高考总复习课标版数学：13 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(限时练习)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理【四大题型】【题型1 分类加法计数原理的应用】 (3)【题型2 分步乘法计数原理的应用】 (3)【题型3 涂色问题】 (4)【题型4 两个计数原理的综合应用】 (5)1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理】1．分类加法计数原理(1)分类加法计数原理的概念完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法.概念推广：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n 类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N =+++种不同的方法.(2)分类的原则分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.2．分步乘法计数原理(1)分步乘法计数原理的概念完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第12步有种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法.(2)分步的原则①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏.3(1)联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.(2)区别分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表：区别分类加法计数原理分步乘法计数原理①针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题②各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存③用其中任何一种方法都可以完成这件事只有各个步骤都完成才算完成这件事(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.【知识点2 分类、分步计数原理的解题策略】1．分类加法计数原理的解题策略分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复；(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.2．分步乘法计数原理的解题策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.【方法技巧与总结】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.【例1】（2024·全国·模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（）A．9种B．12种C．20种D．30种【变式1-1】（2024·浙江温州·模拟预测）平面上的两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（）A．19B．20C．25D．27【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在A,B,C,D四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A．96种B．132种C．168种D．204种【变式1-3】（2024·贵州黔东南·二模）在n个数码1,2,⋯,n(n≤9,n∈N*)的全排列j1j2⋯j n中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为T(j1j2⋯j n).例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此T(312)=2.那么T(87542136)=（）A．19B．20C．21D．22【题型2 分步乘法计数原理的应用】【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（）A．64种B．48种C．36种D．24种【变式2-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知x∈Z，y∈Z，则满足方程xy+2024(x―y)=8092的解(x,y)的个数为（）A．27B．54C．108D．216【变式2-2】（2024·湖南岳阳·三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（）A．96种B．60种C．48种D．36种【变式2-3】（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在A区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（）A B CD E FA．20种B．24种C．36种D．48种【题型3 涂色问题】【例3】（2024·四川资阳·模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A．360种B．420种C．480种D．540种【变式3-1】（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A,B,C,D,E五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）A．48种B．36种C．24种D．12种．【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（）A．18B．17C．16D．15【变式3-3】（2024·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．30B．120C．150D．240【题型4 两个计数原理的综合应用】【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（）A．30个B．42个C．41个D．39个【变式4-1】（2024·河北·模拟预测）用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.A．212B．213C．224D．225【变式4-2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A．4B．6C．8D．12【变式4-3】（2024高二·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）.A．105种B．225种C．315种D．420种一、单选题1．（2024·陕西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（）A．112B．80C．64D．322．（2024·陕西西安·三模）方程xy=2160的非负整数解的组数为（）A．40B．28C．22D．123．（2024·山东淄博·一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数e≈2.71828…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（）A．24B．16C．12D．104．（2024·山东泰安·模拟预测）某市人民医院急诊科有3名男医生和4名女医生，内科有4名男医生和4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（）A．192种B．180种C．29种D．15种5．（2024·四川成都·模拟预测）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小明每人只能选择看其中的一场电影，则两位同学选择的电影不相同的概率为（）A．16B．12C．13D．236．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)⋅(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“ 1 ” 表示一个球都不取、“ a”表示取出一个红球，而“ ab” 表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、3 个无区别的蓝球、2 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2B．(1+a3)(1+b+b2+b3)(1+c)2C．(1+a)3(1+b+b2+b3)(1+c2)D．(1+a3)(1+b)3(1+c+c2)7．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有6（）A．550种B．630种C．720种D．840种8．（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（）A．18B．36C．48D．329．（23-24高三下·全国·强基计划）某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了100次，则可能向右转了（）次．A．96B．98C．104D．10210．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A．四位回文数有45个B．四位回文数有90个C．2n（n∈N*）位回文数有10n个D．2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个11．（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（）A．可以围成20个不同的正方形B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)C．可以围成516个不同的三角形D．可以围成16个不同的等边三角形三、填空题12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是.13．（2024·河南濮阳·模拟预测）对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有种（用数字作答）．14．（2024·江苏连云港·模拟预测）某排球赛共有三个组：第一、二组各有6个队，第三组有7个队，首先各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，最终决出冠、亚军，则该排球比赛一共需要比赛场．15．（2024高三·全国·专题练习）分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i=1，2，3，4，5)的不同坐法有多少种？16．（24-25高二上·全国·课后作业）将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求：(1)1号盒中无球的不同放法种数；(2)1号盒中有球的不同放法种数．17．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字．(1)能组成多少个无重复数字的五位数？(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？18．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格．(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答）(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答）(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）．19．（23-24高二下·广东茂名·期中）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．(1)三人共有多少种不同的课程选择种数?(2)求三位同学选择的课程互不相同的概率;(3)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数?。

