2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题

2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。

2023年中考数学高频考点专题训练--圆的综合题1．已知：△ABC内接于△O，直径AM平分△BAC．（1）如图1，求证AB＝AC；（2）如图2，弦FG分别交AB、AC于点D、E，AE＝BD，当△ADE+△DEC＝90°时，连接CD，直径AM分别交DE、CD、BC于N、H、R，若CD△AB，求证：△NDC＝△ACB；（3）在（2）的条件下，若DE长为√2，求△ACH的面积．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使△PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”．如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例．（1）已知点A（4，0），B（4，4）①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是；②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；（2）△T的圆心为（t，0），半径为√10，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在△T上存在一点P，使得点P关于△T的一个“直角联络点”在线段HK 上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy中的点P和△C，给出如下定义：若△C上存在一个点M，使得PM = MC，则称点P为△C的“等径点”．已知点D (12，13)，E(0，2√3)，F (−2，0)．（1）当△O的半径为1时，①在点D，E，F中，△O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是△O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG△EF交x轴于点G，若△EFG上的所有点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．4．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，△ACB=△ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CE= √2CD，从而得出结论：AC+BC= √2CD．简单应用：（1）在图①中，若AC= √2，BC=2 √2，则CD=．（2）如图③，AB是△O的直径，点C、D在△上，AD̂= BD̂，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，△ACB=△ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD 的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，△ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= 1 3AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．5．如图，等边三角形ABC中，AB= 2√3，AH△BC于点H，过点B作BD△AB交线段AH的延长线于点D，连结CD. 点E为线段AD上一点(不与点A，D重合)，过点E作EF△AB交BC于点F，以EF为直径作△O. 设AE的长为x.（1）求线段CD的长度.（2）当点E在线段AH上时，用含x的代数式表示EF的长度.（3）当△O与四边形ABDC的一边所在直线相切时，求所有满足条件的x的值. 6．如图1，⊙O是ΔABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB=8，AD=6，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC 之间的数量关系并证明.7．问题探究（1）如图1，在△ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6，则△ABC面积的最大值是。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题1．如图，在⊙ O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC=∠OBD．（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠OAC=30°，当AC⊥BD时，求：①图中阴影部分面积．②弧CD的长．2．已知⊙O中，弦AB＝AC，⊙BAC＝120°（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．（2）如图②，点P是⊙BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．3．如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2√3cm，点E为对角线AC 上的动点.连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F.（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由.（2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH.若点E从A出发沿AC方向以2√3cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts.①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②t为何值时，△CFH是等腰三角形；③当CG=GH时，求△CGH的面积.4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：⊙C＝2⊙DBE.（3）若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）5．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，⊙ABC中，点D 是BC边上一点，连结AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是⊙ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，⊙ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）⊙ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，⊙ABC是⊙O的内接三角形，OH⊙AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D.①求证：点H是⊙BCD中CD边上的“好点”.②若⊙O的半径为9，⊙ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.6．如图，⊙O为等边⊙ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B 重合），连接DA，DB，DC.（1）求证：DC是⊙ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，⊙DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.7．在⊙ABC中，D，E分别是⊙ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在⊙ABC的内部或边上，则称弧DE为⊙ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是⊙ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4 √3的等边⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出⊙ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2 √3，6），B（0，0），C（t，0），在⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2 √3，求⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．8．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊙AB于点D，延长DO 交⊙O于点P，过点P作PE⊙AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若⊙POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．9．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.（1）用关于x的代数式表示BQ=，DF=.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长.10．如图，⊙ABC中，⊙ACB=90°，D是边AB上一点，且⊙A=2⊙DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．