2006全国初中数学联赛试题及答案全

2006年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设111,ppkSSk．则下面关于1kk、的说法中，正确的是（ ）

A．1kk、均为常值． B．k为常值，1k不为常值．

C.k不为常值，1k为常值． D.1kk、均不为常值．

2．已知m为实数，且cossin、是关于x的方程0132mxx的两根．则4sin4cos的值为（ ）

A.92 ． B.31 ． C.97 ． D.1．

3．关于x的方程axx|1|2仅有两个不同的实根．则实数a的取值范围是（ ）

A.a＞0． B.a≥4． C.2＜a＜4． D.0＜a＜4．

4．设.,02,0222abccabab则实数cba、、的大小关系是 ( )

A.acb ． B.bac ． C.cba ． D.cab ．

5．ba、为有理数，且满足等式324163ba,则ba的值为 ( )

A.2． B.4． C.6． D.8．

6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为 ( )

A．2000． B．2004． C．2008． D．2012．

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

7．函数2008||20062xxy的图像与x轴交点的横坐标之和等于 ．

8．在等腰ABCRt中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF＝ ．

9．使16)8(422xx取最小值的实数x的值为 ．

10．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足POCPABPBCPOASSSS.就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为

．

注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．

第二试（A）

一、（本题满分20分）已知关于x的一元二次方程0)994()32(222baxbax无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(ba，有多少组?

二、（本题满分25分）如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF＝90°．ED＝DF＝1，AD＝5．求线段BC的长．

三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．

求证： (1)O、E、O1三点共线；(2).21ABCOBD ．

第二试（B）

一、（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同．

二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同．

三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．

(1)求证：O、E、01三点共线；(2)若,70oABC求OBD的度数．

第二试（C） 一、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同．

二、（本题满分25分）题目与（B）卷第三题相同．

三、（本题满分25分）设p为正整数，且2p．在平面直角坐标系中，点),0(pA和点)0,(pB的连线段通过1p个格点,),1,1(1pC)1,1(,).,(1pCipiCpi．

证明： (1)若p为质数，则在原点O(0，0)与点),(ipiCi的连线段)1,,2,1(.piOCi上除端点外无其他格点；

(2)若在原点O(0，0)与点),(ipiCi的连线段)1,,2,1(piOCi上除端点外无其他格点，则p为质数．

2007年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 已知zyx,,满足xzzyx532，则zyyx25的值为（ ）

A．1. B．31. C．31. D．21.

2．当x分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）

A．－1. B．1. C．0. D．2007.

3. 设cba,,是△ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58，则△ABC是（ ）

A．等腰三角形. B．锐角三角形. C．钝角三角形. D）直角三角形.

4. 已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（ ）

A．30°. B．45°. C．60°. D．75°.

5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，则ABCDEFSS△△:的值为（ ）

A．91. B．92. C．94. D．32.

6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ） A．101. B．51. C．103. D．52.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1. 设121x，a是x的小数部分，b是x的小数部分，则abba333___ ．

2. 对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程22(2)20xnxn的两个根记作nnba,（2n），则)2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba= ．

3. 已知直角梯形ABCD的四条边长分别为6,10,2ADCDBCAB，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BFBE的值为

．

4． 若64100a和64201a均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是

．

第二试（A）

一、（本题满分20分）设nm,为正整数，且2m，如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求nm,的值.

二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.

三、 （本题满分25分）已知a是正整数，如果关于x的方程056)38()17(23xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根.

第二试（B）

一、（本题满分20分）设nm,为正整数，且2m，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为1d，二次函数ntxntxy2)2(2的图象与x轴的两个交点间的距离为2d.如果21dd对一切实数t恒成立，求nm,的值.

二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同.

三、（本题满分25分）设a是正整数，二次函数axaxy38)17(2，反比例函数xy56，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值. A

B C D E F M

N P 第二试（C）

一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.

二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同.

三、（本题满分25分）设a是正整数，如果二次函数axaxy710)232(22和反比例函数xay311的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点.

2008年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．设213aa，213bb，且ab，则代数式2211ab的值为（ ）

A. 5. B.7. C .9. D.11.

2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若6AB，5BC，3EF，则线段BE的长为（ ）

A.185. B.4. C.215. D.245.

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）

A.15. B.310. C.25. D.12.

4．在△ABC中，12ABC，132ACB，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点,MN分别在直线AC和直线AB上，则（ ）

A.BMCN. B.BMCN.

C.BMCN. D.BM和CN的大小关系不确定.

5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ）

A.39()8. B.49()8. C.59()8. D.98.

6． 已知实数,xy满足22(2008)(2008)2008xxyy，则223233xyxy2007的值为（ ）

A.2008. B.2008. C.1. D.1.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．设512a，则5432322aaaaaaa. 2．如图，正方形ABCD的边长为1，,MN为BD所在直线上的两点，且5AM，135MAN，则四边形AMCN的面积为

3．已知二次函数2yxaxb的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且1mn.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq