第18卷 第3期地 震 学 报V o l.18,N o.3 1996年8月 (287～291)A CTA SE IS M OLO G I CA S I N I CA A ug.,1996 地震动反应谱与相位差谱的关系Ξ赵凤新 胡聿贤(中国北京100081国家地震局地球物理研究所)摘要 研究了地震动相位差谱与反应谱的关系,从中发现相位差谱通过影响单自由度体系反应时程的形状来影响地震动反应谱.在相位差谱均值一定的前提下,减小其方差将使反应谱增大,反之将使反应谱减小.在相位差谱方差固定时,增大其均值的斜率将使反应谱值减小,反之将加大反应谱.相位差谱作用于反应谱时阻尼在其中起着重要作用,随着阻尼的增大,相位差谱对反应谱影响越来越明显.阻尼的增大使得相位差谱对放大倍数谱的影响逐渐减小.主题词 地震动 地震反应谱 相位差谱引言通过一系列理想单质点体系动力反应来描述地震动频谱特性,即地震动反应谱无论在重大工程还是普通工业和民用建筑的抗震设计中都有广泛的应用(胡聿贤,1988).在工程地震中另外两种常用的频谱为傅里叶谱和功率谱.傅里叶谱把复杂的地震动时程a(t)展开为N个不同频率三角级数的组合a(t)=6N j=1A(Ξj)sin[Ξj t+Υ(Ξj)](1)式中,A(Ξj)和Υ(Ξj)分别为频率分量Ξj的幅值和相位,称为傅里叶幅值谱和傅里叶相位谱,两者合称为傅里叶谱.频域中的傅里叶谱和时域中的时程是完全等价的.功率谱密度函数(简称为功率谱)是随机过程在频域中描述过程特性的物理量,它可以定义为地震动时程a(t)傅里叶幅值谱的平方平均值.功率谱的特点在于它具有明确的统计意义.由于这三种频谱在工程地震中的广泛应用,它们之间的相互关系自然得到研究者的重视.由功率谱的定义可知,功率谱描述了地震动时程所携带的能量在频域中分布的统计特征,它只与傅里叶幅值谱有关而与傅里叶相位谱无关,即功率谱失去了相位信息.由于反应谱无法返回到地震动时程,特别是根据随机振动理论可以建立反应谱和功率谱之间的近似转换关系(胡聿贤,1988;Kau l,1978;江近仁,洪峰,1984),因此,也可以说反应谱失去了相位信息.根据结构动力学原理可知,结构动力反应同时受输入时程幅值谱和相位谱的控制,由此可以推测时程的相位谱应该对反应谱有影响.然而,相位谱究竟以怎样的方式影响反应谱,以前人们却一无所知.对地震动时程相位信息的另一种表示方式是相位差谱.相位差谱被定义为相位谱中相Ξ地震科学联合基金资助项目.国家地震局地球物理研究所论著95A0031. 1994210207收到初稿,1995203216收到修改稿,1995203217决定采用.邻两分量之差,即∃Υ(Ξk)=Υ(Ξk+1)-Υ(Ξk) k=0,1,2,…,N-1(2)它是由Υ(Ξk)顺时针旋转到Υ(Ξk+1)的角度来度量的,因此在[-2Π,0]范围分布.近些年来有关相位差谱的研究取得了进展,傅里叶幅值谱和相位差谱对地震动时程强度非平稳及频率非平稳的影响机制已被揭示(O h sak i,1979;金星,廖振鹏,1990;赵凤新,胡聿贤, 1994),为研究相位谱和相位差谱对反应谱的影响准备了条件.由于反应谱是由单自由度体系动力反应的最大值表示,它无疑会受到地震动时程强度非平稳性的明显影响.而在幅值谱给定的条件下,时程的强度函数形状由相位差谱控制.因此可以预计,反应谱与相位差谱之间有着密切联系.地震动加速度时间过程可被视为非平稳的随机过程.赵凤新和胡聿贤(1994)在随机过程理论的框架下研究了幅值谱和相位差谱对时程强度函数E[a2(t)]作用的机制.结果表明,窄带Ξj相位差的性质决定了“能量”在时间域中的集中部位和集中程度,而幅值谱反映了“能量”在时程中所占的相对重要程度.这就是说,不同频率处的相位差谱对时程强度函数所施加的影响并不是同等重要的.E[a2(t)]同时受到相位差谱和幅值谱性质的双重影响,幅值谱对相位差谱起着加权作用,幅值谱值较大的频段对应的相位差谱对时程强度函数形状起主要作用.1 相位差谱对反应谱的影响我们以绝对加速度反应谱为例,来讨论相位差谱对反应谱的作用.