11．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持⊙ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；（3）若AO=2 √6，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．12．（问题情境）如图①，小区A、B位于一条笔直的道路l的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1.（1）（初步研究）在线段AB上作出点C，使CACB=2.如图，做法如下：第一步：过点A作射线AM，以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3.第二步：连接BP3，作∠AP2C=∠AP3B，交AB于点C.则点C即为所求.请证明所作的点C满足CACB=2.（2）（深入思考）如图，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2.求证：DC是∠ADB的平分线.（3）（问题解决）如图，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2.用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）（⊙）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；（⊙）在直线l上作出点F，使FAFB=2.13．在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是对角线AC上任意一点，过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G，作FH平行AC交CD于点H．（1）证明：EF=CH．（2）连结GH交AC于点K，若AE：CK=3，求AE：EK的值．（3）作⊙FGH的外接圆⊙O，且AB=1．①若⊙O与矩形的边相切时，求CH的长．②作点E关于GH的对称点E'，当E'落在⊙O上时，直接写出⊙FGH的面积。

2023年中考数学高频考点专题训练-- 圆的综合题1．（1）[问题提出]如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是；（2）[问题探究]如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；（3）[问题解决]如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20√3米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏.考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC＝60°.为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由.2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG⋅HB的值．3．如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，且AB=2，AD平分∠BAC交BC于点D，CP 平分∠BCA交AD于点P，PF⊥AC，PE⊥BC.（1）求证：四边形CEPF为正方形；（2）求AC⋅BC的最大值；（3）求1AC+1DC的最小值.4．如图，已知∠ABC内接于∠O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE∠BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与∠O交于点G，设∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：（2）猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明；若γ=135°，CD=3，∠ABE的面积为∠ABC的面积的4倍，求∠O半径的长5．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA,PB．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中有点M(1,√3)，点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D(m,0)是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．6．如图，点A在∠0上，点P是∠0外一点.PA切∠0于点A.连接OP交∠0于点D，作AB∠OP于点C，交∠0于点B，连接PB.（1）求证：PB是∠0的切线；（2）若PC=9，AB=6 √3，求图中阴影部分的面积.7．如图，已知线段AB=2，MN∠AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．̂的度数；（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出∠ACG和∠DEG的面积之比．8．如图1，在矩形ABCD中．点E以1cm／s的速度从点A向点D运动，运动时间为t(s)．连结BE，过点E作EF∠BE，交CD于F，以EF为直径作∠O ．（1）求证：∠1=∠2；（2）如图2，连结BF，交∠O于点G，并连结EG．已知AB=4，AD=6．①用含t的代数式表示DF的长；②连结DG．若∠EGD是以EG为腰的等腰三角形。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的切线的证明综合题1．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan⊙CPO= 12，求PO的长．2．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG//BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，⊙A＝⊙D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分⊙ACB，BD＝12，求DE的长．3．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊙AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．4．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且点C是弧FB̀的中点，连接AC，AF，过点C作CD⊙AF，垂足为点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=8，求DC的长．5．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，点O在BC边上，⊙BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB·CP=BD·CD；（3）若tan∠ABC=2，AB=2√5，求线段DP的长.6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且⊙CAD＝⊙D，给出下列三个信息：①sin⊙CAB＝12；②BO＝BD；③DC是⊙O的切线.（1）请在信息①或②中选择一个作为条件，剩下的两个信息中选择一个作为结论，组成一个真命题．．．.你选择的条件是，结论是（只要填写序号）.（2）证明（1）中你写出的真命题.7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，且⊙BCD =⊙A.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC =2，AB =32CD，求⊙O半径.8．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB 交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE=BF，连接DE.（1）求证：ΔDAF≌ΔDCE.（2）求证：DE是⊙O的切线.（3）若BF=2，DH=√5，求四边形ABCD的面积.9．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD=DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．（1）求证：DE是⊙A的切线；（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求tan⊙FED．10．等腰三角形ABC，AB=AC，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE、CD交于点F，⊙O为⊙ADF的外接圆，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线：（2）若CF＝5，DF＝3，求⊙O的直径．11．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°,OA=OB=4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH,BH．设旋转角为α(0°<α<360°)．（1）当α=90°时，求证：BH是⊙O的切线；（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．12．