第28章锐角三角函数测试题B(人教新课标九年级下)

人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数之正切函数专题练习一、选择题1.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )A．abB．baC．aa2+b2D．ba2+b22.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )A． 1B． 1.5C． 2D． 33.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是( )A． 2B． 8C．－2D．－84.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是( )A．23B．32C．132D．1335.根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是( )A． 0.26B． 0.43C． 0.90D． 2.236.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为( )A．223B．2105C．12D． 27.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB等于( )A． 1B．3C．33D．128.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．12B．13C．14D．249.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝1，则tan A的值为( )A．12B．32C．33D．310.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan ∠CBE＋tan ∠DAE的值是( )A． 2B． 2＋3C． 2－3D． 2＋2311.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．大小不变12.比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°二、填空题13.如图，P(12，a)在反比例函数y＝60图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．x14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.15.在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．16.已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．17.比较大小：tan 50°________tan 48°.三、解答题18.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan ∠BOA的值．19.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．答案解析1.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝ba.故选B.2.【答案】B【解析】如图，tanα＝ABOB ＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.3.【答案】D【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan ∠AOP＝2，∴PAOA＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.4.【答案】A【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝ABOB ＝23，故选A.5.【答案】B【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝ABOB ≈2.66≈0.43.故选B.6.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝ADCD＝2，故选D.7.【答案】A【解析】∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝12∠AOB＝45°，∴tan ∠APB＝1.故选A.8.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，故tan B＝CDBD ＝13，则tan B′＝tan B＝13.故选B.9.【答案】D【解析】∵AB＝2，AC＝1，∴CB＝22−12＝3，∴tan A＝BCAC＝3，故选D.10.【答案】【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan ∠CBE＝CEBC ，tan ∠DAE＝DEAD，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan ∠CBE＋tan ∠DAE＝CEBC ＋DEAD＝CDAD＝2ADAD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.12.【答案】C【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan 20°＜tan 50°＜tan 70°，故C符合题意，故选C.13.【答案】512【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝6012＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan ∠POH＝512.14.【答案】23【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，∵2b＝3a，∴a b ＝23，∴tan A ＝a b ＝23.15.【答案】不变【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．16.【答案】0＜tan B ≤3【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B ≤60°.又tan 60°＝3，故0＜tan B ≤3.17.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.18.【答案】解　tan ∠BOA ＝AB OA ＝24＝12.【解析】19.【答案】解　如图，过点A 作AD ⊥BC 的延长线于D ，S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2−AD 2＝82−42＝43，tan B ＝AD BD ＝443＝33.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．。