根据传递函数的定义,我们容易求出单自由度体系的绝对加速度传递函数为H(Ξ)=Ξ20+2iΦΞ0ΞΞ20-Ξ2+2iΦΞ0Ξ(3)式中,Ξ0为体系的零阻尼自振频率.它的模和相角分别为H(Ξ) =4Φ2Ξ20Ξ2+Ξ40Ξ4+4Φ2Ξ20Ξ2-Ξ40(4)Η(Ξ)=tg-1-2ΦΞ3Ξ0[Ξ20-Ξ2+4Φ2Ξ2](5) 设X(Ξ),Y(Ξ)分别为输入加速度时程和单自由度体系绝对加速度反应的傅里叶变换,则X(Ξ)= X(Ξ) exp[iΥ(Ξ)]Y(Ξ)=H(Ξ) X(Ξ)= H(Ξ) X(Ξ) exp{i[Η(Ξ)+Υ(Ξ)]}(6)由式(6)可知,绝对加速度反应的幅值谱和相位谱分别为Y(Ξ) = H(Ξ) X(Ξ)Ω(Ξ)=Η(Ξ)+Υ(Ξ)(7)这样,绝对加速度反应的时程为y(t)=6N j=1 Y(Ξj) exp[iΞj t+Ω(Ξ)]=6N j=1 H(Ξj) X(Ξj) exp[iΞj t+Η(Ξj)+Υ(Ξj)](8)882 地 震 学 报 18卷Ξ=Ξ0处的反应谱值即为S a (Φ,Ξ0)= y (t ) m ax (9)根据相位差谱的定义,单自由度体系绝对加速度反应时程的相位差谱为∃Ω(Ξ)=∃Η(Ξ)+∃Υ(Ξ)(10)即反应时程的相位差谱等于体系的相位差特性∃Η(Ξ)与输入时程相位差谱∃Υ(Ξ)之和.图1 加速度时程曲线方程(8)和(10)清楚地说明了地震动时程相位差谱对反应谱作用的原理.因为反应谱值是反应时程的最大值,在幅值谱一定的条件下,这一数值与相位差谱关系极为密切,不同性质的相位差谱能使反应时程的最大值相差很大.我们以自振频率10H z 、阻尼比0.05的单自由度体系为例,说明输入时程相位差谱对反应时程最大值的影响.图1(1),(2),(3)所示时程的幅值谱相同.由于相位差谱方差的不同,时程的包络线形状差异很大,峰值分别为299c m s 2,197c m s 2和86c m s 2,相差十分悬殊.以这3个时程为输入,前述单自由度体系的绝对加速度反应时程的峰值分别为465c m s 2、399c m s 2和168c m s 2,这就是说在输入时程的幅值谱完全一致的前提下,不同特征的相位差谱使得Φ=0.05时绝对加速度反应谱值在10H z 处的差异非常明显.图2 相位差谱图1时程的相位差谱的统计特征均独立于频率,使相位差谱的特征发生变化.例如,将图1(1)所示时程的相位差倾斜如图2所示.可以预计,这一相位差谱对应时程的包络线形状同原时程比较会变得相对平缓,因而峰值将降低.新时程示于图3中.以此时程作为输入,前述单自由度体系的绝对加速度反应如图4所示,其峰值为217c m s 2,反应时程的峰值有明显降低.这就是说,在幅值谱和相位差谱方差不变的条件下,改变相位差谱均值的倾斜程度,反应谱数值也将随之改变.2 阻尼在相位差谱影响反差谱中的作用在相位差谱影响反应谱过程中,阻尼起着重要作用.图1(1),(2),(3)所示3条时程(幅值谱相同)在Φ=0和0.2时的绝对加速度反应谱和放大倍数谱分别示于图5和图6中(反应谱曲线(1),(2),(3)分别与图1中时程(1),(2),9823期 赵凤新等:地震动反应谱与相位差谱的关系 (3)对应).从这些图中可以看出,阻尼比不同时相位差谱对反应谱的影响亦不相同.对于绝对加速度反应谱,当Φ=0时,3条时程的反应谱曲线在大部分周期区间里交织在一起,在大于0.08s 的周期区间很难将它们分离.对于周期小于0.06s 的各点,反应谱的差别才显示出来.随着阻尼比的增加,反应谱曲线的差别越来越明显.Φ=0.2时T =0.1s时反应谱值分别为362.99c m s 2、225.91c m s 2和108.56c m s 2.由此可见,对于阻尼比较大的反应谱来说,相位差谱的影响是相当显著的.图5(a ) 绝对加速度反应谱(Φ=0);(b )放大倍数谱(Φ=0)相位差谱对应谱的作用受到阻尼影响是十分自然的.我们知道,一个单自由度体系可以看作为一个滤波器.当阻尼趋近于零时,这个滤波器的通频带极窄, H (Ξ) 在自振周期Ξ0处十分尖锐,然后向两边迅速减小.因此,反应时程的频带自然也非常狭窄.反应时程只与Ξ0处的幅值谱和相位差谱密切相关,而与相邻频率的频谱关系不大.自然,此时输入时程相位差谱的变化,不会对输出结果造成明显影响.这就是相位差谱对零阻尼或小阻尼反应谱影响甚微的原因.当体系的阻尼增大时,情况就不同了.此时 H (Ξ) 的形状变得相对平缓,因此,反应时程的频带较宽,其它频率分量的影响也就参加进来了.而相位差谱又恰恰是一频率分量与其周围分量相互关系的描述,因此相位差谱对大阻尼反应谱具有显著影响.由于放大倍数谱等于绝对加速度反应谱与输入时程峰值的比,因此,相位差谱对放大倍数谱的影响正好与其对绝对加速度谱的影响相反,即在Φ=0时这种影响最显著,而随着92 地 震 学 报 18卷图6(a ) 绝对加速度反应谱(Φ=0.2);(b )放大倍数谱(Φ=0.2)阻尼的增大,相位差谱的影响逐渐减小.3 结语地震动的几种常用频谱之间的相互关系,是地震工程研究的重要课题,在结构地震反应分析中有着广泛应用.由于以往对幅值谱和相位差谱对地震动非平稳性的影响机制了解甚少,无法对相位差谱与反应谱的关系作深入探讨.以傅利叶幅值谱和相位差谱对地震动时程非平稳性影响的研究为基础,本文讨论了地震动相位差谱与反应谱的关系,我们发现相位差谱是通过影响单自由度体系反应时程的形状,来影响地震动反应谱.在相位差谱均值一定的前提下,减小其方差将使反应谱增大,反之将使反应谱减小.在相位差谱的方差固定时,增大其均值的斜率,将使反应谱值减小,反之将加大反应谱.此外,本文还探讨了相位差谱作用于反应谱时阻尼在其中所起的重要作用.对于绝对加速度反应谱,随着阻尼的增大,相位差谱对其影响越来越明显;阻尼的增大使得相位差谱对放大倍数谱的影响逐渐减小.本文揭示了阻尼在相位差谱与反应谱关系中所起的作用.从另一角度看,这一现象可以理解为相位差谱对不同阻尼反应谱的影响程度不同,此性质在同时满足多阻尼反应谱的地震动设计时有重要作用,对此我们将在另文中详述.参 考 文 献胡聿贤,1988,地震工程学.北京:地震出版社.692pp江近仁,洪峰,1984.功率谱与反应谱的转换和人造地震波.地震工程与工程振动,4(3):1～11金星,廖振鹏,1990.地震动强度包线函数与相位差谱频数分布函数的关系.地震工程与工程振动,10(4):20～26赵凤新,胡聿贤,1994.地震动非平稳性与幅值谱和相位差谱的关系.地震工程与工程振动,14(2):1～6KaulM K ,1978.Spectrum 2consistent ti m e 2h isto ry generati on .A S CE ,104(E M 4):525～534O h sak i Y ,1979.O n the significance of phase content in earthquake ground mo ti ons.E ESD ,7(5):427～4391923期 赵凤新等:地震动反应谱与相位差谱的关系 作者简介图版李 旭 四川省地震局助理研究员.1990年北京大学地球物理系地球物理专业毕业;1993年获国家地震局地球物理研究所固体物理专业硕士学位.主要从事地震波分析处理及震源性质方面的研究工作.赵凤新 国家地震局地球物理研究所副研究员.1984年大连工学院工程力学系毕业;1987年获国家地震局工程力学研究所硕士学位,1992年获国家地震局地球物理研究所博士学位.现从事地震安全性评价、地震动工程特性等方面的研究.中国地震学会地震工程专业委员会委员.李应平 美国麻省理工学院研究员.1982年中国科学技术大学地球物理专业毕业,获理学学士学位;1984年获中国科学院研究生院和国家地震局地球物理研究所地震学硕士学位;1992年获美国石溪纽约州立大学地球物理学博士学位.现从事全球构造和板内地震的震源特征和破裂过程,宽频带地震波形分析和区域地震定位问题,水压破裂过程和力学性质分析以及在环保和能源开发中的应用,强地面运动与震害等研究工作.美国地球物理学会和美国地震学会会员.苏有锦 云南省地震局助理研究员.1986年云南大学地球物理系毕业;1991年中国科学技术大学固体地球物理专业研究生毕业,获硕士学位。
