人教版三年级上册数学奥数数阵图进阶课件

把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46．把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20．数阵图进阶第九讲第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．第4级下·提高班·学生版将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40．把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．第4级下·提高班·学生版1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的数．把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．第4级下·提高班·学生版2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于27．3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于24．4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21．5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22．第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版6. 把2，5，6，8，10，12，14，22这8个数分别填入下图中，使得每个大圆上的5个数的和都等于49．思维跳板——剪指甲小华的爸爸1分钟可以剪好5个自己的指甲．那么，他在5分钟内可以剪好几个自己的指甲呢？。

三年级奥数教程 数阵图
例1、在圆圈内填入2、3、4、5、6数，使每条直线上的三个数和相等（有三种填法）。

例2
、把1、2、3、4、5、6、7这七个数字填入下图的七个圆圈内，使每个顶点上的数的和都
等与12。

例3、把
1~6六个数字分别填入图中的六个圆内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。

例4、将
1~6这六个数填入下图，使三角形每条边上的和都等与9。

例5、将2~9这八个数填入下图，使每条边上的和都等与15。

练习题
1、将1-9填入下图中，使横行□中所有数的和等于竖行□中所有数的和：
2、将1-8这8个数字分别填入下图中的小圆圈内，使每个五边形上的五个数字的和都等于21。

3、将1、3、5、7、9、11填入下图，，使三角形每条边上的和都等与17。

4、将1~8这八个数填入下图，使每条边上的和都等与13。

5、把1-7这7个数字分别填到下图中的圆圈里，使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。

课题数阵图教授教养目的1：懂得两种类型数阵图概念;2：能按照题中具体请求填数阵图重点填图三步调：1.算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2.经由过程重叠数的值（或和）找出重叠数3.把数阵图填写完全难点经由过程找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更,就连大数学家欧拉对它都有着浓重的兴致.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：上面两个图就是数阵图.精确地说,数阵图是将一些数按照必定请求分列而成的某种图形,有时简称数阵.一.辐射型数阵图先从几个简略的例子开端.把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.1.2 把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.练一练：将1～9这九个数分离填入右上图中的○里(个中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等.还有其他填法吗？例2将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.假如把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么模仿例1,重叠数可能等于几？如何填？练一练：将 10～20填入左下图的○内,使得每条边上的三个数字之和都相等.二、关闭性数阵例3将1～8这八个数分离填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21.练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20.例4 将1～6这六个天然数分离填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.将2～9这八个数分离填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18.附加：把1～7分离填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13.你学会了吗1.将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大.3.把5.6.7.8.9.10.11.12.12.14填入下图,使每个大圆圈中六个数的和是554.将1～8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15.功课：1.将1～9这九个数分离填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等.(有若干种填法？)2.把1～6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等.3.将4.5.6.7.8.9六个数填鄙人图,使每条边上得三个数之和都相等,并且和为最大,和为最小呢？4.把1——7这7个数,分离填入途中,使直线和大圆上的数之和相等生涯趣题：小猫要把15条鱼分成数目不相等的4堆,问最多的一堆中最多可放几条鱼？。

三年级奥数教程第13讲数阵图例1、把1～6这六个数字分别填入图13一l的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13．分析从1到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(＝13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．解在1到6六个数中，两个数的和为5，只可能是1+4、2+3．当中间两个圈内填1与4时，剩下的四个数，3与5、2与6配对即可以满足条件．当中间两个圈内填2与3时，剩下的四个数无法组成和相等的两对，因而无法满足条件．所以，得到如图13—2的填法．随堂练习1将3、4、6这三个数填入图13—3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．例2、将2到7这六个数，填入图13—4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．分析与解将三条线上的三个数都相加，中间的1被加了3次，所以三条线上三个数的和为1+2+…+6+7+1+1＝30．从而每条线上的和是10(＝30÷3)，即每条线上剩余两个圆圈内数的和是9(＝10—1)．由 2+7＝4+5＝3+6＝9．可以得到如图13—5的解．随堂练习2 将1到7这七个数填入图13—6，使得每条线上的三个数的和相等．例3、将1到9这九个数填入图13—7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．分析与解先来确定中心的数．设这个数为a，则4条线上12个数(中心的数出现4次，其余的数各出现一次)的和1+2+…+9+a+a+a是4的倍数，即45+3×a是4的倍数．所以a只可能是1、5、9．(1)当a＝1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．(2)当a＝5时，l与9、2与8、3与7、4与6搭配．(3)当a＝9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配．这样得到如图13—8所示的三个解．随堂练习3 将1～8填入图13—9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．例4、将1到5这五个数填入图13-10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．分析与解设处于中心圈内的数是a，因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配，1与4搭配，写在同一条线上．得到的解如图13—11所示．随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等．例5、将1～6这六个数填入图13～13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数．如果l、6都在边上，那么a、b、c中有两个数的差是5(＝6—1)．这不可能．所以可设以a＝1或6．如果a＝1，那么由2+6＝3+5．3+6＝4+5．可得图13—14的(1)，(2)．如果a＝6，同样可得图13—14的 (3)，(4)．随堂练习5 将l到16填入图13—15，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．例6、将1～16填入图13—16的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．图13—16分析与解本题也就是造一个四阶幻方．四阶幻方的造法很多，解也不惟一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1～16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图13—17(1)中得1234114154115144 567896712126799101112510118810115 13141516132316133216⑴⑵⑶图13—17四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+…+16)÷4＝(1+16)×16÷2÷4＝34．现在图13—17(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求．所以对角线上的数不要再动．先来调整行．将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图13—17(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图13—17(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图13—17(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案．有何联系?读一读……………………………………………………可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”．数独怎么填呢?比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字．每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，应填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格．最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法．比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能(必然)在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行．第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在第三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列．左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法都是必然的．左上3×3的正方形中，按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的。

