集合的概念与运算
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集合的概念与运算(总6页)
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知识梳理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言
集合间的
基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B
子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A?B
真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
语言
符号
语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
并集的性质：
A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．
交集的性质：
A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B．
补集的性质：
A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A．
题型一． 集合 例1. (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
答案 (1)C (2)－32
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.
【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
变式1.设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________.
答案 1.B 2.2
解析 1.因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.
当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．
2.因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，
所以a＋b＝0，得ba＝－1， 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
题型二. 集合间的基本关系
例2.(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合},121|{},72|{mxmxBxxA若AB，则实数m的最大值为_____.
答案 (1)D (2)4 注：若B是A的真子集，则m的最大值为什么？
【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
变式1.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
变式2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x
答案 1.D 2.(4，＋∞)
解析 1.A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.
2.由log2x≤2，得0
即A＝{x|0
而B＝{x|x4.
题型三. 集合的基本运算
例3.（1）已知}2|1||{xxA，}06|{2axxxB，}0152|{2xxxC，
① ，BBA求a的范围；
② 是否存在a的值使CBBA，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由.
(2)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|0
答案 (1)（-5≤a≤-1）;1519,aCBA
(2)B
变式1.已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或3 B．0或3
C．1或3 D．1或3
变式2.}32|{axaxA，}51|{xxxB或，BA，则a的取值范围为_______.
答案1.B 2.]3,2()21,(
【感悟提升】1.一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．2.运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
变式3.(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(?UB)等于( ) A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
变式4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，则m的值是__________．
答案 3.A 4.1或2
解析 3.由题意知，?UB＝{2,5,8}，则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.
4.A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
题型四. 集合的新定义问题
例4．若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
变式: (2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A*B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A*B中元素的个数为( )
A．77 B．49 C．45 D．30
答案 C
解析 如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A*B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A*B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A*B中元素的个数为45.故选C.
【真题演练】
1.【2016高考新课标1理数】设集合2430Axxx ,230xx,则AB
（ ）
（A）33,2 （B）33,2 （C）31,2 （D）3,32
【答案】D
【解析】因为23{|430}={|13},={|},2AxxxxxBxx-所以33={|13}{|}={|3},22ABxxxxxx故选D.
2.【2016高考新课标3理数】设集合|(2)(3)0,|0SxxxTxx ，则ST（ ） (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）
【答案】D
【解析】由(2)(3)0xx解得3x或2x，所以{|23}Sxxx或，所以{|023}STxxx或，故选D．
3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}Axx，Z为整数集，则AZ中元素的个数是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】C【解析】由题意，{2,1,0,1,2}AZ，故其中的元素个数为5，选C.
4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},xAyyxBxxR 则AB=（ ）
（A）(1,1) （B）(0,1) （C）(1,) （D）(0,)
【答案】C【解析】}0|{yyA，}11|{xxB，则AB（-1，+），选C.
5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A2,3，{|(1)(2)0,}BxxxxZ，则AB（ ）（A）{1} （B）{12}， （C）{0123}，，， （D）{10123}，，，，
【答案】C
【解析】集合{|12,}{0,1}BxxxZ，而{1,2,3}A，所以{0,1,2,3}AB，故选C.
6.【2016高考浙江理数】已知集合213,4,PxxQxxRR 则()PQR（ ）
A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．(,2][1,)
【答案】B【解析】根据补集的运算得．故选B．