第28章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(玉林中考)sin 45°的值是( B ) A ．12 B ．22 C ．32D ．1 2．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝42°，BC ＝8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是( D )A ．8 ÷ sin 4 2 ＝B ．8 ÷ cos 4 2 ＝C ．8 ÷ tan 4 2 ＝D ．8 × tan 4 2 ＝第2题图 第4题图 第5题图第6题图3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，那么sin B 的值是( C )A ．35B ．34C ．45D ．434．(杭州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则( B )A ．c ＝b sinB B ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan B5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，已知∠ACD 的正弦值是23 ，则AC AB的值是( D )A ．25B ．35C ．52D ．236．(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°.C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为( B )A ．(3 ，3 )B ．(3 ，1)C ．(2，1)D ．(2，3 )7．(2022·随州)如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平地面上，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，若CD ＝a ，则建筑物AB 的高度为( D )A ．a tan α－tan βB ．a tan β－tan αC ．a tan αtan βtan α－tan βD ．a tan αtan βtan β－tan α第7题图 第8题图第9题图8．(温州中考)图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC .若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝α，则OC 2的值为( A )A ．1sin 2α ＋1B ．sin 2α＋1C ．1cos 2α＋1 D ．cos 2α＋1 9．(重庆中考)如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度(或坡比)为i ＝1∶2.4，坡顶D 到BC 的垂直距离DE ＝50米(点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)，在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)(D )A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米10．(绍兴中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CE AD的值为( D ) A ．32 B ． 3 C ．152D ．2 第10题图 第13题图 第14题图第15题图二、填空题(每小题3分，共15分)11．(甘肃中考)在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33 ，则cos B ＝__12 __． 12．(无锡中考)一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__102 __米．13．(2022·泰安)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度AF ＝2 m ，窗台的高度CF ＝1 m ，窗外水平遮阳篷的宽AD ＝0.8 m ，则CP 的长度为__4.4__m(结果精确到0.1 m).14．(咸宁中考)如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A 出发，由西向东航行24 n mile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是__20.8__n mile.(结果保留一位小数，3 ≈1.73)15．(深圳中考)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB ＝12 ，BO OD ＝43 ，则S △ABD S △CBD＝__332 __． 三、解答题(共75分)16．(8分)计算：(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝12 解：原式＝72－217．(9分)在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知c ＝83 ，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ；(2)已知a ＝36 ，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c .解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43 (2)∠B ＝60°，b ＝92 ，c ＝6618．(9分)(2022·湘潭)湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构(其中DH AH≈0.618)：伞柄AH 始终平分∠BAC ，AB ＝AC ＝20 cm ，当∠BAC ＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC ＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄？(结果保留整数，参考数据：3 ≈1.732)解：作BE ⊥AH 于点E ，∵∠BAC ＝120°，AH 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝60°，∴AE ＝AB ·cos60°＝20×12 ＝10(cm)，BE ＝AB ·sin60°＝20×32 ＝103 ≈17.32(cm)，∵BD ＝CD ，∠BDC ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴DE ＝BE ＝17.32 cm ，∴AD ＝AE ＋DE ＝10＋17.32＝27.32(cm)，∵DH AH ＝0.618，即AH －27.32AH＝0.618，解得AH ≈72，∴最少需要准备72 cm 长的伞柄19．(9分)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (1)如图①，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图②所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin 60°＝b sin 45°，∴b ＝26 (2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B，∴sin B ＝32 ，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CD BD ＝3 ，∴BD ＝33 CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33 CD )2，∴CD ＝83 或＝－33 (舍去)，∴CD 的长度为83 米20．(9分)(2022·包头)如图，AB 是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高DH ＝CG ＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB 的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角∠ADE 为α，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角∠ACE 为45°，已知tan α＝79，AB ⊥BH ，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．解：由题意得：DH ＝CG ＝BE ＝1.5米，CD ＝GH ＝5米，DE ＝BH ，∠AED ＝90°，设CE ＝x 米，∴BH ＝DE ＝DC ＋CE ＝(x ＋5)米，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝45°，∴AE ＝CE ·tan45°＝x(米)，在Rt△ADE中，∠ADE＝α，∴tan α＝AEDE＝xx＋5＝79，∴x＝17.5，经检验：x＝17.5是原方程的根，∴AB＝AE＋BE＝17.5＋1.5＝19(米)，∴建筑物AB的高度为19米21．