把1至6分别填入右图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等。

把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等。

如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法。

请写出所有可能的填法。

将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入右图的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式。

如图，大三角形被分成了9个小三角形。

试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等。

问这5个数的和最大可能是多少？
数阵图
(★★)
(★★★)
(★★★)
(★★★)
(★★★★)
请在下图中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是2011。

数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

试一试：练习与思考第1 题。

例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。

学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容第十讲：数阵图．把1～6这六个数字分别填入图10 - l的六个圈内．使得每个正方形顶点上的数的和都为13．从l到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(=13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．每个正方形，去掉这中间的两个数，剩下的两个数，和都是8（=13 -5）．解在1到6六个数中，两个数的和为8，只可能足2+6、3+5．所以中间两个圈内填1与4．得到如幽10 - 2的填法．将3、4、6这二个数填入图10-3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．．将2到7这六个数，填入图10- 4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．由2+7= 4+5=3+6=9．得到如图10-5的解将l到7这七个数填入图10-6，使得每条线上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．l+2+…+9=45去掉中心的数后，每条线上两个数的和相等．4条线上8个数的和是每条线上的和乘以4．所以中心的数只能是1、5、9，去掉中心后的8个数的和分别是44、40、36，每条线上两个数的和分别是11、10、9．即有三种情况：（1）中心填1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．（2）中心填5时，1与9、2与8、3与7、4与6搭配．（3）中心填9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配这样得到如图10-8所示的三个解将1~8填入图10-9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．．将1到5这五个数填入图10 - 10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．设中心的数是a．因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配．1与4搭配，写在同一条线上，得到的解如图10-11所示．在图10 – 12中填上7、8、10、1 2，使得每个圆内的四个数的和相等．．将l~6这六个数填入图10-13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．如果1与6都不在顶点处，那么在图10 -14中，a+l+c=b+6+c．所以a+1=6+b但6比a大，b比1大，所以a+l与6+b不可能相等．1与6至少有一个在顶点处．设1在顶点．2、3、4、5、6中取4个数，分成和相等的2组，只有3种可能：2+6=3+5．3+6=4+5．2+5=3+4前两种可得图10-15的(1)，(2)．第3种不可能，因为另一行3个数的和至少是2+3+6．超过1+2+5．同样，6在顶点时，可以得到图10 - 15的(3)，(4)因此，本题的答案是图10-15的(1)～(4)．用7减去1在顶点的图10 - 15(1)、(2)的每一个数，便得到（3）、（4）．反过来也是这样．将l到16填入图10 -16，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．将1~16填入图10 - 17的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．本题也就是造一个四阶幻方四阶幻方的造法很多，解也不唯一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1~16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图10 - 18(1)中得四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是(1+2+…+16)÷4= (1+16)×16÷2÷4=34现在图10 - 18(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求所以对角线上的数不要再动．先来调整行，将第一行的2、3分别与第四行的14，1 5对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图10 - 18(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图10 - 18(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图10 -18(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．比较例6所得的幻方与巩固练习5的答案．有何联系？可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”数独怎么填呢？比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字，每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，心填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格，最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法，比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能（必然）在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行，第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在笫三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列，左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法郡是必然的．左上3×3的正方形中．按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的，最后结果如图．当然，上面填数的顺序可以变更但应尽量先填只有一种可能的方格，而不要先填邮些难以确定的方格．1．如果图中每行、每列、每条对角线的和都相等，那么填入的数a、b、c、d有什么关系？2．将1到8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等．3．将1到9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．4．将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等．5．将5到12填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．6．将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等．7．将1到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等．8．将l到10填入下图，使每条线段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等．（三角形顶点上的数的和不必与线段上的数的和相等）9．将1到8填入圈内，使得每个圆上的五个数的和相等．10．将l到8填入圈内，使每一圆周上的四个数、每条线上的四个数的和相等．11．在下面由圆分割出的9个区域中，填入1到9这九个数，使得每个圆内的数的和都等于11．12．将1到12填入下图，使每条边上的五个数的和相等．你做对了吗？答案：巩固练习6 图中的4条对角线是四阶幻方的4行，另有4组共线的点，如l、12、8、13等是幻方的4列，外面八边形的4个相邻顶点上的数16、1、6、11是幻方的一条对角线，另4个相邻顶点上的数10，7，4，13是幻方的另一条对角线。