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《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费

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第五章均衡净保费和毛保费

第五章均衡净保费和毛保费

P1 x：n
A1 x：n
ax：n (M x M xn ) (Nx Nxn )
Px：n Ax：n ax：n (M x M xn Dxn ) (Nx Nxn )
h Px Ax ax：h M x (Nx Nxh )
h Px：n Ax：n ax：h (M x M xn Dxn ) (Nx Nxh )
l(T )
vt
P
(
Ax
)a t
(2)E(L)
0
Ax
P ( Ax )ax
0
P ( Ax )
Ax ax
(3)Var(L)
Var[vt
(1
P
)
P
]
(1
P
)2[2Ax
( Ax
)2
]
（ax ax
Ax
）2[2Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2
(ax )2
常见险种的完全连续净均衡保费总结
P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1)P ( Ax ) (2)Var(L)
例5.1答案
根据例4.1，已知ax 10, Ax 0.4， 2 Ax ( Ax )2 0.09 所以
(1)P( Ax )
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax
,
m Ax ,
A1 x:n
,
m n Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
A1 x:n

中南大保险学第十二章 保险精算(含答案)

中南大保险学第十二章 保险精算(含答案)

中南大保险学：第十二章保险精算（含答案）一、填空题1、寿险精算的两个基础是___、___。

2、寿险精算的三个要素是___、___、___。

3、D x ＝___，C x ＝___。

4、N x ＝ ___，M x ＝ ___。

5、S x ＝ ___，R x ＝___。

二、名词解释1、大数法则2、生命表3、利息表4、换算函数表5、责任准备金6、保险精算学7、寿险精算学8、非寿险精算学三、问答题1、寿险精算和非寿险精算的基本任务有哪些?2、“大数”的测定有何作用?3、为什么要区分理论责任准备金和实际责任准备金?4、保险精算学有哪两大组成部分?5、保险精算的产生以什么为标志?6、保险精算学是什么时候引入我国的?7、保险精算的基本任务有哪些?8、保险精算的基本原理是什么?9、何为收支平衡（相等）原则?10、理论责任准备金与实际责任准备金的区别何在?11、有哪几种收支平衡等式?12、常见的有哪几种大数法则?13、非寿险精算的基本内容是什么?14、非寿险费率的厘定方法是什么?15、大数的测定有何作用?16、什么是财务稳定性分析?17、如何决定再保险中的自留额与分保额?18、寿险精算的基本内容是什么?19、寿险精算主要解决什么问题?20、何为单生命保险和多生命保险?21、寿险精算的思想方法是什么?22、精算现值的含义是什么?23、符号l x 、d x分别表示什么?24、符号p x 、q x分别表示什么?25、符号t p x 、t q x分别表示什么?26、1＋i ， v ＝（ 1＋i ）－1分别是什么?27、（1＋i ） t ， v t ＝（ 1＋i ）－ t分别是什么?28、常用的寿险趸缴纯保费的计算公式有哪些?29、常用的年金保险的趸缴纯保费的计算公式有哪些?30、常用的均衡纯保险费的计算公式有哪些?附：参考答案一、填空题1、利息理论（利息表）、寿命分部理论（生命表）2、利率、死亡率、费用率二、名词解释1、对于大量的随机现象（事件），由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。

寿险精算 第五讲 均衡纯保费

寿险精算 第五讲 均衡纯保费

]
Pr[(1 v)10000vK 1 1 1vK 1] Pr[((1 v)10000 1)vK 1 1]
Pr[vK 1
1
] Pr[(K 1) ln v ln(
1
)]
(1 v)10000 1)
(1 v)10000 1)
Pr[K 1 ln(
1
) / ln v] Pr[K ln(
• 厘定过程：
(1)
L
l(T
)
vt
P(
Ax
)a k
1
(2)E(L) 0 Ax P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
Mx ， Nx
(3)Var(L)
(1
P )2[
2
Ax
( Ax
)2
]
• 在UDD 假设条件下:
Ax
i
Ax
P(
Ax
)
i
Ax ax
i
Px
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
50.12
K 1
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
EL
E
v
K
1
1
Px d
Px d
Ax
1
Px d
Px d
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
（3）趸缴纯保费终身寿险 趸缴纯保费终身寿险，是在签单时一次将保费缴清的终
身寿险，为限期缴清的特殊情形
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费 第三章 均衡纯保费
§3.1 均衡纯保费计算的平衡原理 3.1.1 人寿保险模型的种类
完全离散净均衡保费
死亡年末给付