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.【】【2】在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.【】【3】在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.【】【4】在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.【】解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以【1】，【4】均不正确.答案【1】×【2】√【3】√【4】×2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为【】A.6B.5C.3D.2解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.答案 B3.【选修2－3P28B2改编】现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有【】A.24种B.30种C.36种D.48种解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B 块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48【种】.答案 D4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种【用数字作答】.解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32【种】.答案325.已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________【用数字作答】.解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.答案206.【2015·广东卷改编】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条；若每两个同学互通一次电话，那么共通________次电话【均用数字作答】.解析第1位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言；依次下去，第40位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言，故全班共写了40×39＝1 560条毕业留言.显然互通一次电话的次数为12×1 560＝780.答案 1 560 780考点一 分类加法计数原理【例1】 【1】三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有【 】A.4种B.6种C.10种D.16种【2】【2017·温州十校联考】满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对【a ，b 】的个数为【 】A.14B.13C.12D.10解析 【1】分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法【如图】，同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法.由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法.【2】①当a ＝0，有x ＝－b 2，b ＝－1，0，1，2有4种可能；②当a ≠0时，则Δ＝4－4ab ≥0，ab ≤1，【ⅰ】若a ＝－1时，b ＝－1，0，1，2有4种不同的选法；【ⅱ】若a ＝1时，b ＝－1，0，1有3种可能；【ⅲ】若a ＝2时，b ＝－1，0，有2种可能.∴有序数对【a ，b 】共有4＋4＋3＋2＝13【个】.答案 【1】B 【2】B规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.【1】根据题目特点恰当选择一个分类标准.【2】分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.【3】分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例【2】中易漏a ＝0这一类.【训练1】 【1】如图，从A 到O 有________种不同的走法【不重复过一点】.【2】若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1，2，3，4，5}，n ∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________【用数字作答】. 解析 【1】分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.【2】当m ＝1时，n ＝2，3，4，5，6，7共6个当m ＝2时，n ＝3，4，5，6，7共5个；当m ＝3时，n ＝4，5，6，7共4个；当m ＝4时，n ＝5，6，7共3个；当m ＝5时，n ＝6，7共2个，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个.答案 【1】5 【2】20考点二 分步乘法计数原理【例2】 【1】【2017·郑州二模】教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有【 】A.10种B.25种C.52种D.24种【2】定义集合A 与B 的运算A *B 如下：A *B ＝{【x ，y 】|x ∈A ，y ∈B }，若A ＝{a ，b ，c }，B ＝{a ，c ，d ，e }，则集合A *B 的元素个数为________【用数字作答】. 解析 【1】每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.【2】显然【a ，a 】，【a ，c 】等均为A *B 中的关系，确定A *B 中的元素是A 中取一个元素来确定x ，B 中取一个元素来确定y ，由分步计数原理可知A *B 中有3×4＝12个元素.答案 【1】D 【2】12规律方法 【1】在第【1】题中，易误认为分5步完成，错选B.【2】利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【训练2】【1】把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有【】A.24种B.4种C.43种D.34种【2】设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{【x，y】|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________【用数字作答】.解析【1】第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.由分步乘法计数原理可得共有43种方法.【2】易知A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，∴x有两种取法，y有5种取法.由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10【个】.答案【1】C【2】10考点三两个计数原理的综合应用【例3】【1】【2015·四川卷】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有【】A.144个B.120个C.96个D.72个【2】【2017·杭州七校联考】如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色【4种颜色全部使用】，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________【用数字作答】.解析【1】由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A34＝72【个】；若万位是4，则有2×A34个＝48【个】，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120【个】.选B.【2】按区域1与3是否同色分类：①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5【还有3种颜色】有A33种方法.∴区域1与3涂同色，共有4A33＝24种方法.②区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法.由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.答案【1】B【2】96规律方法【1】①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.【2】解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第【2】题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.【训练3】【1】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数【如120，343，275等】，那么所有凸数的个数为【】A.240 B.204C.729D.920【2】从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________【用数字作答】.解析【1】若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6【个】.若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12【个】，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72【个】.∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240【个】.【2】由题意知本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C310种结果，当有4个键同时按下，有C410种结果，…，以此类推，根据分类加法计数原理得到共有C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝C010＋C110＋C210＋…＋C1010－【C010＋C110＋C210】＝210－【1＋10＋45】＝968.答案【1】A【2】968[思想方法]1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.【1】分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.【2】分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. [易错防范]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.基础巩固题组【建议用时：25分钟】一、选择题1.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有【】A.30个B.42个C.36个D.35个解析∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数.答案 C2.某校举行乒乓球赛，采用单淘汰制，要从20名选手中决出冠军，应进行比赛的场数为【】A.18B.19C.20D.21解析因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即一场比赛对应一个失败者，要决出冠军，就要淘汰19名选手，故应进行19场比赛.答案 B3.【2017·舟山市质检】有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式【】A.24B.14C.10D.9解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.∴由分类加法计数原理，共有12＋2＝14【种】选择方式.答案 B4.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对【x，y】作为一个点的坐标，则这样的点的个数是【】A.9B.14C.15D.21解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7【个】.当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14【个】.答案 B5.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为【】A.3B.5C.9D.12解析只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9【种】.答案 C6.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为【】A.24B.18C.12D.6解析从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从3，5，7中选两个数字排在个位与百位，共有C23A22＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位，从3，5，7中选两个数字排在个位与百位，共有C23A22＝6种；2排在百位，从3，5，7中选两个数字排在个位与十位，共有C23A22＝6种；由分类加法计数原理可知共有6＋6＋6＝18种.答案 B7.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有【】A.32个B.34个C.36个D.38个解析将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个.故选A.答案 A8.【2016·全国Ⅱ卷】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【】A.24B.18C.12D.9解析由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.答案 B二、填空题9.【2016·西安质检】如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个【用数字作答】.解析当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12【个】.答案1210.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个【用数字作答】.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32【个】.第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40【个】.答案4011.【2016·长沙二模】将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种.解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A33种不同排法.再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有A33·2·1＝12【种】不同的排列方法.答案1212.从－1，0，1，2这4个数中任选3个不同的数作为函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个【用数字作答】.解析a，b，c的一组不同的取值对应着一个不同的二次函数.第1步，确定a【a≠0】的值，有3种方法；第2步，确定b的值，有3种方法【这时，b可取0】；第3步，确定c的值，有2种方法.故可组成3×3×2＝18个不同的二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，这时只需确定a，c的值，分两步完成，共有3×2＝6个不同的偶函数.答案18 613.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目【不一定六名同学都能参加】，【1】每人恰好参加一项，每项人数不限，则有________种不同的报名方法；【2】每项限报一人，且每人至多参加一项，则有________种不同的报名方法；【3】每项限报一人，但每人参加的项目不限，则有________种不同的报名方法【用数字作答】.解析【1】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法36＝729【种】.【2】每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120【种】.【3】由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216【种】.答案【1】729【2】120【3】216能力提升题组【建议用时：15分钟】14.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法【用数字作答】.解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法.答案26015.【2017·绍兴市调研】用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为【】A.243B.252C.261D.279解析0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900【个】三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648【个】，∴有重复数字的三位数有900－648＝252【个】.答案 B16.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有【】A.24对B.30对C.48对D.60对解析与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对.正方体的12条面对角线共有12×8＝96【对】，且每对均重复计算一次，故共有962＝48【对】.答案 C17.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览A ，B ，C 三个景点及沿途风景，则不重复【除交汇点O 外】的不同游览线路有________种【用数字作答】.解析 根据题意，从点P 处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法.由分步乘法计数原理知共有6×4×2＝48种不同游览线路.答案 4818.【2017.浙江名校协作体联考】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99.3位回文数有90个：101，111，121，...，191，202， (999)则【1】4位回文数有________个；【2】2n ＋1【n ∈N *】位回文数有________个.解析 【1】4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90【种】填法，即4位回文数有90个.【2】根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有9×10n 种填法.答案 【1】90 【2】9×10n。

高考数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.教学重点分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解教 具多媒体、实物投影仪教学过程一、引入课题今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。

这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。

二、引出两个原理问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。

由问题1引出分类加法计数原理：完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书）追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述）回答：有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种方法。

问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津办一件事，然后次日再乘汽车到北京。

一天中，广州到天津的火车有３班，天津到北京的汽车有２班，问王先生从广州到北京一共有多少种走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，从广州到天津需乘一次火车再接着乘一次汽车就可以了，共有错误!未找到引用源。

种不同走法由问题2引出分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法.（也称乘法原理）（板书）追问：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有 错误!未找到引用源。

【三维设计】2013高考数学一轮复习 第1节 分类加法计数原理和分步乘法计数原理我来演练一、选择题1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号．答案：C2．(2011·广州期末)具有A 、B 、C 三种性质的总体，其容量为63，将A 、B 、C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A 、B 、C 三种元素分别抽取( )A ．12,6,3B ．12,3,6C ．3,6,12D ．3,12,6解析：A ：21×17＝3；B ：21×27＝6；C ：21×47＝12.答案：C3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，则应该在这三所学校分别抽取学生( )A ．30人 30人 30人B ．30人 45人 15人C ．20人 30人 10人D ．30人 50人 10人解析：抽取比例为9010 800＝1120，故甲、乙、丙分别抽取的人数有3 600×1120＝30；5 400×1120＝45；1 800×1120＝15.答案：B4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13解析：间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数值为7.答案：B5．(2012·武威模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )A ．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同解析：由抽样方法的性质知，抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，这个比例只与样本容量和总体有关．答案：A 二、填空题6．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人．为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数________人．解析：由已知条件可得，每一个个体被抽入样的概率为P ＝25200＝18，则女生应当抽取80×18＝10(人)．答案：107．(2011·乌鲁木齐模拟)某高中共有学生2 000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务，相关信息如下表：年级 高一 高二 高三男生(人数) a 310b女生(人数) c d200 抽样人数x1510则x ＝________.解析：可得b ＝200，设在全校抽取n 名学生参加社区服务，则有n 2 000＝10200＋200.∴n ＝50.∴x ＝50－15－10＝25. 答案：25 三、解答题8．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？解：由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理． 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人，120人，80人．9．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．求样本容量n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n 6(人)，抽取技术员n 36×12＝n 3，抽取技工n36×18＝n2.所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.10．(2011·东北三校模拟)一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：得分(分) 40 45 50 55 60 百分率15%10%25%40%10%现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． (1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：得60分的人数40×10%＝4.(1)设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4x ，∴x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，∴小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.。

（5）分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )A.8B.9C.12D.242.从6人中选出4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为( )A.94B.180C.240D.2863.某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )A.24B.18C.16D.105.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域A，B，C，D，E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )A.120种B.260种C.340种D.420种6.已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，若要从其中面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则不同的走法最多时应( )A.从东面上山B.从西面上山C.从南面上山D.从北面上山7.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须都使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有( )A.6个B.9个C.18个D.36个8.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全（每组号买一注），需要( )A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元9.由中华人民共和国商务部和上海市人民政府主办的第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在中国上海国家会展中心举办，本届进口博览会新设了公共卫生防疫、节能环保、智慧出行和体育用品及赛事等四大专区.将甲、乙、丙、丁等5名志愿者分派到新设的四个专区，要求每个新设的专区至少分到一人，则甲被分派到公共卫生防疫专区的分法种数为( )A.24B.36C.60D.7210.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )A.12B.13C.14D.1511.某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自A，B，C，D四个地区.现在该新闻采访组要到A，B，C，D四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种. 12.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有___________个.（用数字作答）13.某栏目组在一节目中拿出两个信箱，信箱中放着观众的来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封.现由主持人不放回地抽取来信，若先从两箱中抽取一封确定来信者为幸运之星，再从两箱中各抽取一封确定来信者为幸运观众，则有__________种不同的结果.14.有A，B，C三个城市，每天上午从A城去B城有5班汽车，2班火车，都能在12:00前到达B城，下午从B城去C城有3班汽车，2班轮船.某人上午从A城出发去B城，要求12:00前到达，下午从B城去C城，则不同的走法有__________种.15.从甲、乙、丙等10名学生中选派4人参加某项活动，若甲入选则乙一定入选，若甲不入选则丙一定入选，则共有_________种选派方案.答案以及解析1.答案：B解析：设四个班分别是A 、B 、C 、D ，对应的数学老师分别是a 、b 、c 、d.让a 老师先选，可从B 、C 、D 班中选一个，有3种选法，不妨假设a 老师选的是B ，则b 老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.由分步乘法计数原理，知共有33119⨯⨯⨯=种不同的安排方法.故选：B.2.答案：C解析：第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有54360⨯⨯=种选法. 由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为460240⨯=，故选：C.3.答案：C解析：先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有22A 种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有33A 种不同的排法，再排2本语文书，有22A 种不同的排法，最后排2本英语书，有22A 种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有23222322A A A A 48=种不同的排法.故选C.4.答案：D解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有33A 种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有1222C A ⨯种.所以小李可选的旅游路线数为312322A C A 10+⨯=.5.答案：D解析：分四步：①区域A 涂色方案有5种；②区域B 涂色方案有4种；③区域C 涂色方案有3种；④对于区域D ，E ，若D 与B 颜色相同，则区域E 涂色方案有3种，若D 与B 颜色不同，则区域D ，E 涂色方案均有2种，所以区域D ，E 涂色方案共有3227+⨯=（种）.故不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=（种）.故选D.6.答案：D解析：从东面上山，不同的走法共有2(334)20⨯++=（种）；从西面上山，不同的走法共有3(234)27⨯++=（种）；从南面上山，不同的走法共有3(234)27⨯++=（种）；从北面上山，不同的走法共有4(233)32⨯++=（种）.所以应从北面上山.故选D.7.答案：C解析：由题意，知1，2，3中必有某一个数字使用2次，第一步，确定谁被使用2次，有3种情况；第二步，把这2个相同的数字放在四位数不相邻的两个数位上，有3种情况；第三步，将余下的2个数字放在四位数余下的两个数位上，有2种情况.故符合题意的四位数有33218⨯⨯=（个）.故选C.8.答案：D解析：从01至10中选3个连续的号，有8种选法；从1l 至20中选2个连续的号，有9种选法；从21至30中选1个号，有10种选法；从31至36中选1个号，有6种选法.故总的选法有891064320⨯⨯⨯=（种），可得需要243208640⨯=（元）.故选D. 9.答案：C解析：若甲被单独分派到公共卫生防疫专区，则有2343C A 36=种分法，若甲没有被单独分派到公共卫生防疫专区，则有44A 24=种分法，根据分类加法计数原理可得，共有362460+=种分法.10.答案：C解析：由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有224⨯=种安排方法；第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法. 故此时共有428⨯=种安排方法；第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；第二步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人安排到需要会日语的旅游团，有3种选法.故此时共有236⨯=种选法.综上，不同的安排方法种数为8614+=.故选：C.11.答案：44解析：分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有()3311436⨯⨯⨯⨯=； ②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有()21148⨯⨯⨯=.所以总数36844+=.故答案为：44.12.答案：48解析：依题意，组成的没有重复数字的四位数的百位上的数字为5，分两步进行分析：①组成的四位数的千位上的数字不能为0，则千位上的数字有4种选法；②在剩下的4个数字中选出2个，分别安排在十位和个位上，不同的安排方法共有24A 12=（种）.则符合条件的四位数共有12448⨯=（个）.13.答案：28800解析：分两类：①当幸运之星在甲箱中抽取时，不同的结果有30292017400⨯⨯=（种）；②当幸运之星在乙箱中抽取时，不同的结果有20193011400⨯⨯=（种）.所以不同的结果共有174001140028800+=（种）.14.答案：35解析：由题意，知从A 城到B 城的走法有527+=（种）；从B 城到C 城的走法有325+=（种）.故不同的走法有7535⨯=（种）.15.答案：84解析：当甲入选时，乙一定入选，另外2人可从剩余的8人中选取，共有28C 种方案；当甲不入选时，丙一定入选，另外3人可从剩余的8人中选取，共有38C 种方案.根据分类加法计数原理，得选派方案共有233889C C C 84+==（种）.。