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且OEEB=23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．13．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分⊙DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分⊙ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E.（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan⊙ABC＝43，求线段BE的长.14．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．（1）求m的值和该二次函数的表达式．P为线段AB上一个动点（点P不与A，B 两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．（2）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．15．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA=PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D.（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）连接OB、DP交于点E.若CD=2，CB=4，求PEDE的值.16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E 是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，⊙B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①PC=PD ，②⊙CPO=⊙DP ，③CD⊙BA ，④⊙CEP=90°，⑤PC 2=PA•PB（2）解：连接OC ∵PC 、PD 分别切⊙O 于点C 、D ∴PC=PD ，⊙CPO=⊙DPA∴CD⊙AB∵CD=12∴DE=CE= 12CD=6． ∵tan⊙CPO= 12， ∴在Rt⊙EPC 中，PE=12∴由勾股定理得CP=6 √5∵PC 切⊙O 于点C∴⊙OCP=90°在Rt⊙OPC 中，∵tan⊙CPO= 12， ∴OC PC =12∴OC=3 √5 ，∴OP= √OC 2+PC 2 =152．【答案】（1）证明：如图1，延长 DB 至 H ，∵DG//BC ，∴∠CBH =∠D ，∵∠A=∠D，∴∠A=∠CBH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABC=90°，∴∠ABD=90°，∴AB⊙BD，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴AF=BF，∴⊙AOF＝⊙BOF＝90°，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF//BD，∴△EFO∽△EDB，∴OFBD=OE BE，∵AE=OE，∴OEEB=1 3，∴OF12=13，∴OF=4，∴OA=OB=OF=4，∴BE =OE +OB =2+4=6 ，∴DE =√BD 2+BE 2=√122+62=6√5 ．3．【答案】（1）证明：如图：首先连接OD ．∵AC⊙AB ，∴⊙BAC=90°，即⊙OAE=90°．在⊙AOE 与⊙DOE 中，OA=OD ，ED=EA ，OE=OE ，∴⊙AOE⊙⊙DOE （SSS ），∴⊙OAE=⊙ODE=90°，即OD⊙ED ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在⊙OAE 中，⊙OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理求得OE=5．∵AB 是直径，∴⊙ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊙BC ．又∵OA=OD ，AE=DE ，∴OE 垂直平分AD （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∴OE⊙AD ，∴OE⊙BC ，∴OA AB =OE BC =12（平行线分线段成比例定理）． ∴BC=2OE=2×5=10，即BC 的长度是10．4．【答案】（1）解：如图1，连接OC ，∵C 是弧FB ̀的中点， ∴弧FC=弧BC ̀̀，∴⊙FAC=⊙BAC ，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙BAC ，∴⊙FAC=⊙OCA ，∴AD⊙OC ，∵CD⊙AF ，∴CD⊙OC ，即CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°，∴⊙D=⊙ACB ，又⊙DAC=⊙CAB ，∴⊙DAC⊙⊙CAB ，∴AD AC =AC AB， 解得，AD= AC 2AB=6.4， 在Rt⊙ADC 中，CD= √AC 2−AD 2 =4.8．5．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴⊙BAC=90°，∵AD 平分⊙BAC ，∴⊙BAC=2⊙BAD ，∵⊙BOD=2⊙BAD ，∴⊙BOD=⊙BAC=90°，∵DP⊙BC ，∴⊙ODP=⊙BOD=90°，∴PD⊙OD ，∵OD 是⊙O 半径，∴PD 是⊙O 的切线；（2）证明：∵PD⊙BC ，∴⊙ACB=⊙P ，∵⊙ACB=⊙ADB ，∴⊙ADB=⊙P ，∵⊙ABD+⊙ACD=180°，⊙ACD+⊙DCP=180°，∴⊙DCP=⊙ABD ，∴⊙ABD⊙⊙DCP ，∴AB CD =BD CP∴AB•CP=BD•CD.（3）解：在 RtΔABC 中，∵tan∠ABC =2 ， AB =2√5 ，∴AC =2AB =4√5 ，∴BC =√AB 2+AC 2=10 ，∴OD =5 ，过点 C 作 CG ⊥DP ，垂足为 G ，则四边形 ODGC 为正方形，∴DG =CG =OD =5 ，∵BC ∥PD ，∴∠CPG =∠ACB ，∴tan∠CPG =tan∠ACB ，∴CG GP =AB AC，即 5GP =2√54√5 ， 解得， GP =10 ，∴DP =DG +GP =15 .6．【答案】（1）①；②（或①，③；或②，①；或②，③；答案不唯一） （2）解：条件:①，结论:②；连接BC ，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵sin⊙CAB= 1 2，∴BC= 12AB=BO，⊙D=⊙CAB=30°，∴⊙ABC=60°，∴⊙BCD=⊙ABC-⊙D=30°=⊙D，∴BD=BC，∴BD=BO；条件:①，结论:③；连接CO，∵sin⊙CAB= 1 2，∴⊙D=⊙CAB=30°，∵OA=OC，∴⊙OCA=⊙CAB=30°，在⊙DCA中，⊙DCO =180°-⊙D-⊙CAB-⊙OCA =180°-30°-30°-30°=90°，∴OC⊙DC，∴DC是⊙O的切线；条件:②，结论:①；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA∠D=∠CAD DO=AB，∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴BC=CO= 12AB，∴sin⊙CAB= 1 2；条件:②，结论:③；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA ∠D=∠CAD DO=AB∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴⊙DCO=⊙ACB=90°，∴CO⊙DC，∴DC是⊙O的切线.7．【答案】（1）证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴⊙ACB=90°，即⊙ACO+⊙OCB=90°.∵OA=OC ，⊙BCD=⊙A ，∴⊙ACO=⊙A=⊙BCD ，∴⊙BCD+⊙OCB=90°，即⊙OCD=90°，∴CD 是⊙O 的切线.（2）解：设CD 为x ，则AB= 32 x ，OC=OB= 34x ， ∵⊙OCD=90°，∴OD= √OC 2+CD 2=√(34x)2+x 2 = 54 x ， ∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x ， ∵⊙BCD ＝⊙A ，⊙BDC ＝⊙CDA ，∴⊙ADC⊙⊙CDB ，∴AC CB =CD BD， 即 2CB =x 12， 解得CB=1，∴AB= √AC 2+BC 2 =√5∴⊙O 半径是 √52. 8．【答案】（1）证明：如图1，连接 DF ，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB =BC =CD =DA ， AD//BC ， ∠DAB =∠C ，∵BF=BE，∴AB−BF=BC−BE，即AF=CE，∴ΔDAF≌ΔDCE（2）解：∵ΔDAF≌ΔDCE∴∠DFA=∠DEC.∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°，∴∠DEC=90°.∵AD//BC，∴∠ADE=∠DEC=90°，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线（3）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°，∴∠DFB=90°，∵AD=AB，DH=√5，∴DB=2DH=2√5，在RtΔADF和RtΔBDF中，∵DF2=AD2−AF2，DF2=BD2−BF2，∴AD2−AF2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−BF)2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−2)2=(2√5)2−22，∴AD=5．∴AF=3∴DF=√AD2−AF2=4∴四边形ABCD的面积=AB⋅DF=5×4=20．9．【答案】（1）证明：过点A作AG⊙DE，∴⊙AGD=90°在矩形ABCD 中，AD⊙BC ，⊙C=90°，∴⊙AGD=⊙C ，⊙ADG=⊙DEC∵AD=DE ，∴⊙ADG⊙⊙DEC∴AG=DC ，DG=EC ，∵AB=DC ，∴AG=AB ，即AG 为⊙A 的半径∴DE 是⊙A 的切线（2）解：连接AE ，由（1）可知，AG=AB ，⊙ABE=⊙AGE=90°，AE=AE ，∴⊙ABE⊙⊙AGE （HL ），∴BE=EG ，设DG=EC=x ，∵AB=2，BE=1，∴DE=x+1，DC=AB=2，在Rt⊙DEC 中，由勾股定理可得，x 2+22=(x +1)2解得，x =32， ∴AD=DE=52（3）解：过点F 作FH⊙DE ，∵AD =52，AF =AB =2， ∴DF =AD −AF =52−2=12， ∵FH⊙DE ，AG ⊥DE ，∴FH ∥AG ，∴⊙DFH⊙⊙DAG ，∴DF AD =FH AG ，即1252=FH 2， 解得FH =25， ∵DH =√(12)2−(25)2=310，DE =√(32)2−22=52， ∴EH =52−310=115∴tan⊙FED =FH EH =211， 10．【答案】（1）证明：如下图所示，连接OD ．∵AB ＝AC ，AE⊙BC ，∴CE ＝EB ，⊙DCE ＋⊙CFE ＝90°．∴CE =12BC ． ∵CD⊙AB ，∴DE =12BC ，⊙ADF=90°． ∴DE=CE ，⊙FAD ＋⊙AFD ＝90°，⊙ODA ＋⊙ODF ＝90°．∴∠DCE =∠CDE ．∵⊙AFD 和⊙CFE 是对顶角，∴⊙AFD ＝⊙CFE ．∴⊙FAD ＝⊙DCE ．∴⊙FAD=⊙CDE ．∵OA ＝OD ，∴⊙FAD ＝⊙ODA ．∴⊙ODA ＝⊙CDE ．∴⊙ODE=⊙ODF ＋⊙CDE ＝⊙ODF+⊙ODA=90°．∴OD⊙DE ．∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：如下图所示，连接BF ．∵CE ＝BE ，AE⊙BC ，CF=5，∴BF ＝CF ＝5．∵DF=3，∴DB =√BF 2−DF 2=4，CD =CF +DF =8．∵CD⊙AB ，∴⊙ADF=⊙CDB=90°．∴AF 是⊙O 直径．∵⊙FAD=⊙DCE ，即⊙FAD=⊙BCD ，∴⊙ADF⊙⊙CDB ．∴AD CD =DF DB． ∴AD 8=34． ∴AD ＝6．∴AF =√AD 2+DF 2=√62+32=3√5．11．【答案】（1）解： ∵α=90°=∠AOB ，∴∠AOP =∠BOH ，又 ∵OP =OH, OA =OB ，∴△AOP ≌△BOH ，∴∠OPA =∠OHB ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OPA =90° ，∴∠OHB =90° ，即 OH ⊥BH 于点H ，∴BH是⊙O的切线；（2）解：如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有OC⊥BC,OD⊥BD，∵OC=2,OB=4，∴cos∠BOC=OCOB=24=12，∴∠BOC=60°，同理∠BOD=60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α=90°，∴∠OHB=90°，∵OP=2，∴PH的长为90π×2180=π；当点H与点D重合时，α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°，∴PH的长为210π×2180=73π，∴当BH与⊙O相切时，旋转角α=90°或210°，点H运动路径的长为π或73π．（3）2+2√212．【答案】（1）解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，∴⊙AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是⊙ABD是中位线，∴OC⊙BD，∴⊙ABD ＝⊙AOC ＝90°，∴AB⊙BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，OC⊙BD ，∴⊙OCE⊙⊙BFE ，∴OC BF =OE EB， ∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4， OE EB =23， ∴2BF =23， ∴BF ＝3，在Rt⊙ABF 中，⊙ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5， ∵S ⊙ABF ＝ 12 AB•BF ＝ 12AF•BH ， ∴AB•BF ＝AF•BH ，∴4×3＝5BH ，∴BH ＝ 125． 13．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 平分⊙DAB ，∴⊙DAC ＝⊙CAB ，∵OA ＝OC ，∴⊙OCA ＝⊙CAB ，∴⊙DAC ＝⊙OCA ，∴OC⊙AD ，又AD⊙PD ，∴OC⊙PD ，∴PC 与⊙O 相切（2）证明：∵CE 平分⊙ACB ，∴⊙ACE ＝⊙BCE ，∴AE =BE ，∴⊙ABE ＝⊙ECB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙OBC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB ＝90°，∴⊙CAB+⊙ABC ＝90°，∵⊙BCP+⊙OCB ＝90°，∴⊙BCP ＝⊙BAC ，∵⊙BAC ＝⊙BEC ，∴⊙BCP ＝⊙BEC ，∵⊙PFC ＝⊙BEC+⊙ABE ，⊙PCF ＝⊙ECB+⊙BCP ，∴⊙PFC ＝⊙PCF ，∴PC ＝PF（3）解：连接AE ，在Rt⊙ACB 中，tan⊙ABC ＝ 43，AC ＝8， ∴BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝ √AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵AE =BE ，∴AE ＝BE ，则⊙AEB 为等腰直角三角形，∴BE ＝ √22AB ＝5 √2 . 14．【答案】（1）解： A 的坐标为（5，8）在直线y=x+m 上，∴8=5+m ，∴m=3，∴直线AB 解析式为y=x+3，∴B （0，3），设抛物线解析式为y=a （x ﹣2）2+k ，∵点A ，B 在抛物线上，∴{9a +k =8a +k =0， ∴{a =1k =−1， ∴抛物线解析式为y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3，顶点C （2，﹣1）①∵点P在线段AB上，∴P（x，x+3）（0≤x≤5），∵PE⊙x轴，交抛物线与E，P （x，x+3），∴E（x，x2﹣4x+3），∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，∴D（2，5），∴DC=6，∵四边形DCEP是平行四边形，∴PE=DC=6，∵PE=|﹣x2+5x|，⊙、当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6，∴x1=2（舍），x2=3，∴P（3，6），⊙、当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6，∴x3=﹣1，x4=6，∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）即：点P的坐标为（3，6）（2）解：∵点P（x，y）为直线AB上的一个动点，∴P（x，x+3），∴点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，∵点B（0，3），∴BP= √x2+(x+3−3)2=√2 |x|，∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，∴|x|= √22|x|，∴x=0（舍），②以PB为直径的圆能与x轴相切，∴|x+3|= √22|x|，∴x=﹣6﹣3 √2或x=﹣6+3 √2，∴P（﹣6﹣3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3√2，﹣3﹣3 √2）．故存在点P，坐标为P（﹣6+3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3 √2，﹣3﹣3 √2）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切15．【答案】（1）证明：连接OB，OP，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∠OAP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴∠OBP=∠OAP=90°∴OB⊥PB∴PB为⊙O切线；（2）解：设OB=OD=r，在Rt△OBC中，BC2+OB2=OC2∴r2+42=(2+r)2，∴r=3，∴OB=OD=3，AC=OA+OD+CD=3，设PB=PA=x，在Rt△PAC中，AC2+PA2=PC2∴x2+82=(x+4)2，解得x=6，∴PB=PA=6，在Rt△PAO中，OP=√OA2+AP2=3√5，连接AB与OP交于G，连接BD，∵OA=OB，PA=PB，∴AB⊙OP，AG=BG，∴S△AOP=12AG⋅OP=12OA⋅AP，即S△AOP=12AG⋅3√5=12×3×6，∴AG=65√5，在Rt△OAG中，OG=√OA2−AG2=35√5，∵OA=OD，AG=BG，∴BD=2OG=65√5，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴OP//BD，∴∠BDP=∠OPD，∠DBO=∠POE，∴PEDE=OPDB=52.16．【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊙AC，∴⊙OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE⊙BC，∴⊙1＝⊙B，⊙2＝⊙3，∵OB＝OD，∴⊙B＝⊙3，∴⊙1＝⊙2，在⊙AOE和⊙DOE中{OA=OD∠1=∠2 OE=OE，∴⊙AOE⊙⊙DOE，∴⊙ODE＝⊙OAE＝90°，∴OA⊙AE，∴DE为⊙O的切线（2）解：∵点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝2.4，∵⊙AOD＝2⊙B＝2×50°＝100°，∴图中阴影部分的面积＝2• 12×2×2.4﹣100⋅π⋅22360＝4.8﹣109π。

2023年中考复习二轮九年级数学高频考点拔高训练--圆的综合一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP．若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（）A．√55B．√22C．√5−12D．√542．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF ＝AE，连结DF、CF，⊥CDF的平分线DG交AF于G，连结BG.给出以下结论：①DF＝DC；②⊥DEG是等腰直角三角形；③⊥AGB＝45°；④DG+BG＝√2AG.所有正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④3．如图，点P（3,4），⊥P半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为（）A．14B．32C．52D．264．有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若⊥ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为()A．40B．50C．60D．805．如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C、F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E；当⊥ ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．596．已知⊥O的半径为10，P为⊥O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（）A．5条B．6条C．8条D．10条7．如图，⊥ABC是⊥O的内接三角形，把BC⌢沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（）A．3√107B．3√55C．4√57D．2√1058．如图,点A,B,C在一条直线上,⊥ABD,⊥BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面的结论:①⊥ABE⊥⊥DBC;②⊥DMA=60°;③⊥BPQ为等边三角形;④MB平分⊥AMC,其中结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．自行车车轮的辐条编制方式是多种多样的，同样大小的车轮，辐条编法不同，辐条的长度是不一样的，图2和图3是某种“24吋（指轮圈直径）”车轮一侧的辐条编法示意图，两个同心圆分别代表轮圈和花鼓，连接两圆的线段代表辐条，轮圈和花鼓上的穿辐条的孔都等分圆周，图2是直拉式编法，每根辐条的延长线都过圆心，优点是编法简单，缺点是轮强度较低，且力传递的效果较差，所以一般都采用如图3（两图中孔的位置一样）这样的错位式编法，若弧DC的长度和弧AB相等，则BE的长度为吋.10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连结AD，过点C 作CE⊥AD于点E，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连结FE并延长交AB于点M，连结BF.若四边形AMEC的面积是8，CE=2，则四边形ABFC的面积是.11．如图，在⊥ABC中，⊥C=45°，⊥B=60°，BC为√3+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为.12．如图，已知∠ΑΟΒ=30∘，在射线ΟΑ上取点Ο1，以Ο1为圆心的圆与ΟΒ相切；在射线Ο1Α上取点Ο2，以Ο2为圆心，Ο2Ο1为半径的圆与ΟΒ相切；在射线Ο2Α上取点Ο3，以Ο3为圆心，Ο3Ο2为半径的圆与ΟΒ相切；⋅⋅⋅；在射线Ο9Α上取点Ο10，以Ο10为圆心，Ο10Ο9为半径的圆与ΟΒ相切．若⊙Ο1的半径为1，则⊙Ο10的半径长是．13．如图，在矩形ABCD中，AB=√3，AD=1，延长AD至点F，使得DF=AD，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，P为上一动点，连接FP并延长交AB于点G，当BG 的长度最短时，阴影部分的周长为.14．如图Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，⊥O是⊥ABC的外接圆，E为⊥O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知tanA＝12，AB＝2 √10，DE＝5，则tan⊥ACE＝．三、综合题15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0，3√3），点D与点A关于y轴对称，C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）（2）若半径为1的⊥P从点A出发，沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊥P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时①t为何值时，⊥P与y轴相切？②在整个运动过程中⊥P与y轴有公共点的时间共有几秒？简述过程.（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？16．如图1，AB为圆O直径，点D为AB下方圆上一点，点C为弧ABD中点，连结CD，CA．（1）若⊥ABD=70°，求⊥BDC的度数；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点H，交AD于点E，⊥CAD=α，求⊥ACE（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长．17．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆.（1）已知点P(2，2)，以P为圆心，√5为半径作圆.请判断⊥ P是不是二次函数y=x2−4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y=x2−4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；（3）已知二次函数y=ax2−4x+4(0<a<1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2.若∠CPD=120°，求a的值. 18．定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1，Rt△ABC中，∠BCA=∠CEA=90°，△ACE和△ABC是星相似三角形.如图2，D是AB的中点，以CD为直径画圆，交AB，BC于点E，F，AC=1.（1）①若BC=2，求DE的长..②设BC=x，GDGO=y，试写出y与x的函数关系式（2）若CG=CE，则△CEG与哪个三角形星相似，并证明.（3）在（2）的条件下，求BC的长.19．如图，⊥O是⊥ABC的外接圆，AB是⊥O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊥O于点D，连接OD交BC于点E，⊥B=30°，FO=2√3（1）求AC的长度（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）20．如图，CD为⊥O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，⊥EAD=⊥HAD．（1）求证：AE为⊥O的切线；（2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA=2，PD=1，求⊥O 的半径和DE的长．答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】√7 10．【答案】1811．【答案】√6+3√2412．【答案】512 13．【答案】π6+√3+1 14．【答案】1315．【答案】（1）解：由题可知：AD=AB=6，⊥DAB=60°．∵⊥AOB=90°，∴AO=3，OB=3 √3 ∴OD=AD-OA=3．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=6．∴点C 的坐标为（6，3 √3 ），点D 的坐标为（3，0）．作法：①以点A 为圆心，AB 为半径画弧，与x 轴交点即为点D ；②以点D 为圆心，AB 为半径画弧；以点B 为圆心，AD 为半径画弧，两弧的交点即为点C ． 如图1所示．（2）解：①当点P在AO上时，如图所示：设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊥P与y轴相切，则AP=4t∵AP+OP=AO∴4t+1+0.5t=3,∴t= 4 9;当点P在OD上时，如图所示：设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊥P与y轴相切，OP＝4t－3,∴4t-3=1+0.5t,∴t= 8 7,当点P在BD上时，作PE ⊥OB，如图所示：设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊥P与y轴相切，由PD＝4t-6,∵BD= √32+(3√3)2=6,BP=BD-DP,∴BP=6-(4t-6)=12-4t,∵cos⊥ODB= ODBD=36=12, ⊥ODB=⊥EPB∴cos⊥EPB= EPBP=1+0.5t12−4t=12∴t=2;当点P在BC上时，如图所示：设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊥P与y轴相切，PB=4t-12∴4t-12=1+0.5t∴t= 26 7;∴当运动时间为49、87、2、267时，⊥P与y轴相切；②当圆P在AO上与y轴相切至圆P在OD上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为：87−4 9=4463，当圆P在BD上与y轴相切至圆P在BC上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为：267−2=127，所以总时间为4463+127=15263；（3）解：若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的图形如图8所示，过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，如图所示，则有OH=OA•sin⊥HAO=3× √32=3√32，同理可得：OH′= 3√32，∵S 弓形AR =S 扇形OAR -S 正⊥OAR = 60π×32360−12×3×3√32=3π2−9√34，S 扇形OBB′= 90π×(3√3)2360=27π4，S 扇形OHH′= 90π×(3√32)2360=27π16S ⊥OHB =S ⊥OH′B′∴S 阴影=S 弓形AR +S ⊥OHB +S 扇形OBB′-S 扇形OHH′-S ⊥OH′B′ =S 弓形AR +S 扇形OBB′-S 扇形OHH′ ＝ 3π2−9√34+27π4−27π16＝ 105π−36√316∴线段AB 扫过的面积是 105π−36√316。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的综合题一、单选题1．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B 作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（）A．2√10−2B．4√3−2C．2√13−2D．2√14−22．如图所示，已知直线l的解析式是y＝43x−4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊥C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当⊥C与直线l相切时，则该圆运动的时间为（)A．3秒或6秒B．6秒或10秒C．3秒或16秒D．6秒或16秒3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3 13寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π=3），则圆柱底周长约为（注：圆柱体的体积=底面积×高）（）A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺4．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线y=ax2+bx+ 2(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当b a的值确定时，抛物线的对称轴上能使⊥AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．当ba满足（）时，抛物线y= ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在4个不同的点M，使⊥AOM为直角三角形.A．0<ba<2B．−8<ba<2C．−3≤ba<0D．−6≤ba<05．如图，点E为ΔABC的内心，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若AB=7，AC=5，BC=6，则MN的长为（）A．3.5B．4C．5D．5.5 6．已知抛物线y＝a(x﹣3)2+254过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊥D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊥D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊥D相切。

专题15动点最值之阿氏圆模型背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P 在一个以O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP ∽△POA，，∴对于圆上任意一点P 都有.对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A 、B点，则需【技巧总结】计算PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OPk OB③在OB 上取一点C ，使得OC k OP ，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB，PC k PB ④则=PA k PB PA PC AC ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（）A ．7B ．C ．4D ．【答案】B【详解】如图，在CA 上截取CM ，使得CM ＝1，连接PM ，PC ，BM ．∵PC ＝3，CM ＝1，CA ＝9，∴PC 2＝CM •CA ，∴PC CMCA CP，∵∠PCM ＝∠ACP ，∴△PCM ∽△ACP ，∴13PM PC PA AC ，∴PM 13 PA ，∴13AP +BP ＝PM +PB ，∵PM +PB ≥BM ，在Rt △BCM 中，∵∠BCM ＝90°，CM ＝1，BC ＝7，∴BM ，∴13AP +BP ∴13AP +BP 的最小值为．故选：B ．例2.在ABC 中，AB =9，BC =8，∠ABC =60°，⊙A 的半径为6，P 是A 上一动点，连接PB ，PC ，则32PC PB 的最小值_____________73PB PC 的最小值_______【答案】21【详解】①连接AP ，在AB 上取点Q ，使AQ =4，连接CQ ，∵⊙A 的半径为6，即AP =6，∴23AB AP ，又6923AP AB ，且PAQ BAP ，∴APQ ABP ∽，∴23PQ AP P AB B ，∴23PQ BP ，∴ 232333PC PB PC BP PC PQ，当P C Q 、、三点共线时，PC PQ 的值最小，最小值为CQ 的长，过C 作CI ⊥AB 于I ，∴90CIB CIQ ，在Rt △CIB 中，∵60CBI ，BC =8，sin CI CBI BC，∴CI∴4BI ，9441QI AB AQ BI ，在Rt △CIQ 中，7CQ ，∴32PC PB 的最小值为 321PC PQ ；故答案为：21；②连接AP ，由①得：在Rt △CIA 中，AC在AC 上取点G ，使AG ，连接PG ，BG ，∴73673AG AP ，∵67373AP AC ，∴P P AC A AG A ，且GAP PAC ，∴AGP APC ∽，∴73GP AG A P P C，∴73GP PC，∴73PB PB GP ，当G P B 、、三点共线时，PB GP 的值最小，最小值为BG 的长，过G 作GH ⊥AB 于H ，∴90GHA GHB ，在Rt △CIA 中，sin C CI AI ACRt △GAH 中，sin GH GAH AG∴GH ，∴18073AH，180********BH AB AH ，在Rt △GHB中，73BG ，∴73PB PC的最小值为73．故答案为：73．例题3.如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【解析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．【变式训练1】如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ，B 的半径为2，P 为B 上一动点，则12PD PC 的最小值_______．PC PD 的最小值_______3【详解】①如图，在BC 上取一点G ，使得BG =1，连接PB 、PG 、GD ，作DF ⊥BC 交BC 延长线于F ．