力的带电体做圆周运动的轨迹在水平面内，且圆心O在点电荷的正下方，设其离O点的距离为H;对于微粒受力分析如图3所示.由牛顿第二定律得mgtanα=m4π2T2r ①由几何知识得r=Htanα ②由①②得H=gT24π2带电体的轨迹所在平面为水平面，圆心O在Q下方的位置.本题的实质上是圆锥摆模型.若使小球带上- q 的负电荷，同时在悬点处置一电量为+Q 的正点电荷，合理选取参数，即可实现负电荷在某一平面上做匀速圆周运动.还可以让学生讨论该带电体的轨迹平面是否可以在固定点电荷的正上方;如果将固定点电荷换成负电荷，那么带电体的电性及轨道又如何？2.带电体在辐向电场中的匀速圆周运动母题2 如图4所示，空间A 、B 两点固定着一对等量正点电荷，今有一重力可忽略的带电微粒在它们产生的电场中运动，带电微粒在电场中所做的运动可能是（）.A. 匀变速直线运动B. 类平抛运动C. 机械振动D. 匀速圆周运动解析 CD.从匀速圆周运动的条件出发思考，重力可忽略的带电体要做匀速圆周运动，等量异种电荷的电场对带负电的带电体施加一大小不变且方向指向圆心的电场力，电场力提供圆周运动的向心力.轨迹是在AB连线的中垂面内以O为圆心的圆，但要使带负电的带电体在AB连线的中垂面内具有一定的速度.设两同种点电荷带电量为Q，之间距离为2a，另一在AB连线中垂面内做圆周运动的点电荷电量为-q，距O点的距离为x，速率为v.圆轨道处的电场强度大小为E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32电场力提供向心力Eq=mv2x得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向与电场方向垂直.3.带电体在匀强电场中的约束轨道做非匀速圆周运动母题3 水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度v0至少应为多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）解析静止时对球受力分析如右图，且F=mgtan37°=34mg等效场力F′=（mg）2+F2=54mg，方向与细线拉力方向相反，等效加速度g′=54g，与重力场相类比可知，小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处，且最小的速度vB′=g′R，从B到A运用动能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.考题3 （2013年北约试题）如图所示，在水平O-xy 坐标平面的第Ⅰ象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y 轴方向的匀强电场.带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Eko.P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一.1.试问P所带电荷是正的，还是负的？为什么？2.P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2R≥x≥0范围内导出 P 的动能Ek随x变化的函数.3.P在运动过程中受管道的弹力FN也许是径向朝里的（即指向圆心的），也许是径向朝外的（即背离圆心的）.通过定量讨论，判定在2R≥x≥0 范围内是否存在FN径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域;继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在FN径向朝外x取值区域，若存在，请给出该区域.解析 1.带电质点 P在管道内无摩擦地运动，动能减少，电势能增加，电场力做负功，故该带电质点带负电（-q）.2.设P运动到某一位置坐标为（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根据能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③联立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.3. 根据题意判断该带点质点的运动具有对称性，只需讨论0≤x≤R范围即可.设P运动到某一位置坐标为（x，y），质点和（R，0）点连线与竖直方向夹角为θ，假设弹力FN的方向径向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤当x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的弹力FN为最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R减小，Eqcosθ增大，FN减小，当x=R时，mv2R达最小值，Eqcosθ达最大值为Eq，此位置的弹力FN为最小值，FNmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R区域内有FN>0，故FN的方向径向朝里.根据对称性，0≤x≤2R 范围内FN径向朝里，不存在FN径向朝外的取值范围.这个模型可以转化成轨道在竖直平面内，不受电场力，在重力和弹力的作用做变速圆周运动，那么这个模型就是考生比较熟悉的“双轨约束”模型.如果将本题改编为将圆轨道放在竖直平面内且考虑带电体的重力，也可以运用相同的方法解决.电场中的圆周运动类型较多，无论有无外界约束轨道、无论是否匀速率，解题的关键就是对向心力来源的分析以及对轨迹平面、圆心、半径的确定，根据牛顿定律和能量知识列方程，再利用数学知识进行讨论解答.本文着重例析几种不同电场情境中的圆周运动，在课堂中采用开放探究教学，以提高学生的综合能力.。

例举电场中的圆周运动问题剖析带电体在电场中的运动问题,多数是电场与重力场的复合问题,使得问题较为复杂,尤其是带电体的轨迹有圆弧的情况,这里统称为圆周运动,此类问题只要抓住带电体的受力情况,运动状态的分析,巧妙选用物理规律,问题会迎刃而解,请体会带电体在电场中作圆周运动的求解情形:例 1.在方向水平的匀强电场中,一不可伸长的不导电的细线一端连着一个质量为m 的带电小球,另一端固定于0点,把小球拉起直至细线与场强平行,然后无初速释放,小球摆到最低点的另一侧,线与竖直方向的最大夹角为θ,(如图1),求小球经过最低点时细线对小球的拉力.解:设细线长为L,小球由水平释放至最低点左侧的过程中,由动能定理,mgLcos θ-EqL(1+sin θ)=0设小球在最低点时速度为υ,由动能定理得: mgL-EqL=21m 2υ在最低点由牛顿第二定律:F-mg=m L2υ∴ F=3mg-θsin 12+mg例2.质量为2.5g 的带电小球,用长为L 的丝线悬挂在平行板电容器两竖直金属板间,电源电压为100V,两金属板间的距离为20cm,如图2,开关闭合后,板间形成匀强电场,小球向左摆动态300角到A 点处于平衡状态,假设小球移动到图中B 点(与竖直线成900,且线被拉直)释放,那么小球到达最低点c 时,悬线拉力有多大?(g 取10m/s 2)误解:小球在A 点受力平衡,由平衡条件: Eq=mg .tan300 当球由B 点释放运动到c 点过程,由动能定理: EqL+mgL=21m v2在c点有:F-mg=mLV 2∴F=mg 3329+=0.103N 误解原因:此题与例1不同,例1中小球由水平释放后,由于小球受电场力向右,重力向下,细线始终处于张紧状态,不会有能量损失.而此题小球受电场力向左,由B 点释放后,并不30图2A30°是沿圆弧运动到M 点,绳子绷直后再沿圆弧到c 点,在M 点线绷直过程中有能量损失.正确解法:当小球在B 点释放时,电场力与重力的合力是沿BM 方向的,合力恒定,带电小球沿BM 方向做匀变速直线运动,此过程丝线是弯曲的.丝线拉直到M 点时线与水平方向夹角为600,由动能定理;mgLcos300+EqL(1-sin300)=m 212m V ∵E=dU ∴ V m gL 334球从M 至c 的过程中,小球沿圆弧的切线方向做圆周运动, mgL(1-cos300)+EqLsin300=21mv c 2-21mv 12v 1=v m cos300在最低点有: F-mg=mLV c 2又 E=dU解得: F=0.0575N.例 3.如图4,匀强电场方向竖直向30°下,E=4×104V/m,质量为10g,带电量为10-5C 的正电小球用10cm 的绝缘细线悬挂于电场中0点,要使小球能在竖直平面内做圆周运动,求至少在最低点给小球多大的冲量?分析:小球在复合场中做圆周运动过最点的条件与重力场是类似的,求给小球的冲量应用动量定理求解出初动量即可.解: 小球做圆周运动,在最高点时;mg+Eq=m L2υ故 m υ=(mg+Eq)L小球从最低点至最高点由动能定理:-(mg+Eq).2L=21m 2υ-21m υ20=21m 2υ-mp 22P 0=)((5Eq mg mL + =0.05N.S例4.如图5,一条长为L 的细线上端固定在0点,下端系一质量为的m 小球,将它置于很大的匀强电场中,电场强度为E,方向水平向右,小球在B 点时受力平衡,细线与竖直方向的夹角为α,求⑴当细线与竖直方向的夹角多大时,才能使小球由静止释放后细线到竖直位置时小球速度恰α图5α好为零,⑵当细线与竖直方向成α角时,至少要给多大的冲量,才能使小球做完整的圆周运动?解⑴小球在B 点受力情况如图5(a),由于小球是在电场与重力场的复合场中运动,等效重力加速度为g 1=αcos g小球在AC 间运动类比为一个单摆的运动,B 为振动的平衡位置,由对称性知:∠AOC=2α⑵线系小球在复合场中做圆周运动,其“最高〞点为D,“最低〞点为B,如图(b)在最高点时:mg 1=m L20υ再由动能定理:2mg 1L=21m 2B υ-21m 20υ解得: B υ=L g 15=αcos 5gL给小球施加的最小冲量为: min I =m B υ=mαcos 5gL .此题把单摆摸型引入电场对培养学生思维物理学问题能力,效果非常明显.α。

电场情境中的圆周运动作者：鲍龙来源：《物理教学探讨》2008年第10期匀速圆周运动是力学中四种基本运动模型之一，圆周运动也是高考每年必考的重点知识。

对向心力来源的分析以及对轨迹平面、圆心、半径的确定是求解圆周运动问题的关键。

本文着重例析几种不同电场情境中的圆周运动。

通过这些例析，将有助于培养学生的联想思维能力、还原物理模型的能力、知识与方法的迁移能力、空间想象能力、缜密的思维能力。

1 点电荷电场中的圆周运动例1 如图1所示，在直角坐标xOy内，有一质量为m，电量为+q的电荷从原点O沿y轴正方向以初速度v0出发，电荷重力不计。

现要求该电荷能通过点P（a,-b）。

试设计在电荷运动的空间范围内加上“电场”后并运用物理知识求解的一种简单、常规的方案。

（1）说明电荷由O到P的运动性质，并在图中绘出电荷运动的轨迹（2）用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表达式（用题设已知条件和有关常量）。