(10分)(2022·怀化)某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园，如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.有关部门计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村，问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．(参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝3AD，CD＝AD, ∵BC＝2.4 km＝2400 m，∴3AD＋AD＝2400，解得AD＝1200(3－1)≈876>800，故该公路不穿过纪念园22．(10分)(2022·鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比＝1∶3，铅垂高度DG＝30米(点E，G，C，B在同一水平线上).求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)解：(1)∵斜坡CF 的坡比＝1∶3，DG ＝30米，∴DG GC ＝13 ，∴GC ＝3DG ＝90(米)，在Rt △DGC 中，DC ＝DG 2＋GC 2 ＝302＋902 ＝3010 (米)，∴两位市民甲、乙之间的距离CD 为3010 米(2)过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，则DG ＝BH ＝30米，DH ＝BG ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ·tan45°＝x (米)，∴AH ＝AB －BH ＝(x －30)米，在Rt △ADH 中，∠ADH ＝30°，∴tan30°＝AH DH ＝x －30x ＋90 ＝33，∴x ＝603 ＋90.经检验：x ＝603 ＋90是原方程的根，∴AB ＝(603 ＋90)米，∴此时飞机的高度AB 为(603 ＋90)米23．(11分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，以DB 为直径作⊙O 交BC 于点F ，连接BE ，EF .(1)证明：∠A ＝∠BEF ；(2)若AC ＝4，tan ∠BEF ＝4，求EF 的长．解：(1)连接DF ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ＝90°，∴AC ∥DF ，∴∠A ＝∠FDB ，∵∠FDB ＝∠BEF ，∴∠A ＝∠BEF(2)过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ，∴∠EHF ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝12∠ACB ＝45°，∴∠CDF ＝90°－∠DCB ＝45°，∴CF ＝DF ，设CF ＝DF ＝x ，∵∠A ＝∠BEF ，∴tan A ＝tan ∠BEF ＝4，∴BC ＝AC ·tan A ＝4×4＝16，∴BF ＝BC －CF ＝16－x ，∵∠ACF ＝∠DFB ＝90°，∴△ACB ∽△DFB ，∴AC DF ＝BC BF ，∴4x ＝1616－x，∴x ＝165 .经检验，x ＝165 是原方程的根，∴CF ＝165，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BED ＝90°，∴∠EBC ＝90°－∠DCB ＝45°，∴EC ＝EB ，∵EH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝12 BC ＝8，∴EH ＝12BC ＝8，∴FH ＝CH －CF ＝245，∴EF ＝FH 2＋EH 2 ＝（245）2＋82 ＝85 34 ，∴EF 的长为85 34。

第28章锐角三角函数（练习）-人教版九年级下册一．选择题1．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，则AC的长为（）A．6B．2C．3D．93．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m（）A．8B．16C．4D．45．如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（）A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．无法确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝7．如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高（）A．CD＝AB•tan B B．CD＝AD•cot A C．CD＝AC•sin B D．CD＝BC•cos A 8．若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，下列的三角函数对应正确的是（）A．sin∠BAD＝B．cos∠BAD＝C．sin∠CAD＝D．tan∠CAD＝10．如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（+h）米C．m tanαD．米二．填空题11．计算：cos30°+sin60°＝．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，则sin∠ABC＝．13．已知锐角A满足tan（90°﹣A）＝，则∠A＝．14．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了cm．15．某学校准备改善原有户外楼梯AB的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角∠BAC的度数为30°（i为铅直高度与水平宽度的比）则楼梯底部A向外延伸的长度为米．（结果精确到0.1，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）三．解答题16．黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°（结果精确到1m，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17．一架飞机沿水平直线飞行，在点C处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米至点D处，已知建筑物AB的高为3米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，tan C＝，BC＝12．（1）求DC边的长；（2）求cos B的值．19．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°．（1）请你求出AD的长度；（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sin B＝，BC＝4。

人教版九年级（下）第二十八章锐角三角函数检测试卷A(时间120分钟，满分120分)一、选择题（共10小题；每小题3分，共30分）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD是高，如果AB=m，∠A=α，那么CD的长为( )A. m⋅sinα⋅tanαB. m⋅sinα⋅cosαC. m⋅cosα⋅tanαD. m⋅cosα⋅cotα2. 在Rt△ABC中，cos A=12，那么sin A的值是( )A. 22B. 32C. 33D. 123. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:2，堤高BC=4 m，则坡面AB的长度是( )A. 8 mB. 16 mC. 45 mD. 43 m4. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为( )A. 5 mB. 6 mC. 7 mD. 8 m5. 将一张矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在Cʹ处，测量得AB=4，DE=8．则sin∠CʹED为( )A. 2B. 12C. 22D. 326. 如图，一渔船在海岛A南偏东20∘方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为103海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80∘方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10∘方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A. 103海里/小时B. 15海里/小时C. 53海里/小时D. 30海里/小时7. 规定：sin(−x)=−sin x，cos(−x)=cos x，cos(x+y)=cos x cos y−sin x sin y．给出以下四个结论：；（1）sin(−30∘)=−12（2）cos2x=cos2x−sin2x；（3）cos(x−y)=cos x cos y+sin x sin y；．（4）cos15∘=6−24其中正确的结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，Rt△AOB中，∠AOB=90∘，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,1)，把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AOʹB，则点Oʹ的坐标为( )A. B. C. D.9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D为AB的中点，AC=3，cos A=1，将△DAC沿3着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为( )A. 5B. 42C. 7D. 5210. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )A. 2B. 255C. 12D. 55二、填空题（共6小题；每小题3分，共18分）11. 某坡面的坡度是3:1，则坡角α是度．12. 如图，在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，则tanα=．13. 在△ABC中，若∣sin A−12∣+cos=0，则∠C的度数是．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，则：sin A=；sin B=；cos A=；cos B=；tan A=；tan B=．15. 如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为65∘，水平距离BD=10 m，楼高AB=24 m，则树高CD约为（精确到0.1 m）．16. 一个含有30∘角的三角板与一个宽为4 cm的纸条如图①所示的方式放置，∠A=30∘，∠ACB=90∘，三角板绕点C顺时针旋转45度，点B恰好落在纸条的边上（如图②），则AC=cm．三、解答题（共9小题；共72分）17. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，AB=6，解这个直角三角形．18. （8分）当我们进入高中后，将会学到如下三角函数公式：tan(A+B)=tan A+tan B1−tan A tan B ，tan(A−B)=tan A−tan B1+tan A tan B．例如：tan75∘=tan(30∘+45∘)=tan30∘+tan45∘1−tan30∘⋅tan45∘=33+11−33×1=3+33−3=3+2.（1）试仿照例题，求出 tan15∘ 的准确值；（2）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出 tan15∘ 的准确值（要求分母有理化），和（1）中的结论进行比较．19. （8分）如图，锐角 △ABC 中，AB =10 cm ，BC =9 cm ，△ABC 的面积为 27 cm 2，求 tanB 的值．20. （8分）计算：（1）2cos45∘−32tan30∘⋅cos30∘+sin 260∘；（2）4sin30∘tan60∘−tan45∘−tan 260∘．21. （8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 处测得教学楼顶部 D处的仰角为 18∘，教学楼底部 B 处的俯角为 20∘，教学楼的高 BD =21 m ．求实验楼与教学楼之间的距离 AB （结果保留整数）．参考数据：tan18∘≈0.32，tan20∘≈0.36．22. （8分）为庆祝改革开放 40 周年，某市举办了灯光秀，某教学兴趣小组为测量平安金融中心AB 的高度，他们在地面 C 处测得另一幢大厦 DE 的顶部 E 处的仰角 ∠ECD =32∘．登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得平安中心 AB 的顶部 A 处的仰角为 60∘，（如图）．已知 C ，D ，B 三点在同一水平直线上，且 CD =400 米，DB =200 米．（结果取整数）参考数据：sin32∘≈0.53，cos32∘≈0.85，tan32∘≈0.62，2=1.41，3=1.73．（1）求大厦DE的高度；（2）求平安金融中心AB的高度．23. （8分）如图，坡AB的铅直高度为63，坡的水平长度为6，求坡度及坡角的大小．24. （8分）计算：cot30∘−cos45∘．sin60∘−tan45∘25.（8分）如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=75∘，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．答案第一部分1. B 2. B 3. C 4. B 5. D【解析】由 tan A =BCAC ，得 tan A =23．6. D【解析】∵∠CAB =10∘+20∘=30∘，∠CBA =80∘−20∘=60∘，∴∠C =90∘， ∵AB =103 海里，∴AC =AB ⋅cos30∘=15 海里，∴ 救援船航行的速度为 15÷3060=30（海里/小时）．7. C【解析】（1）sin (−30∘)=−sin30∘=−12，故此结论正确；（2）cos 2x =cos (x +x )=cos x cos x−sin x sin x =cos 2x−sin 2x ，故此结论正确；（3）cos(x−y )=cos[x +(−y )]=cos x cos(−y )−sin x sin(−y )=cos x cos y +sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误．8. B【解析】连接 OOʹ，作 OʹH ⊥OA 于 H ．在 Rt △AOB 中，∵tan ∠BAO =OBOA =32， ∴∠BAO =30∘，由翻折可知，∠BAOʹ=30∘， ∴∠OAOʹ=60∘， ∵AO =AOʹ，∴△AOOʹ 是等边三角形， ∵OʹH ⊥OA ， ∴OH =32， ∴OHʹ=3OH =32，∴9. C【解析】如图，连接 AE ，∵AC =3，cos ∠CAB =13， ∴AB =3AC =9，由勾股定理得，BC =AB 2−AC 2=62， ∵∠ACB =90∘，点 D 为 AB 的中点， ∴CD =12AB =92，∴S △ABC =12×3×62=92，∵ 点 D 为 AB 的中点，∴S △ACD =12S △ABC =922，由翻转变换的性质可知，S 四边形ACED =92，AE ⊥CD ，则 12×CD ×AE =92，解得，AE =42，∴AF =22，由勾股定理得，DF =AD 2−AF 2=72， ∵AF =FE ，AD =DB ， ∴BE =2DF =7．