2005年全国初中数学联赛初赛试卷(附答案)

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2005年全国初中数学联赛初赛试卷

3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30

学校___________ 考生姓名___________

题号一二三四五合计

得分

评卷人

复核人

一、选择题（每小题7分，共计42分）

1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）

（A）a＞ba2＞b2 (B)a≠ba2≠b2 (C)|a|＞ba2＞b2 (D)a＞|b|a2＞b2

2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）

（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·22005

3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（）

（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1

5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）

（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个

6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）

（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0

二、填空题（每小题7分，共计28分）

1、已知：x为非零实数，且1122xx = a, 则 2x1x=_____________。

2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则

则∠PQC = _________.

4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如：

3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。

三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。

试求A、B两点的坐标。

四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。

五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2 = y ,zy=

2,试求积abc的所有可能的值。 B

A O

E D

C 2005年全国初中数学联赛初赛试题参考解答及评分标准

一、选择题（每小题7分，共计42分）

1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C

二、填空题（每小题7分，共计28分）

1、 a2－2 2、 322 3、 45° 4、 12

三、解：∵原点是线段AB的中点点A和点B关于原点对称

设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（―a，―b）………………………………5分

又 A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：

b = 2a2+4a－2

……………………………………………………………………10分

－b = 2a2－4a－2

解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4……………………………………………………15分

故 A为（1，4），B为（－1，－4）或者 A（－1，－4），B（1，4）.………………………20分

四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4

∴ΔCDE∽ΔCAD

∴T1T122CDCADEAD ① ………………5分

又∵ΔADE∽ΔBDA

∴AEABDEAD ② ………………10分

由①、②及AB=AC，可得AE=CD …………15分

又由ΔCDE∽ΔCAD可得CDCECACD，即AE2=CD2=CECA …………20分

设AE=x，则CE=d－x ，于是 x2=d(d－x)

即有AE = x =51d2 （负值已舍去） …………………………25分

五、解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b + c－a =z ,

∴a=1(xy)2, b=1(xz)2, c=1(yz)2 …………………5分

又∵ y=x2 , 故 a=21(xx)2---(1);

b=1(xz)2-----(2)

c=21(xz)2----(3)

∴x=11+8a2 ---------------(4)

∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。 ………………10分

于是，2a=T1T122 ，其中a是质数，故有T12=2，T12=a B

A O

E D

C 4 3 2

1 ∴T=5 ，a=3 ……………………15分

将a=3代入（4）得 x=2或－3.

当x=2时，y=x2=4,

因而z－2=2， z=16 ，

代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，

与b、c是质数矛盾，当舍去。 ……………………………………20分

当x=－3时，y=9 . z－3=2,

∴z=25

代入（2）、（3）可得 b=11，c=17

∴abc=3×11×17=561 ………………………………………25分

2017年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

2017年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题——第 1 页共 4 页第4题图 E B F A

C D

第6题图 B A

C D 2017年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

（考试时间：2017年3月3日下午3：00—5：00）

班级：: 姓名：成绩：

题号一二三四五合计

得分

评卷人

复核人

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、若2ba，则abba222的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

2、已知AD为ABC的内角平分线，AE为ABC的外角平分线（D、E均在直线BC上），若130ADB，则AEB的大小为（）

A、40 B、45 C、50 D、60

3、古希腊毕达哥拉斯学派把“一个正整数的正约数（不包括自身）之和等于自身的数称为完全数”，比如6的正约数（不包括自身）有1、2、3，而6321，所以6是完全数，那么以下是完全数的是（）

A、10 B、20 C、24

D、28

4、如图，ABC的边BC为6，且BC边上的高也为6，若BC上有三点D、E、F，且满足4DF，则图中所有三角形的面积和为（

）

A、30

B、48 C、96 D、120

5、已知关于x的不等式022baxab的解集为4x，则关于x的不等式bax的解集为（）

历年全国初中数学联赛试题总汇

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精品资料分享 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ；（B）31；（C）2；（D）35．

答（）

２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10；（B）12；

（C） 16；（D）18．

答（）

３．方程012xx的解是

（A）251；（B）251；

（C）251或251；（D）251．

答（）

４．已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991；（Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n；（Ｄ）11991)1(n．

答（）

５．若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． {{{{{{{{

精品资料分享答（）

６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（）

７．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是

1995-2011全国初中数学联赛试题(包含大纲)

1 全国初中数学联赛参考考试大纲（2006年通过）

全国初中数学联赛以其严格的规范性著称，试题的命制参考初中数学竞赛大纲（2006年通过）版本。

1．数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；

素数和合数，最大公约数与最小公倍数；

奇数和偶数，奇偶性分析；

带余除法和利用余数分类；

完全平方数；

因数分解的表示法，约数个数的计算；

有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2．代数式

综合除法、余式定理；

因式分解；

拆项、添项、配方、待定系数法；

对称式和轮换对称式；

整式、分式、根式的恒等变形；

恒等式的证明。 •

3．方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；

含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；

含绝对值的一元一次不等式；

简单的多元方程组；

简单的不定方程(组)。

4．函数的图象和性质；

二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；

含字母系数的二次函数。

5．几何

三角形中的边角之间的不等关系；

面积及等积变换；

三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；

相似形的概念和性质；

圆，四点共圆，圆幂定理；

四种命题及其关系。

6．逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；

简单的组合问题；

简单的逻辑推理问题，反证法；

极端原理的简单应用；

枚举法及其简单应用。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

13 14

17 18 19 20 21 22 23

25 26 27 28 29 30

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２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案 35 36

历年初中数学竞赛真题库含答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试