保险精算-第6章1-期缴纯保费与营业保费

保险精算-第6章1-期缴纯保费与营业保费

n
Ex
a
x:h|
x:h|
x:h|
ax
1 ax
n年期两全保险年缴均衡纯保费与n年期生存年金精算
现值之间的关系
P(A
A 1 a
) x:n|
x:n|
1
x:n|
ax:n|
ax:n|
ax:n|
h年限期缴费n年期定期寿险年缴均衡纯保费与生存年
金精算现值之间的关系
h
P
(
A1 x:n|
)
A1 x:n|
a
A x:n| a
A1 x:n|
1
a x:n|
)Y ]
Var[Z
P( Ax：n
)1 Z
]
Var[(1
P( Ax：n
) )Z
P( Ax：n
) ]
(1
P( Ax：n
) )2[ 2 Ax：n
( Ax：n
)2 ]
注：Var(L) (1
P
(
Ax：n
)
)2
[
2
Ax：n
( Ax：n )2 ]
A 2 x：n
( Ax：n
)2
( ax：n )2
完全连续型年缴纯保费（全期缴费）
生存年金给付的现值随机变量
Z
0,T n aT n| vn ,T
n
n年纯保费缴付的生存年金现值随机变量
Y
aT | , T an| , T
n n
E(Z )n
a
x
A1 x:n|
a xn,
E(Y )
a x:n|
延期n年终身生存年金的年缴均衡纯保费(n年限期缴费)
P(n ax )
E(Z) E(Y )

保险精算 第6章2 期缴纯保费与营业保费

保险精算 第6章2 期缴纯保费与营业保费
A40：20 | 40：20 | a


dA40：20 | 1 A40：20 | 40：20 | 1 da
40：20 | a
0.029
P40：20 |
1
A40：20 |
1
0.029
40：20 | a
A60 dA60 P60 0.034 60 1 A60 a
P K 1 P Pr (1000 )v d d
0 .4
m
书P116， 3
1 已知P40：20 | 0.029 ，P40 0.005 ， P60 0.034 ，i 6%, ： 20 |
40 求 a
解： P40：20 |
P40：20 |
A40：20 | 40：20 | a
Px：n | n Px Px：n | (1 Axn )
1
书P116，2
有两份寿险保单，一份为（40）购买的保额为2000元、 趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于死亡年 末给付；另一份为（40）购买的保额为1500元、年缴 保费P的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的 给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时保 险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P的值。
书P116，9
20 ) 1.5， 已知 P(10 | a P 0.04， 10 20 计算P20 。
答案
K 1| L 1000 v K 1 P a
K1| 0 Pr(L 0) Pr 1000 v Pa
K 1


P P Pr ( K 1) ln v ln( 1000 ) d d
P P ln( 1000 ) d d 1 Pr K ln v

分期纯保费与毛保费.

分期纯保费与毛保费.

1

vT
)

Var[vT .(1 p )]


Var(vT ).(1 p )2


(2Ax

Ax2 ).(1
p )2


Var(L)
2 Ax Ax2

( a x )2
例：已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求 (1)P( Ax )

解：

P(Ax )
解：1、每个保单的亏损为：
..
L(c ) 1000v K 1 c a K 1
[1000 c ]v K 1 c
d
d
2、期望值与方差为：
E[ L( c
)]

[1000

c d
]A25

c d
Var[ L( c
)]

[1000

c d
]2Var(v K 1 )

Nx

N xn
b e 0.1t dt
0

0.04
lim(
b
1 0.1
e 0.1t
)
|b0

ax
0
v
t
.t
p
x
dt

lim(
b
1 0.1
e 0.1t
)
|b0
10
0.4


Var(L)
2 Ax Ax2

( a x )2

2Ax
t
0
e

2t
.e

0
纯保费厘定原则——平衡原则：

均衡净保费和毛保费

h
P ( Ax ) Ax ax： h
P ( Ax： ) Ax： ax： n n h
h
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
例5.1

已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
n年生存保险
m年递延终身生存保险
x ) Ax:1 x:m Dx m N x m ( N x N x m ) P( m a a a m xm
例5.2

设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 1
k
q0
4
k 0,1,2,3

在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年 初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时， 计算保险人亏损现值的期望值与方差 （i=6%）。
常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险
n年定期寿险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax ) A ax： ： n x： n n
n年两全保险
h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
例5.2答案
k 1 (1 (1) L v k 1 Pa E ( L) 0 [(1
k 0 3
P k 1 P )v d d
P k 1 P 1 P P )v ]k q0 0 [(1 )a4 0.06 4 ] 0 d d 4 d d