10. D【解析】∵ 由图可知，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，AB 2=32+42=25， ∴△ABC 是直角三角形，且 ∠ACB =90∘， ∴cos ∠ABC =BCAB =55．第二部分11. 6012.1213. 90∘【解析】∵ 在 △ABC 中，∣sin A−12∣+cos =0，∴sin A =12，cos B =12， ∴∠A =30∘，∠B =60∘， ∴∠C =180∘−30∘−60∘=90∘．14. 45，35，35，45，43，3415. 2.6 m【解析】如图，过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ，则 EC =BD =10 m ．由题意可知 ∠ACE =65∘，在 Rt △AEC 中，AE =EC ⋅tan65∘≈21.45(m)，故 CD =EB =AB−AE ≈2.6(m)．16. 46【解析】如图，过点 B 作 BD 垂直于纸条，垂足为 D ，所以 BD =4 cm ，在 Rt △BDC 中，BC =2BD =42 cm ，在 Rt △ABC 中，∠A =30∘，tan A =BC AC，所以 AC =BCtan A =4233=46(cm)．第三部分17. ∠A =90∘−60∘=30∘，在 Rt △ABC 中，∠A =30∘， ∴ BC =12AB =3，∴ AC =AB 2−BC 2=62−32=33．18. （1）tan15∘=tan(45∘−30∘)=tan45∘−tan30∘1+tan30∘⋅tan45∘=1−331+33×1=3−33+3=2−3.（2） 如图：tan15∘=tan ∠BDC =BCDC =a 3a +2a=2−3．通过比较可知，所得结果一样．19. 过点 A 作 AH ⊥BC 于 H ，∵S △ABC =27 cm 2， ∴12×9×AH =27， ∴AH =6 cm ， ∵AB =10 cm ，∴BH =AB 2−AH 2=102−62=8(cm)， ∴tan B =AHBH =68=34．20. （1） 原式=2×22−32×33×32+=2−34+34=2. （2） 原式=4×123−1−(3)2=3−2.21. 过点 C 作 CM ⊥BD 于点 M ，则 CM ∥AB ，又因为 AC ∥BD ，所以四边形 ABMC 是平行四边形，AB =CM ，在 Rt △CDM 中，因为 tan ∠DCM =DMCM ，所以 DM =CM tan ∠DCM =CM tan18∘；在 Rt △BCM 中，因为 tan ∠BCM =BMCM ，所以 BM =CM tan ∠BCM =CM tan20∘，因为 DM +BM =BD ，所以 CM tan18∘+CM tan20∘=21(m)，解得：CM =21tan18∘+tan20∘≈31(m)，则 AB =CM =31 m ．答：AB 的长约为 31 m ．22. （1） ∵ 在 Rt △DCE 中，∠CDE =90∘，∠ECD =32∘ 、CD =400， ∴DE =CD ⋅tan ∠ECD ≈400×0.62=248（米）．答：大厦 DE 的高度约为 248 米．（2） 如图，作 EF ⊥AB 于 F ，由题意，得：EF =DB =200，BF =DE =248，∠AEF =60∘．在 Rt △AFE 中，∵∠AFE =90∘，∴AF =EF ⋅tan ∠AFE ≈200×1.73=346，∴AB =BF +AF =248+246=594（米）．答：平安金融中心AB的高度约为594米．23. 坡度=i=tan A=636=3，坡角=60∘．24. 原式=3−2232−1=(23−2)(3+2)(3−2)(3+2)=6+22−43−6.25. 如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，CD=BC⋅sin B=6×22=32，BD=BC⋅cos B=6×22=32，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B=45∘，在Rt△ACD中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，∴tan30∘=ADCD，∴AD=32×33=6，∴S△ABC=12×(32+6)×32=9+33．。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。

第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。

第二十八章锐角三角函数课后练习锐角三角函数的定义与求值1．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则tan A的值是.2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的余弦值()A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的12D．不能确定3．在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=8,sin A=34,则BC的长为()A．6B．7.5C．8D．12.54．如图,已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上,则下列结论错误的为()A．cos B．sin B=5C．tan B=12D．tan B·tan C=1特殊角的锐角三角函数值5．在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan B-3)2+2cosA是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形,那么锐角α为30度.7．计算:3tan30°+tan45°-2sin60°.解直角三角形及其应用8．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,CB=43,解这个直角三角形.9．如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D．若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等于()A．125B．1312C．135D．121310．某县动车站于2014年开通,方便了更多的人出行,如图是该动车站某扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).琪琪同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则琪琪同学上升的铅直高度BC为m.11．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌.经测量得到如下数据:AM=4m,AB=8m,∠MBC=30°,∠MAD=45°,则警示牌的高CD为多少米(结果保留根号)?12．2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂AC=BC=10m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离(结果精确到0.1m;参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).13．如图,某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度AB．该古塔旁有一个小山坡,在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为60°,已知BC=10m,ED⊥BD(点B,C,D在同一直线上).(1)求古塔的高度AB(结果保留根号);(2)涛涛站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为30°,该山坡的坡度i=tan∠ECD=1∶3,求山坡的高度DE(结果保留根号).14．如图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6m到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).。