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3.3幂函数教学设计一、教学内容分析幂函数是人教B 版，必修1第3章第3节的内容。
是继指数函数和对数函数后研究的又一基本初等函数。
幂函数在实际生活中有着广泛的应用。
故在教学过程及后继学习过程中，要让学生体会其实际应用。
学生在初中已经了解21,,y x y x y x -===三个简单的幂函数；前面也学习了指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。
因此，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型并能用系统的眼光看待以前接触的函数，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，再次体会利用信息技术来探索函数及性质的便利。
因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。
二、学生学习情况分析：学生学过了一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，知道了他们的图象和性质；对于用函数图象的性质解决一些数学问题有一定的基础。
学生已经具备了从特殊到一般的逻辑推理能力，有了一定的团队合作能力，小组合作使学生积极性和主动性有所提高，学习兴趣浓度高。
这为学习幂函数作好了准备，让学生对幂函数的学习感到不会太难。
三、设计思想本节课的设计以破案为思路，时刻抓住基本函数的思想,由名侦探柯南入新课题。
运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握幂函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标了解幂函数的概念，明确其图象的形状，理解其性质并简单应用.五、教学重点与难点学习重点：幂函数的概念,图象,性质. 学习难点：幂函数的图象和性质.六、教学过程设计第一阶段：创设情景-探索发现【学生活动】：学生观察树状图，说出破案思路【设计意图】由名侦探柯南引出重大案件：基本初等函数，用类比方法引出幂函数的三部曲定义、图像、性质第二阶段：合作探究-获得新知【第一关】 幂函数的定义用三个线索的共同特征引出幂函数的定义【学生活动】：学生小组讨论，说出幂函数的定义[定义] 幂函数：一般地，我们把形如_____的函数称为幂函数，其中_____是常数.【设计意图】培养学生自学能力，语言表达能力[过关检测1]判断下列函数是不是幂函数(1)4y x = (2)21y x = (3) 2x y = (4) 12y x = (5)22y x = (6) 32y x =+ (7) 0y x =【学生活动】：学生回答，师生交流。
一、学习目标：1. 掌握幂函数的概念。
2. 熟悉时幂函数的图象和性质。
3. 能利用幂函数的性质来解决一些实际问题。
二、重点、难点：重点：幂函数的图象特点 难点：幂函数的性质及应用三、考点分析：这部分内容在高考中往往以基础知识为主，考查幂函数的图象和性质，一般以小题形式出现，属容易题。
1. 幂函数的定义一般地，函数ay x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数。
注意： （1）幂函数中的指数a 为任意实数。
而指数函数中的底数a 为大于0且不等于1的常数。
（2）只有形如的函数才叫做幂函数。
2. 幂函数的图象与性质（2）幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都通过点（1，1）；（2）如果α＞０，则幂函数的图象通过（0，0），并且在区间[0，＋∞）上是增函数；（3）如果α＜０，则幂函数在区间（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴。
知识点一：幂函数比较大小 一、直接法例1：比较下列各组中两个值的大小：（1） 1.5 1.50.70.6，；（2）232.2-，231.8-。
【思路分析】题意分析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小.解题过程：（1）∵幂函数 1.5y x =在（０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6， ∴ 1.51.50.70.6>；（2）∵幂函数23y x-=在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，∴232.2-＜231.8-。
【题后思考】当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较。
二、转化法例2：比较224333((0.7) 1.1---，，的大小。
【思路分析】题意分析：本题中三个数的底数都不相同，但指数可以转化为相同的，所以可以利用幂函数的性质解题。
解题过程：22223333((0.7)0.7---=-=⎝⎭，，42331.1 1.21--= ∵幂函数23y x -=在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜2＜1.21，∴2223330.71.21--->>⎝⎭。
∴224333(0.7)( 1.1--->>。
【题后思考】当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。
三、中间值法例3：比较0.812与0.913的大小。
【思路分析】题意分析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小。
注意到这两个数的特点，中间值应选219.0或318.0。
解题过程：∵12＞0，∴幂函数12y x =在（０，＋∞）上是增函数。
又0.8＜0.9，∴0.812＜0.912。
又0＜0.9＜1，指数函数0.9xy =在（0，＋∞）上是减函数，且12＞13，∴0.912＜0.913。
综上可得0.812＜0.913。
【题后思考】当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的。
知识点二：幂函数解析式的求法 一、利用幂函数的定义例4：已知函数2221(1)m m y m m x--=--是幂函数，求此函数的解析式。
【思路分析】题意分析：根据幂函数系数为1，幂指数为常数求解。
解题过程：∵2221(1)m m y m m x--=--是幂函数，∴y 可以写成如下形式y x α=（α是常数）。
∴211m m --=，解得1212m m =-=，。
当1212m m =-=，时，有211212m m --=（2为常数），222211m m --=-（－1为常数）。
