小学奥数第23讲 数阵图含解题思路

数阵图
小朋友们，你喜欢填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一
件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能
找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！
例1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。

(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数
相加都得11. 之和都得15.
例2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.
在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。

例3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之
和都等于14。

拓展练习
（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等
于12。

（2）把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.
例4.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。

把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

23、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。

显然，中间一数填“5”。

再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。

所以，能被12整除。

十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。

每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。

三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。

经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。

例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。

那么，这个和数的最小值是______。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。

它们的和是65。

在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。

设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。

所以，（a＋b）之和至少是7。

故，和数的最小值是24。

【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。

四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

第十七周数阵图把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。

数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

【解题技巧】数阵的分类：封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。

为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。

（1—6）辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。

具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。

复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。

数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

【铜牌例题】将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。

【答案】【解析】先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。

3+8+7=18；第二行中间的数是：18-8-4=6；第三行中间的数是：18-7-9=2；第一行第一个数是：18-4-9=5；第一行中间的数是：18-3-5=10；【举一反三1】（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图）【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A 与B 的和是________。

BA【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22 的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？111098765432【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例 11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。

数阵图小朋友们，你喜欢填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！例1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。

(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.例2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。

例3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。

拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。

（2）把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。

把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。

例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？二、封闭型数阵图多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

奥数题型与解题思路21~40讲【数字求和】例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，………，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______°（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84°则100个连续自然数是：35，36，37，………，133，134°上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得：35，37，39，……131，133°则这50个数的和是：例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____°（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）°容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45°而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+……+9）×10=450°故所有数码的和是45×10+450+l=901°续若干个数字之和是1992，那么a=____°（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6°例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106°那么，原来四个数的平均数是（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192°【最大数与最小数】例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）°讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小°且三个真例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和°已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍°问：最小的和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：使A是整数°A最大是多少？（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大°分母分别取2、3、5时，A都不能为整数°当分母取7时，例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25°除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和°问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由°（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）析：观察自然数1、2、3、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示°因此，这组数之和的最大值是1+2+3+……+25=325°下面考虑数组中各数之和的最小值°1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种°我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）°当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、25时，还需取2、3、5°经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61°22、数字串问题【找规律填数】例1 找规律填数（杭州市上城区小学数学竞赛试题）（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系°第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别别是4和2°第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系°于是，运用分数得到了例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的°按照这个规律在空格中填上合适的数°（1994年天津市小学数学竞赛试题）讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系°不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的°所以空格中应填33°【数列的有关问题】数是几分之几？（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数个数，分别是1、3、5、7、9……°所以，分母分别为1、2、3……9的分数共例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第1993个数是______（首届《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列°而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1°例3 已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的°则小数点后面第88位上的数字是______°（1988年上海市小学数学竞赛试题）讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字°所以，第88位上是4°例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；几行，自左向右的第几列°（全国第三届“华杯赛”决赛试题）讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1°例5 如图5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_______°（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可试探着计算每行中各数之和°第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4°故第100行各数之和为100×2＋4=204.例6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：l、2、3……°问：数到1991时，会落在哪个手指上？（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束°∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束°例7 如图5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形°在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……°将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、……°每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……°从而可推出，拐第二十个弯处的数是111°例8 自然数按图5.7顺次排列°数字3排在第二行第一列°问：1993排在第几行第几列？（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向°每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜行中的数由上向下排列°斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954°由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1°所以1993的列数、行数分别是：1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）23、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等°（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数°（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15°显然，中间一数填“5”°再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下°例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等°（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）°所以，能被12整除°十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7°每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示°三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13°经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示°例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等°那么，这个和数的最小值是______°（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11°它们的和是65°在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次°设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数°所以，（a＋b）之和至少是7°故，和数的最小值是24°【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数°已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21°图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______°（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看竖格°因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字°从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8°同理可推导出横格各数，其中“×”=5°例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15°（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替°（如图5.25）显然a=5，g=9°则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15°经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4°例3 如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等°那么，这六个质数的积是______°（全国第一届“华杯赛”决赛试题）讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等°所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等°同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等°20÷2=10，10＝2+3+5°所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900°例4 在图5.27的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数°现已填好两个数，那么X=_______°（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替°则d=15°由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2°所以，b=13+2=15°进而容易算出，x=19°例5 图5.29中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=024、数的组成【数字组数】例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数°（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数°于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和689°所以，最多能组成六个质数°例2 用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大°那么，这五个两位数的和是______°（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大°所以它们的十位上分别是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4°但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351°351即本题答案°例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”°例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉°现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4°这6个三位数是_______°（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a°当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1°即：114，123，132°当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1°即：213，222，231°经检验，这六个数符合要求°例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间有四个数字°那么这样的八位数中的一个是______°（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314°然后可添上另一个2和3°经调试，得23421314，此数即为所答°【条件数字问题】例1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，925°其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：百位上五个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5°故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6°经观察比较，可知724符合要求°例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______个（首届《现代小学数学）》邀请赛试题）讲析：可先求出1500个数字可编多少页°从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到第99页，共用去2×90=180（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（页）所以，这本书共有536页°l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”°所以，共用去211个数字3°例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个°（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得（100，101、......109），（110、111、......119），......（990、991、 (999)共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共有2×90=180（个）°例4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和°这六个和中最小的四个数是83、87、92、94，原因数中最小的是______°（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c 比b大4°而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94°当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38°当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39°所以，原四数中最小的数是38或39°abcd=______（广州市小学数学竞赛试题）讲析：原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四位数（如图5.29）°从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数°则例6 有两个两位数，它们的个位数字相同，十位数字之和是11°这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字？（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而个上则可以是0至9的任意一个数字°如果分别去求这两个数的积，那是很麻烦的°设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b=11，两数分别为（10a+c)，（10b+c）°字°能是6、8°例7 期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）°第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为921129°这个数恰好左右对称°因此这样的日期是“吉祥日”°问：从87年9月1日到93年6月30日，共有_______个吉祥日°（第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有11月份°而且“年份”的个位数字只能是0、1、2°所以是共有3个吉祥日：901109、911119、921129°25、数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除°例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=243｜24，则3｜1248621°又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=279｜27，则9｜372681°【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除°例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824°43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜43586775°【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除°例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除°3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824°214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750°【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除°例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7｜448，则7｜75523°又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13｜221，则13｜1095874°再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11｜99，则11｜868967°此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除°例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11｜0，则11｜4239235°26、数的公理、定理或性质【小数性质】小数的性质有以下两条：（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变°（2）把小数点向右移动n位，小数就扩大10n倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小10n倍°【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小不变°即【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者叫做“9余数”°求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”°（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条°）去九数有两条重要的性质：（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数°（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数°这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据°【自然数平方的性质】（1）奇数平方的性质°任何一个奇数的平方被8除余1°为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数°而（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，能被8整除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一个奇数的平方被8除余1°例如，272=729729÷8=91 (1)（2）偶数平方的性质°任何一个偶数的平方，都是4的倍数°这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）2＝4k2显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数°例如，2162=4665646656÷4=11664即 4|46656【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数°（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数°（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数°（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数°由第（4）条性质，还可以推广到:若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数°【偶数运算性质】偶数运算性质有：（1）若干个偶数的和或者差是偶数°（2）若干个偶数的积是偶数°例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2010；用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差，也是偶数1984°【奇数运算性质】奇数运算性质有：（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数°（2）若干个奇数的积是奇数°27、数的大小概念【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢°采用下述办法，往往可大大提高解题的速度°（1）交叉相乘°把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后2×5＝10， 3×3=9， 3×8=24， 5×5=25，之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积°这时，分数的大小就只取决于分子的大小了°（2）用“1”比较°当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小（4）化相同分子°把分子不同的分数化成同分子分数比较大小°有时序排列起来：（5）两分数相除°用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往往能快速地找出它们的大小关系°由于这样做，省略了通分的过程，所以显然，将它们反过来相除，也是可以的：【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度°这时，可按下面的办法去做：（1）先看分子是1的情况°例如下题：第一种方法是直观比较°先画线段图（图4.4）：由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数°数°可知（2）再看分子不是1的情况°例如下题：它同样也可以用四种方法比较大小°比方用直观比较方法，可画线段图如下（图4.5）：由图可知，甲数大于乙数°用统一分子的方法，也可比较它们的大小°因为用图表示就是图4.6：这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等°所以，它们每一份也相等°而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数°去，即可知道甲数大于乙数°如果用转化关系式比较°由题意可知根据一个因数等于积除以另一个因数，可得28、数的大小比较【分数、小数大小比较】（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂°于是可采用比较其倒数的办法去解答°倒数大的数反而较小°个数是______°（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则把这六个数按从大到小排列是：【算式值的大小比较】例1 设A=9876543×3456789； B=9876544×3456788°试比较A与B的大小°（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）讲析：可将A、B两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较°这时，只要把两式中某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式的大小便能较容易地看出来了°于是可得A =9876543×（3456788＋1）=9876543×3456788＋9876543；B =（9876543＋1）×3456788=9876543×3456788＋3456788；所以，A＞B°例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______°（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：如果直接把四个算式的值计算出来，显然是很麻烦的，我们不妨运用化简繁分数的方法，比较每式中相同位置上的数的大小°31 / 31。

第九讲数阵图（一）
专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×2＝42。

把两式相比较可知，E＝42－35＝7，即中间填7。

然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习九
1.把1～10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1～9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

试一试：练习与思考第1 题。

例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

奥数中的数阵图，由易到难破解的方法（含做题小窍门）问题1：把1~10这十个数分别填入十个空格里，图中已经填好了3个数，请你补充完整，使“六一”中每条线上数的和都是12。

问题1教学图分析：做数学题，除非特别的简单的，其他的都不能一看完题，立马就开始做。

因为是一读完题，你就能立即理解它的意思。

磨刀不误砍柴工，首先要理解题意，然后是观察，思考从哪个条件入手更好。

有时候，冒冒然的做，题目理解错了，或者做到一半发现做不下去了，反而会浪费时间。

做数学题有时候，还会出现这种情况：每个字都认识，意思也知道，就是不知道怎么做。

那我告诉你一个小窍门：哪里条件多看哪里，或者哪里未知的少看哪里。

问题1题目的要求非常简单，就是每条线上数的和都是12。

有三条线上都是已知一个数字，它们已知数字的个数是一样的，无法入手。

但是数字8和数字2这里只剩一个空格了，符合未知的少这一项，所以从数字8和数字2这里入手。

问题1讲解图1数字8旁边应该填12-8=4，数字2旁边应该填12-2=10。

1~10这十个数还剩1、3、57、9没填，它们要填在剩下的三条横线上。

问题1讲解图2每条线上数的和都是12，三条线就是36，可是1+3+5+7+9=25，怎么还差11呢？因为有一条线上还有一个已知数6，所以应该是1+3+5+7+9+6=31，为什么还差5呢？观察上图被圈住的那一格，在算每条线上数的和时，它是不是算了两次？所以缺的数就是圈中的数，你明白了吗？这是数阵图题型中，很重要的一个思路：如果给了每条线的和，所有线的和减去要填的数，差就是重复数的和。

如果只有一个数重复，差就等于这个数。

所以上图黑圈中的数是5，后面就很简单啦！用减法就可以算出其他数，黑圈上面一格数字是12-5=7，黑圈右边一格数字是12-6-5=1。

还剩下数字3和9，就填在“六”右边那一点上，顺序无所谓，怎么填都对。

问题2：把1~6这六个数，分别填入圈内，使每条线上3个数的和相等，其中1~3已填。

数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。

所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。

方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。

方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。

除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。

1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。

答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。

答案：中间重复数为1或6或11。

给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。

思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。

横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。

答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。

答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。

（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。

思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。

答案：（答案不唯一）把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。