按保险的种类分：

常见险种的趸缴纯保费

保险精算课件(毛保费、准备金及非寿险)


5%
300.9146 1010.089 2113.979 3559.155 5241.886 6912.118 8277.164
6%
52.16807 656.3789 1658.925 3051.96 4761.409 6535.802 8039.333
7%
-99.6104 412.7306 1314.783 2639.422 4346.693 6195.168 7816.236
第1节 附加费用分类
1、理论上计算毛保费，等于纯保费加上附加费用，似 乎需要先计算费加费用。但实际当中的计算，通 常并不是上述这样算，而是运用收支平衡合理原 理，同意将毛保费纳入收支平衡表中考虑。 2、考虑毛保费时需要留有余地，考虑安全加成（即利 率、死亡率和费用率保守估计），同时还要考虑 利润及分红因素。
第2节 毛保费率
练习： 某40岁的人投保20年缴费的终身保险，保额为 5万元，其附加费用为首年100元加毛保费的50% 提取，续年按每单30元固定费用和3%的毛保费 提取，一旦死亡，按100元固定费用和保额的 0.2%提取，求毛保费。
第2节 毛保费率
1、毛保费率公式推导 2、毛保费率确定的三种方法 1、保单费法 2、带状法 3、警示费率法

第二节 准备金计算方法
7.2.1 准备金的未来法公式 练习：某20岁的人投保延期40年期的终身年 金保险，保额1万元，保费分20年每年年初 缴纳，保险金年初支付，试计算：（1）投 保人年缴纯保费是多少？ （2）投保第12 年末的责任准备金。（3）投保第25年末的 责任准备金。

第二节 准备金计算方法

图1 发行给0岁人-50年期 1000元定期保险的期末准备金
准备金 60 50 40 30 20 10 0

毛保费

精算等价原则毛保费精算现值纯保费精算现值附加费用精算现值各种给付的精算现值各种费用支出的精算现值在确定附加费用时一般只考虑保险费用而以投资费用冲销投资收益体现在保费计算中则适当降低预定收益率即预定利率
15.3 毛保费的计算
陈云霞（11201918） 戴雯怡（11201919）
保费的构成
毛保费 （购买费用）



例如，某团体保险的保费为300000元，则佣金 为：50000×10%＋100000×5%＋150000×3% ＝14500元 3.保费税（营业税） 我国保险业的营业税为8%，在定价中通常使用 的方法是将营业税假设直接计算在毛保费中。 在某些国家各地区的营业税不同，或者采用平 均营业税假设，或者对不同地区找其实际营业 税直接计算。
15.4.2估计赔款准备金应考虑的因素




3.外部影响(具体看书的P479) 4.保单条款 5.保险特点 6.趋势 7.季节 8.经济条件
15.4.3计算方法



1.因子方法 2.延迟或改进法 3.表方法 4.平均赔款额方法 5.损失比率方法


①保费比例；②赔付的比例；③每保单； ④每雇员；⑤每个赔款等。竞争因反映 在费用收取基础的选择之中。 2.佣金 团体保险通常是通过代理人和经纪人进 行销售的，保险公司支付他们的佣金。 佣金可以不同的方式反映服务的价值， 主要有工作的表现，其他公司的，一般 支付标准及消费者愿意支付的数额等。


4.投资收益 投资收益主要来源于资产和准备金的投资。公 司使用的投资回报率假设是平均投资组合回报 率。投资收益在定价中可反应为：①明确的利 率；②抵冲费用；③抵冲风险和利润等。 5.风险和利润成本 风险和利润成本的大小依赖于风险的等级。风 险等级依赖于规模、给付水平等，不同规模 （团体的大小）保单所面临的风险有所不同， 通常小团体的风险大于大团体的风险，因此附 加的比例也有所不同。