∴函数的解析式为1y x -=或2y x =。
【题后思考】幂函数y x α=（x 为自变量，α是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数。
求出参数m 后要注意检验幂指数是否为常数。
二、利用幂函数的图象例5：若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式。
【思路分析】题意分析：对于幂函数y x α=（α是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数α≤0。
解题过程：∵函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，∴29191a a -+=，且90a -≤。
∴3a =或6。
∴函数解析式为6()f x x -=或3()f x x -=。
例6：已知幂函数21()m f x x -=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称.求函数21()m f x x-=的解析式。
【思路分析】题意分析：要解决本题，注意抓住幂函数的图象特点。
解题过程：∵幂函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴01m 2<-，解得1m 1<<-。
又图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0。
∴1()f x x -=。
【题后思考】解决与幂函数有关的综合题时，应抓住突破口，以上两例的突破口是图象的特点，只要抓住图象特点，将其转化为代数语言，就能顺利解题。
三、利用幂函数的性质例7：已知幂函数21(14)32()(1)t t f x t t x--=-+（t ∈Z ）是偶函数，且在（0，＋∞）上为增函数，求函数的解析式。
【思路分析】题意分析：先求函数是幂函数的条件，再根据幂函数是偶函数即幂指数为偶数，然后判断增减性。
解题过程：∵()f x 是幂函数，∴311t t -+=， 解得t ＝－1，t ＝0或t ＝1，∴当t ＝０时，12()f x x =，是非奇非偶函数，不满足条件. 当t ＝1时，2()f x x -=是偶函数，但在（0，＋∞）上为减函数，不满足条件。
当1t =-时，满足题设条件。
综上所述，实数t 的值为－1，所求解析式为2()f x x =。
【题后思考】涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键. 解含参问题有时还应注意分类讨论。
幂函数的图象与性质记忆口诀： 如何分析幂函数，记住图象是关键， 虽然指数各不同，分类之后便简单， 函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数。
一、预习新知同学们，我们前面学习了指数函数，对数函数和幂函数，你们知道它们在实际生活中都有哪些应用吗？二、预习点拨反思探究：现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A. 2log v t =B. 12log v t =C. 212t v -=D. 22v t =-该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费，若每月用量不超过最低限度A m 3，只付基本费3元和每家每月的定额保险C 元（不低于1元），若用气量超过A m 3，则超过部分每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面的表格求A ，B ，C 。
（答题时间：45分钟）1. 使x 2＞x 3成立的x 的取值范围是（ ） A. x ＜1且x ≠0 B. 0＜x ＜1 C. x ＞1D. x ＜12. 若四个幂函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A. d ＞c ＞b ＞aB. a ＞b ＞c ＞dC. d ＞c ＞a ＞bD. a ＞b ＞d ＞c3. 在函数y ＝21x，y ＝2x 3，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数有（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 下列函数①12+=x y ②21-=x y ③22x y =④32-=x y ⑤131+=-xy ，其中是幂函数的是（ ）A. ①⑤B. ①②③C. ②④D. ②③⑤5. 下列函数中，与函数xy 1=有相同定义域的是（ ）A. x x f ln )(=B. xx f 1)(= C. x x f =)( D. xe xf =)(6. 下列说法中正确的是（ ）A. 当α＝0时，函数αx y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过（0，0），（1，1） C. 幂函数αx y =的图象不可能在第四象限内 D. 若幂函数αx y=为奇函数，则它在定义域内是增函数7. 设函数2312211x )x (f ,x )x (f ,x )x (f ===-，则)))2010(f (f (f 321＝_________。
8. 若幂函数)(x f y =的图象经过点)31,9(，则)25(f ＝________。
9. 求函数212)1(-=x y 的定义域和值域。
10. 已知幂函数f （x ）＝23p p 212x ++-（p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）。
1. A 解析：利用幂函数图象解题。
2. B 解析：比较幂函数在第一象限内的幂指数的大小与图象的关系。
3. B 解析：根据幂函数的定义解题。
4. C 解析：同上。
5. A 解析：分别求各函数的定义域。
6. C 解析：考查幂函数的图象与性质。
7.20101解析：2112121221321])2010[(])2010[(f )2010(f (f )))2010(f (f (f --===201012010)2010()2010(12122112====--⨯- 8.51 解析：设αx x f =)(，由题意，得319=α，解得21-=α。
所以，5125)25(.)(2121===--f xx f 。
9. 解析：由故函数的定义域为或得,1x ,1x ,01x 2≥-≤≥-{}1x ,1x x ≥-≤或。
又)0[,01,0122∞+∴≥-∴≥-，函数的值域为x x 10. 解析：因为幂函数f （x ）＝23p p 212x++-在（0，＋∞）上是增函数，所以－21p 2＋p ＋23＞0，解得－1＜p ＜3。
又幂函数在其定义域内是偶函数且p ∈Z ，所以p ＝1，相应的函数f （x ）＝x 2。