∵221PB BG ，422BC PB ，∴PB BC BG PB ，∵PBG PBC ，∴PBG CBP ，∴12PG BG PC PB ，∴12PG PC ，∴12PD PC DP PG，∵DP PG DG ，∴当D 、P 、G 共线时，PD +12PC 的值最小，最小值为DG ，在Rt △CDF 中，∠DCF =60°，CD =4，∴DF =CD •sin CF =2，在Rt △GDF 中，DG ；②如图，连接BD ，在BD 上取一点M ，使得BM 连接PB 、PM 、MC ，过M 作MN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是菱形，且60ABC ，∴AC ⊥BD ，∠AOB =90 ，∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30 ，∴AO =12AB =2，BO ∴BD =2BO =∴326BM PB ，6PB BD，∴BM PB PB BD ∠MBP =∠PBD ，∴△MBP ~△PBD ，∴PM PB PD BD∴PM ，∴PC PC PM MC ，∴当M 、P 、C 共线时，PC 的值最小，最小值为CM ，在Rt △BMN 中，∠CBO =30 ，BM ∴MN =12BM BN 12 ，∴CN =4-1722，∴MC，∴PC 的最小值为1113．【变式训练2】如图，正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上一动点，则的最小值为，的最大值为.【答案】最小值为5，最大值为5【解析】在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PG 、DG ，如图所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，；当点P在DG的延长线时，DG，最大值为5.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.【答案】5【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：∵OP ＝2，OA ＝4，OK ＝1，∵∠POK ＝∠AOP ，∴△POK ∽△AOP ，在△PBK 中，，的最小值为BK 的长，∵B （4，4），K （1，0），，∴的最小值为5.【变式训练4】如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60 ，A 与BC 相切于点E ，在A上任取一点P ，则2PB PD的最小值为___________．【答案】2．【详解】解：在AD 上截取AH =1.5，连接PH 、AE ，过点B 作BF ⊥DA 延长线，垂足为F ，∵AB =2，∠ABC =60°，∴BE =AF =1，AE =BF ，∴3AP AD AH AP，∵∠PAD =∠PAH ，∴△ADP ∽△APH ，∴3DP AD PH AP，∴PH ，当B 、P 、H 共线时，PB 的最小，最小值为BH 长，BH课后训练1.如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP 的最小值为（）A BC D 【答案】C【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，∵2AD BC BP ，4AB ，∴2142BP BA ，∵G 是BE 的中点，∴12BG BP ，∴BP BGBA BP，∵PBG ABP ，∴BPG BAP ，∴12PG BP AP BA ，∴12PG AP ，则12AP DP PG DP ，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长，DG C ．2.如图，在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，2）、C （4，0）、D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ＝135º，则2PD ＋PC 的最小值是.【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：∠POC＝∠EOP，∴△POC∽△EOP，，，，当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，的最小值为2DE.3.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4．C 的半径为2，点P是C 上一动点，则12AP BP的最小值______________23PB PA的最小值_______【详解】①在BC 上取点D ，使CD =14BC =1，连接AD ，PD ，PC ，由题意知：PC =2，∵12DC PC PC BC ，∠PCD =∠BCP ，∴PDC BPC ∽，∴12PD PB ，且12PA PB PA PD AD，∴AD∴2PA PB ；②在AC 上取点E ，使CE =43，连接PE ，BE ，PC ，∵42323CE PC ，23PC AC ，∴23CE PC PC AC ，且∠PCE =∠ACP ，∴PEC APC ∽，∴23PE PC PA AC ，∴23PE PA ，∴23PB PA PB PE BE ，∴BE ∴23 PB PA 的最小值为3，故答案为：3．4.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB上一动点，求的最小值.【答案】【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时＋PD的值最小，最小值为.5.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．6.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【解答】（1）；（2）m＝2；（3）【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴＝4，∴a．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵NE∥OB，∴AN（4﹣m），∵抛物线解析式为，∴PN＝﹣（）＝，，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，，∴M′E′＝BE′，∴AE BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．。

2023年中考数学高频考点突破--圆的动点问题一、单选题1．如图，在ΔABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．6B．2√13+1C．323D．92．如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2√3，点P是△ABC内部一动点，总满足∠APC=150°，连接BP，则BP的最小值为（）A．2√7−4B．2√31−8C．4−√3D．23√183−83√3 3．点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．2 √2＋1B．2 √2＋2C．4 √2＋1D．4 √2-24．如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的∠B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P. 当点C在∠ B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值是（）A．23B．√53C．6√55D．√525．如图，A是∠B上任意一点，点C在∠B外，已知AB＝2，BC＝4，∠ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4 √3＋4B．4C．4 √3＋8D．66．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．6√2B．10C．7.2D．6√37．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O 作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．12B．√22C．√32D．18．已知∠O的半径为3，A为圆内一定点，AO＝1，P为圆上一动点，以AP为边作等腰∠APQ，AP ＝PQ，∠APQ＝120°，则OQ的最大值为（）A．1+3√3B．1+2√3C．3+√3D．3√3−19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，且CF= 2，点E为射线CB上一动点，连接EF．将△CEF沿直线EF折叠，使点C落在点P处，连接AP，BP，则△APB的面积最小值为（）A．3B．6C．245D．1210．如图，在ΔABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心作半圆，使BC与半圆相切，点P,Q分别是边AC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．8B．9C．10D．1211．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4√3+4B．4√3C．4√3+8D．6√312．如图，在等边∠ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE 交于点F，连接CF，则CF的最小值是（）A．3B．2 √3C．4D．3 √3二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点A (2√3，0)，点B (−6√3，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝30°时，点C的坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的∠O与x轴的正半轴交于点A，点B是∠O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为.15．