保险精算基础知识点总结

满期保费：保单年指从保单生效日起至统计区间末已经满期的那部分保费。

满期保费＝保费收入×【min（统计区间末，保险责任终止日）－保单生效日】/【保险责任终止日－保单生效日】。

满期保费通常是针对一张保单或者是在一个承保年度内起保的所有保单而言。

已赚保费：财务年指在统计区间内所有有效（包括在整个区间有效或在部分区间有效）的保单在统计区间内已经经过的那部分保费。

已赚保费＝统计区间保费收入＋统计区间期初未到期责任准备金－统计区间期末未到期责任准备金。

已赚保费是计算统计区间承保利润的基础。

反映了新承保保单和部分历史保单的保费对于核算区间的收入贡献。

通常在业务保持增长的情况下，已赚保费低于保费收入。

已发生未报告未决赔款准备金（IBNR）：指截止至统计区间末已经发生但尚未接到报案的案件的精算评估金额。

广义的IBNR还包含已发生未立案准备金、未决估损不足准备金、重立案件准备金以及理赔费用准备金。

其中已发生未立案准备金是指为保险事故已经报告但未记录到理赔系统的案件提取的准备金；未决估损不足准备金是指最初立案金额与最终实际赔付之间的差额；重立案件准备金是指已赔付案件，出现新的信息，赔案被重新提起并要求额外增加赔付；理赔费用准备金是指为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。

其中为直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的为直接理赔费用准备金；为非直接发生于具体赔案的费用而提取的为间接理赔费用准备金。

未到期责任准备金：指对在统计区间末仍然有效的保单的尚未终止的保险责任提取的保费责任准备金。

每张保单的未到期责任准备金＝保费收入×【该保单的保险责任终止日－统计区间末】/【该保单的保险责任终止日－保单生效日】。

上述计算方法为三百六十五分之一法。

统计区间末的未到期责任准备金为在统计区间末仍然有效的所有保单的未到期责任准备金之和。

未到期责任准备金是计算统计区间已赚保费的基础纯风险保费：纯风险保费＝出险频度×案均赔款×损失发展因子×趋势发展因子【损失发展因子：损失在未来的发展。

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《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费
第一节保费简介
一、保费的构成
二、保费的分类
1、按保费缴纳的方式分：
一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费
以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费
2、按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费
只覆盖生存的保险：生存险保费
既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：
（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
终身寿险趸缴纯保费：
年延期终身寿险趸缴纯保费：
年定期寿险趸缴纯保费：
年延期年定期寿险趸缴纯保费：
（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）
年定期生存险趸缴纯保费：
终身生存年金趸缴纯保费：
年延期终身生存年金趸缴纯保费：
年定期生存年金趸缴纯保费：
年延期年定期生存年金趸缴纯保费：
（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）
年定期两全险趸缴纯保费：
第二节净均衡保费
一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系
1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。

L=给付金现值-纯保费现值
E（L）=0
E（给付金现值）=E（纯保费现值）
2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系
E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
二、各险种净均衡保费的厘定
1、完全连续净均衡年保费的厘定
（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定
Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）
Ø厘定过程：
Ø
（2）常见险种完全连续净均衡年保费总结
完全连续净均衡年保费
年定期寿险
年两全保险
年缴费终身人寿保险
年缴费年两全保险
年生存保险
年递延终身生存保险
2、完全离散净均衡年保费的厘定
（1）终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定
Ø假定条件：死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散）
Ø厘定过程：
Ø
（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定
年定期寿险
年两全保险
年缴费终身人寿保险
年缴费年两全保险
年生存保险
年递延终身生存保险
3、半连续纯年保费的厘定
（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定
Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）
Ø厘定过程：
完全连续净均衡年保费
年定期寿险
年两全保险
年缴费终身人寿保险
年缴费年两全保险
年生存保险
年递延终身生存保险
4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定
Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保
单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）
Ø 厘定过程：
二、毛保费的确定
1、毛保费的定义：
保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为：G
2、毛保费厘定原则
基本原则：精算等价原则
毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用的精算现值
=各种给付精算现值+各种费用支出精算现值
三、单位保单费用
1、保单费用：在保险费用中，有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。

2、毛保费的分析
（1）毛保费可分为三部分：
第一部分：跟保险金额有关的费用，如承保费用等
第二部分：跟保费数额有关的费用。

如代理人佣金、保险费税金等
第三部分：只与保单数目有关的费用（保单费用）。

如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等。

（2）毛保费构成分析
其中：
：保险金额为的保单的毛保费。

：保险成本中与保险金额相关的部分，其中单位保险的纯保费是它的主要部分。

：每份保单平摊的费用，即单位保单费用。

：附加费用在毛保费中所占的百分比。

3、费率函数
（1）定义
（2）近似费率公式
如果，近似总保费等于真实总保费。

如果，近似总保费高于真实总保费。

如果，近似总保费低于真实总保费。

（2）带状费率公式
根据保险面额不同，分成不同的“bands”（区间带）
如果，近似总保费等于真实总保费。

如果，近似总保费高于真实总保费。

如果，近似总保费低于真实总保费。