析因教材只讨论了带电粒子在匀强电场中的偏转，受思维定势的影响，初次接触此题的大多数学生认为加匀强电场是一种简单、常规的方案，其实不然。

事实上，自然界中控制物体运动常规而简单的方案是设法使物体做圆周运动。

例如：可认为人造卫星在地球的控制之下绕地心作圆周运动，也可认为在氢原子核的控制之下，核外电子绕核作圆周运动。

基于以上联想，常规而简单的方案应该是电荷从O点沿圆周运动到P点。

解（1）电荷由O到P的运动是匀速圆周运动。

连接OP，作OP的垂直平分线交x轴于O1点，再以O1为圆心，OO1为半径画圆弧即为粒子从O到P的运动轨迹, 如图2所示。

（2）为使粒子由O匀速率运动到P，可在O1处放置一负电荷-Q，电量Q即为设计方案中所要求的相关物理量。

对粒子用向心力公式得由几何关系得:（a－r）解得：点评突破思维定势的束缚，运用联想思维是求解本题行之有效的策略。

例2 一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图3所示，现有一质量为m、带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略。

带电体在电场中的圆周运动
当一个带电体置于电场中时，它会受到电场力的作用。

如果电场力的方向与带电体的速度方向垂直，并且大小恒定，带电体将会沿着一个圆形路径运动，称为带电体的圆周运动。

带电体在圆周运动中的加速度由经典力学中的向心力给出，即：
F = m * a_c
其中，F是带电体所受的电场力，m是带电体的质量，a_c是带电体的向心加速度。

电场力可以用带电体的电荷q来表示为：
F = q * E
其中，E是电场的强度。

将上述两个公式结合起来，我们可以得到带电体在圆周运动中的向心加速度：
a_c = (q * E) / m
带电体在圆周运动中的速度和半径之间还有一个关系，即：
v = ω * r
其中，v是带电体的速度，ω是带电体的角速度，r是带电体的半径。

将向心加速度和速度之间的关系带入上述公式，可以得到带电体在圆周运动中的半径与其他物理量之间的关系：
r = (m * v) / (q * B)
其中，B是电场作用下带电体所受的磁场的大小。

总之，当带电体受到电场力的作用时，如果电场力的方向与带电体的速度方向垂直，并且大小恒定，带电体将会沿着一个圆形路径运动，其运动的半径与带电体的质量、电荷、速度以及电场和磁场的强度有关。

电场中的圆周运动
作者：阮长久
来源：《中学物理·高中》2015年第08期
在物理高考中，物体在匀强电场内做圆周运动是一个考点，对学生来说也是一个难点，而解决这一类问题的关键是准确地找到等效最高点的位置，物体在匀强电场中能不能做完整的圆周运动，就看它能不能过等效最高点，也就是物体在等效最高点的速度满足某一值时，才能通过最高点.我们知道小球在细线作用下在竖直平面内做圆周运动，在最高点时速度最小，最低点时速度最大，利用速度我们可以很方便的判断物体运动的最高点和最低点.在最高点处F合=mg+T=mv2/R，当T=0时速度有最小值vmin=gR，
在最高点的速度必须有v≥gR，才能做完整的圆周运动.但在电场以及电场和重力场的复合场中，最高点就不一定是速度的最小位置了，在这一类问题中找到速度最小的位置，也就是类似于重力场中运动的最高点，就是我们解决问题的关键，在物理学中，我们把这个位置叫做等效最高点，在利用等效最高点解决这类问题时类似于重力场中竖直方向的圆周运动的最高点，从等效最高点移到圆周上任何一点，合力都是做正功，动能增加，所以这点就是速度的最小点.本文就物体在匀强电场和重力场的复合场中的圆周运动问题展开论述.
情形一物体在水平面内做圆周运动，电场方向是水平的.。

第一章 带电粒子在复合场中的圆周运动【教学目标】1．圆周运动受力分析，向心力的提供 2、复合场中用动能定理应用（电场水平、竖直）3.等效最低点的寻找，等效重力G ’ ，等效加速度g ’（重点、难点）一、【基础感知】知识点一：重力场中，和斜面上的的圆周运动1、标出小球静止位置 标出小球静止时位置2、运动时， 力在做功 运动时， 力在做功3、标出v 最大和v 最小点位置标出v 最大和v 最小点位置4、用动能定理表达速度 用动能定理表达速度关系 关系5、速度最大位置特点向心力 ，拉力 ，图2等效重力加速度 g ’=知识点二：复合场中带电体的（竖直）圆周运动复合场=重力场+电场=恒力，为等效重力在等效重力作用下，垂直于绳给带正电小球一个初速度v ，1、当mg=Eq 做 运动2、当mg>Eq 做 运动 F 合= g ’= 等效最低点在3、当mg<Eq 做 运动 F 合= g ’= 等效最低点在4、要做完整的圆周运动看圆周的最小速度v=5、特点：合方向上位移最大，动能变化最大即找到等效最低点，和等效最高点。

运动关于等效最低点对称（月）例1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝 缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是（ ）A ．小球所受电场力的大小为mg tan θB ．小球到B 点的速度最大C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大(晶）例2、如图所示，在竖直平面内有一质量m 电荷量q 的带正电的小球，用一根长L 且不可伸长的绝缘轻细线系在一方向水平向右、分布的区域足够大的匀强电场中的O 点．已知A 、O 、C 三点等高，若将带电小球从A 点无初速度释放，场强为E ，电场力等于重力。