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新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
3、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。
AED 1CB 1DAAHGFEDCB AEDBC4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACDSDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CA1NMPCBA9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
10、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .11、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．14、如图1,在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．18．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC ⊥BC ． (1) 求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2) 若AB1⊥A1C ，求线段AC 与AA1长度之比；(3) 若D 是棱CC1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB1C1？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．AC111。
立体几何证明题1、已知直线a ，b 和平面，且a b ，a ，则b 与的位置关系是2、已知直线l平面，有以下几个判断：①若m l ，则m//；②若m，则m l //；③若m//，则ml ；④若m l //，则m．上述判断中正确的是（）A 、①②③ B 、②③④C 、①③④D 、①②④3如图，正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）A ．90°B ．45C ．60°D ．30°4、如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD//平面MAC5、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF//平面11BB D D6、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，AB=5,点D 是AB 的中点，（I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 17、如图所示，ABCD 为正方形，SA 平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于E ，F ，G ．CDABM P1A 1B 1D 1C FEABC D FECBAs求证：AE SB AG SD，8、如图，直角ABC△所在平面外一点S，且SA SB SC，点D为斜边AC的中点．（１）求证：SD平面ABC；（２）若AB BC，求证：BD面SAC9、在四棱锥P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD；AB=BC=1，AD=2求证：平面PCD⊥平面PAC。
10、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥12BC（I）证明FO∥平面CDE；（II）设3BC CD，证明EO平面CDF11、已知正方体1111ABCD A B C D，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）OC1//面11AB D；（2 ）1AC面11AB D．SA BCFEDGASCBDD1ODBAC1B1A1CAB CDEFO12、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B（Ⅰ）证明：平面1AB C平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是11A C 上PABC 的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值.13、图，在三棱锥中，AB AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）已知8BC ，4PO ，3AO ，2OD ．求二面角B APC 的大小．14、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥AC,AB=2，CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE15、如图1，在直角梯形CD 中，D//C ，D2，C 1，D2，是D 的中点，是C 与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．（I ）证明：CD平面1C ；（II ）若平面1平面CD ，求平面1C 与平面1CD 夹角的余弦值．16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点 F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论．17、如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，⑴求证：DF∥平面ABC；⑵求证：AF⊥BD。
高中数学立体几何10道大题1.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC垂直于面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SB=SC=3.1) 证明平面SCD与平面SAB的交线l平行于AB；2) 证明SA垂直于BC；3) 求直线SD与面SAB所成角的正弦值。
2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P为其顶点，O为其中心，PO平行于AB且PO=2，M为PD的中点，AD=AC=1，O为AC的中点。
1) 证明PB平行于平面ACM；2) 证明AD在平面PAC上；3) 求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。
3.在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD均为等边三角形。
1) 证明CD垂直于平面PBD；2) 求二面角CPBD的平面角的余弦值。
4.在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，AC垂直于AD，ABCD为梯形，AB平行于DC，AB垂直于BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB。
Ⅰ) 证明平面PAB垂直于平面PCB；Ⅱ) 证明PD平行于平面EAC；Ⅲ) 求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值。
5.在图中，矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD与平面ABPE的交线为AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE垂直于AB，且AE平行于BP。
1) 在面ABCD内是否存在点N，使得MN垂直于平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；2) 求二面角D-PE-A的余弦值。
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC垂直于侧面A1BB1，且AA1=AB=2.1) 证明AB垂直于BC；2) 若直线AC与平面A1BC所成角为α，求锐二面角AAC1B的大小。
7.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面VAD 为正三角形，平面VAD垂直于底面ABCD。
高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。
1）证明EFGH是平行四边形。
2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。
1）证明AB垂直于平面CDE。
2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
证明A1C平行于平面BDE。
4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。
证明AD垂直于面SBC。
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。
1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。
2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。
8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。
证明BD垂直于平面ACD。
9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。
1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。
证明平面D1EF平行于平面BDG。
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
1）证明A1C平行于平面BDE。
2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。
12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
立体几何证明题练习1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点求证：EFGH 是平行四边形2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE ；（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
3、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。
A 1ED 1C 1B 1DCB AA H GFEDCBA E BC4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证： C 1O ∥面11AB D ；6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）平面B ’D ’DB ⊥平面ACB ’ .SDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1C7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；8、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .9、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .A110、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面P AE ．11、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D12、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；AC。
立体几何选择题：一、三视图考点透视：① 能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ② 通过三视图计算空间几何体的体积或表面积•③ 解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 1. 一空间几何体的三视图如图 2所示, 该几何体的体积为AJ ，3则正视图中X 的值为（ ）A. 5B.4C. 3D. 22. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为3. _________________________________ 如图4,已知一个锥体的正视图（也称主视图） 别为3, 4, 6,则该锥体的体积是 4 _____________________ .4•某四棱锥的三视图如图 1 — 1所示，该四棱锥的表面积是 （B ） A . 32 B . 16+ 16 .2 C. 48 D . 16 + 32 2二、直观图掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变；② 平行于y 轴的长度为原来的一半， X 轴不变； ③ 新坐标轴夹角为 45°或135 °。
1、禾U 用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）不要求记忆，但要会使用公式。
审题时分清“表面积”和“侧面积” 。
（1） 圆柱、圆锥、圆台的侧面积，球的表面积公式。
（2） 柱、锥、台体，球体的体积公式。
（3） 正方体的内切球和外接球：内切球半径？ 外接球直径？ （4） 扇形的面积公式 S =1Ir =丄十弧长公式IXr2 21、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面积为（）A. 84-B. 144 - C . 36 二D. 24 二Q ∖ [ħΔ ΛABC D 正视图 左视图正视图俯视图4 =►,左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分 A .正三角形的直观图仍然是正三角形. B. 平行四边形的直观图一定是平行四边形. C. 正方形的直观图是正方形.D .圆的直观图是圆 2、如图，梯形 A I BCD 是一平面图形=1 ,则梯形ABC 啲面积是（）ABC [的直观图（斜二测），若 AD // Oy 1, AB // CD , AB = 2, GD = 3 D . 10 I 2二、表面积和体积 AD俯视图2、 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥” 。
高中数学立体几何证明题练习卷立体几何作为高中数学的重要组成部分，其中的证明题对于同学们的空间想象能力、逻辑推理能力以及数学语言的运用能力都有着较高的要求。
为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，提高解题能力，特编制此练习卷。
一、选择题1、已知直线\（a\），＼（b\）和平面\（＼alpha\），若\（a\perp b\），＼（a\perp\alpha\），则（）A ＼（b\parallel\alpha\）B ＼（b\subset\alpha\）C ＼（b\perp\alpha\）D ＼（b\）与\（＼alpha\）相交或\（b\subset\alpha\）2、设\（＼alpha\），＼（＼beta\）是两个不同的平面，＼（l\），＼（m\）是两条不同的直线，且\（l\subset\alpha\），＼（m\subset\beta\），则下列命题中正确的是（）A 若\（l\parallel\beta\），则\（＼alpha\parallel\beta\）B 若\（＼alpha\perp\beta\），则\（l\perp m\）C 若\（l\perp m\），则\（＼alpha\perp\beta\）D 若\（＼alpha\parallel\beta\），则\（l\parallel m\）3、在正方体\（ABCD A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}＼）中，＼（E\）为\（A_{1}C_{1}＼）的中点，则异面直线\（AE\）与\（CD_{1}＼）所成角的余弦值为（）A ＼（＼dfrac{＼sqrt{2}｝｛6}＼）B ＼（＼dfrac{＼sqrt{3}｝｛6}＼）C ＼（＼dfrac{＼sqrt{6}｝｛6}＼）D ＼（＼dfrac{＼sqrt{10}｝｛6}＼）二、填空题1、已知正三棱柱\（ABC A_{1}B_{1}C_{1}＼）的各棱长都为\（2\），＼（E\），＼（F\）分别是\（AB\），＼（A_{1}C_{1}＼）的中点，则\（EF\）的长为________。
1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：⊥AB 平面CDE;2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。
3、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ； (2)1AC ⊥面11AB D ．AEDBCAED 1CB 1DCBASDCB AD 1ODBAC 1B 1A 1C5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： （1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面.6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．A 1B 11CD 1DGEF7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .8、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．9、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．10．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDEAEDBC（2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ，∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。
3、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A CB D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=∴1AC ⊥面11AB D 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．AED 1CB 1DCBAS DCBAD 1ODBAC 1B 1A 1CA AB 1BC 1CD 1DG EF7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D GEB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG1EF D E E⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG8、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥9、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A⋂=，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132AO a =，2234MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．10．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55，8； 证明：连结AC BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影 ∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面9、证明：（1）连结11A C ，设11111A C B D O =I连结1AO ，Q 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴P 且 11A C AC = 2分又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴P 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 4分111,C O AO AO ∴⊂P 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴1C O P 面11AB D 6分（2）1CC ⊥Q面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分 又1111A C B D ⊥Q， 1111B D AC C ∴⊥面 9分111AC B D ⊥即 11分 同理可证11A C AB ⊥， 12分又1111D B AB B =I∴1AC ⊥面11AB D 14分。