如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA 方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过秒后，ΔAPC为等腰三角形．16．如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB̂异于A，B的两点，C是MN̂一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是．三、综合题17．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形ABCD的四条边与坐标轴平行，顶点A、B 分别在第一象限、第二象限，对角线AC、BD的交点与坐标原点O重合，当正方形ABCD的边上存在点Q，满足PQ≤2时，称点P为正方形ABCD的伴随点．（1）点A的坐标为点，B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．（2）当正方形ABCD的伴随点P的坐标为(3，0)时，点Q的坐标可以为（写出一个即可）．（3）在点P1(0，0)、P2(5.5，5.5)、P3(−4，2)、P4(1，−2)中，正方形ABCD的伴随点是．（4）点P在直线y=x上．若点P为正方形ABCD的伴随点，直接写出点P横坐标m的取值范围．18．如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=12cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s 的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t(s)，其中0<t<12．（1）若tan∠OCQ =13，求t 的值；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求t 的值；（3）若△OPQ 的内心为点I ，求线段IC 长度的最小值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M(a ，b)，N.对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移|a|个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点M(1，1)，点N 在线段OM 的延长线上，若点P(−2，0)，点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T.求证：NT =12OM ；（2）⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON =t(12<t <1)，若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ.当点M 在⊙O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）20．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝60cm.动点P 以6cm/s 的速度在矩形ABCD 的边上沿A→D 的方向匀速运动，动点Q 在矩形ABCD 的边上沿A→B→C 的方向匀速运动.P 、Q 两点同时出发，当点P 到达终点D 时，点Q 立即停止运动.设运动的时间为t （s ），∠PDQ 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数图象如图②所示.（1）AB＝cm，点Q的运动速度为cm/s；（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的∠O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止.①当点O在QD上时，求t的值；②当PQ与∠O有公共点时，求t的取值范围.答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】B13．【答案】(0，12+6√5) 或 (0，−12−6√5) 14．【答案】815．【答案】145 或4或516．【答案】√217．【答案】（1）(3，3)；(−3，3)；(−3，−3)；(3，−3)（2）(3，1) 答案不唯一 （3）P 3 、 P 4（4）解：如图符合条件的临界点P 有4个，如图，过点 P 5 作 P 5E ⊥x 轴于E ，过点 P 6 作 P 6F ⊥x 轴于F ，∵点P5，点P6在y=x上，∴∠P5OE=45°，∵正方形ABCD边长为6，∴OG=AG=3，∴OA=3√2，P6F=OF=1，∴OP5=3√2+2，∴OE=P5E=√2+2√2=3+√2，∴P5(3+√2，3+√2)，P6(1，1)，∴1≤m≤3+√2，同理可得P7(−1，−1)，P8(−3−√2，−3−√2)，∴−3−√2≤m≤−1，综上，−3−√2≤m≤−1或1≤m≤3+√2．18．【答案】（1）解：由题意得：OQ=t，OP=12−t，∠MON=90°，∵OQ⌢=OQ⌢，∴∠OPQ=∠OCQ，∴tan∠OPQ=tan∠OCQ=1 3，在Rt△OPQ，tan∠OPQ=OQ OP，∴t12−t=13，解得：t=3；（2）解：∵∠BPC=∠QOC，∠PBC=∠POC+∠OPQ，∵∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，∴∠QOC=∠POC=12∠MON=45°，∴∠BPC=45°，∠PBC>45°，∴当△PBC为等腰三角形时，则PB=PC或BC=BP，当PB=PC时，则∠PBC=∠PCB，如图，作BH⊥OQ，BG⊥OP，∵∠PCB=∠OQB，∠PBC=∠OBQ，∴∠OBQ=∠OQB，∴OB=OQ=t，∵∠QOC=∠POC=12∠MON=45°，∴BH=BG=√22t，∵S△OPQ=S△OBQ+S△OBP，∴12OQ⋅OP=12OQ⋅BH+12OP⋅BG，即：12t⋅(12−t)=12t×√22t+12(12−t)×√22t，解得：t=12−6√2；如图，当BC=BP时，则∠BPC=∠BCP=∠QOC=45°，∴∠OQP=∠BCP=45°，∴∠OPQ是等腰直角三角形，∴OP=OQ，即：12−t=t，解得：t=6；综上所述，当△PBC为等腰三角形时，求t的值为12−6√2或6.（3）解：设PQ的中点为D，∵△OPQ的内心为点I，OC平分∠MON，∴点I在OC上，∴ID+CD≥IC，∴当点I、D、C共线时，即点D与点B重合时，线段IC长度的值最小，如图，过点I作IE∠OQ于E，IF∠OP于F，∵点B为PQ中点，为圆心，∴OC为圆的直径，∴∠OPC=∠OQC=90°，∴∠OCP=∠POC=45°，∵∠OCP=∠OQP，∴∠OQP=∠OPQ=45°，∴OP=OQ，OB∠PQ，∴IE=IF=IB，即：12−t=t，解得：t=6；∴OC=√2OQ=6√2，OB=BC=3√2，∵∠QOC=45°，∴OI=√2EI，∵EI=FI=BI，OB=OI+BI，∴OB=√2BI+BI，即：3√2=√2BI+BI，解得：BI=6−3√2，IC=BC+BI=6−3√2+3√2=6，∴线段IC长度的最小为6．19．【答案】（1）解：①点Q如下图所示．∵点M(1，1)，∴点P(−2，0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P′，∴P′(−1，1)，∵点P′关于点N的对称点为Q，N(2，2)，∴点Q的横坐标为：2×2−(−1)=5，纵坐标为：2×2−1=3，∴点Q(5，3)，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON至点A(3，3)，连接AQ，∵AQ//OP，∴∠AQT=∠OPT，在ΔAQT与Δ∠OPT中，{∠AQT =∠OPT∠ATQ =∠OTP AQ =OP，∴ΔAQT ≅ΔOPT(AAS)，∴TA =TO =12OA ， ∵A(3，3)，M(1，1)，N(2，2)，∴OA =√32+32=3√2，OM =√12+12=√2，ON =√22+22=2√2，∴TO =12OA =32√2， ∴NT =ON −OT =2√2−32√2=√22， ∴NT =12OM ； （2）解：PQ 长的最大值与最小值的差为4t −2．20．【答案】（1）30；6（2）解：①如图1，设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，当点O 在QD 上时，QC ＝AB+BC ﹣6t ＝90﹣6t ，OF ＝4t ，∵OF∠QC 且点F 是DC 的中点，∴OF ＝12QC ， 即4t ＝12（90﹣6t ）， 解得，t ＝457； ②设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，∠O 与AD ，BC 的切点分别为N ，G ，过点Q 作QH∠AD 于H ，如图2﹣1，当∠O 第一次与PQ 相切于点M 时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴∠QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP＝√2QH，∴150﹣20t＝30√2，；∴t＝15−3√22如图2﹣2，当∠O第二次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴∠QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，∵QP＝√2QH，∴20t ﹣150＝30√2，∴t ＝15+3√22， 综上所述，当PQ 与∠O 有公共点时，t 的取值范围为：15−3√22≤t≤15+3√22.。