2024年高考数学总复习第十章《计数原理》§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．概念方法微思考1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．2．两种原理解题策略有哪些？提示①分清要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法．(√)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)题组二教材改编2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A．12B．8C．6D．4答案C解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C.3．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A．16B．13C．12D．10答案C解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)．题组三易错自纠4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6答案B解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数．5.现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种答案D解析需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2＝48(种)着色方法．6．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．答案12解析当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果．题型一分类加法计数原理1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10答案B解析方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对．②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．a≠0时，(a，b)共有3×4＝12个实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9个，所以答案应为4＋9＝13.2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920答案A解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．(2016·全国Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个答案C解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A24个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C34个，共2＋8＋4＝14(个)．思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．题型二分步乘法计数原理例1(1)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9答案B解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．答案120解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．引申探究1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．跟踪训练1一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有___种．(用数字作答)答案48解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48(种)不同游览线路．题型三两个计数原理的综合应用例2(1)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案1080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．(2)现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120B．140C．240D．260答案D解析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A 处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．故选D.(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A．60B．48C．36D．24答案B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．跟踪训练2(1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有() A．144个B．120个C．96个D．72个答案B解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34＝48(个)，故比40000大的偶数共有72＋48＝120(个)．故选B.(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是____．答案36解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(3)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．答案96解析按区域1与3是否同色分类：①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3同色时，共有4A33＝24(种)方法．②区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴共有A24×2×1×3＝72(种)方法．故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96.1．(2018·贵州省凯里市第一中学月考)集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，从集合A，B 中各取一个数，能组成的没有重复数字的两位数的个数为()A．52B．58C．64D．70答案B解析根据分步乘法计数原理得(C12·C13＋C14·C13＋C12·C14＋C23)·A22＝58.2．(2018·保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种答案B解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有()A．24种B．16种C．12种D．10种答案C解析根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有4×3＝12(种)，故选C.4．(2018·玉林联考)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为() A．9B．10C．11D．12答案D解析根据题意个位数n需要满足n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴个位数可取0,1,2三个数，∵十位数k需要满足3k<10，∴k<3.3，∴十位数可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．故选D.5.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有()A．120种B．260种C．340种D．420种答案D解析由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420.故选D.6.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有()A．24B．48C．96D．120答案C解析若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2＝24(种)；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)，根据分类加法计数原理可得，共有24＋72＝96(种)，故选C.7．(2018·湖北省黄冈中学月考)对33000分解质因数得33000＝23×3×53×11，则33000的正偶数因数的个数是()A．48B．72C．64D．96答案A解析33000的因数由若干个2(共有23,22,21,20四种情况)，若干个3(共有3,30两种情况)，若干个5(共有53,52,51,50四种情况)，若干个11(共有111,110两种情况)，由分步乘法计数原理可得33000的因数共有4×2×4×2＝64(个)，不含2的共有2×4×2＝16(个)，∴正偶数因数的个数为64－16＝48，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.8．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________．答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数中不含有1时，可得到A25＝20(个)对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.综上可知，共有20＋1－4＝17(个)不同的对数值．9．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．答案27解析先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个，再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此时c＝1与等边重复，若a＝b＝2，c<a＋b＝4，则c＝1,3，有两个，若a＝b＝3，c<a＋b＝6，则c＝1,2,4,5，有四个，若a＝b＝4，c<a＋b＝8，则c＝1,2,3,5,6，有五个，若a＝b＝5，c<a＋b＝10，则c＝1,2,3,4,6，有五个，若a＝b＝6，c<a＋b＝12，则c＝1,2,3,4,5，有五个，故一共有27个．10．(2018·天津河东区模拟)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答)答案36解析根据题意，分2步完成：①将三名女生全排列，有A33＝6种顺序，②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这三个空位中任选2个，安排2名男生，有A23＝6种情况，则有6×6＝36种符合题意的排序方式．11．(2018·金华模拟)联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有________种．答案25解析根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有1种方法；一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，两个国家药品，有3×2＝6种方法；三个国家粮食，一个国家药品，有3种方法；三个国家药品，一个国家粮食，有3种方法，故方法总数是25.12．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为________．答案240解析将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60(种)情况；②若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60(种)情况；③若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(种)情况．综上，共有60＋60＋120＝240(种)情况．13．(2018·杭州第二中学模拟)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．答案60解析根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，当第一个选1号螺栓的时候，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60种方法，故答案是60.14．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种．答案12解析由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且|BA |＝|BC |，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2)．当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2,3,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1,3,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2,1,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2,3,1，有三种情况．因而满足条件的函数f (x )有12种．15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)5位回文数有________个；(2)2n (n ∈N *)位回文数有________个．答案(1)900(2)9×10n －1解析(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n －1种填法．16．用6种不同的颜色给三棱柱ABC －DEF 六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种．(用数字作答)答案8520解析分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.第一类：若6种颜色都用上，此时方法共有A66＝720种；第二类：若6种颜色只用5种，首先选出5种颜色，方法有C56种；先涂A，B，C，方法有A35种，再涂D，E，F中的两个点，方法有A23种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有C56·A35·A23·2＝4320种；第三类：若6种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C46种；先涂A，B，C，方法有A34种，再涂D，E，F中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有C46·A34·3·3＝3240种；第四类：若6种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C36种；先涂A，B，C，方法有A33种，再涂D，E，F，方法有2种，故此时方法共有C36·A33×2＝240种．综上可得，不同涂色方案共有720＋4320＋3240＋240＝8520种．。