2017-2018学年高中数学第一章坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化学案北师大版选修4-4

极坐标知识点总结一、极坐标的基本概念1.1 极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它由距离和角度两个参数来确定点的位置。

在直角坐标系中，一个点的位置可以用横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，则是用半径和角度来表示。

对于一个点P(x, y)，可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是点P到原点O的距离，θ是OP与x轴正方向的夹角。

1.2 极坐标系的基本元素极坐标系包括极轴、极角、极径等基本要素。

极轴是平面上一条射线，通常取x轴的正半轴作为极轴，记作θ=0。

点P到极轴的距离r称为极径，点P与极轴的夹角θ称为极角。

1.3 极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。

在直角坐标系中，点P(x, y)可以转换为极坐标(r, θ)的形式，其中r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。

反之，极坐标(r, θ)也可以转换为直角坐标(x, y)的形式，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。

二、极坐标的表示方法2.1 极坐标系的图示表示极坐标系通常用极轴和极角的方式进行图示表示，极轴通常取x轴的正半轴，极角从极轴正半轴开始逆时针旋转。

2.2 极坐标的参数表达对于一个点P(r, θ)，通常用参数方程的形式来表示，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。

这种表示方法可以方便地描绘出曲线在极坐标系中的形状。

2.3 极坐标的极径范围在极坐标系中，极径r可以取任意实数，而极角θ通常取一个区间，通常是[0, 2π)，表示半平面θ的取值范围。

三、极坐标的转换方法3.1 极坐标到直角坐标的转换对于一个点P(r, θ)，可以通过r*cosθ和r*sinθ来转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。

这种转换方法可以帮助我们在直角坐标系中描绘出极坐标中的曲线。

3.2 直角坐标到极坐标的转换对于一个点P(x, y)，可以通过√(x²+y²)和tan^(-1)(y/x)来转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，即r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。

极坐标的概念（⼀）极坐标概念确定平⾯内的点的位置有各种⽅法，⽤⼀对实数确定平⾯内的点位置的⽅法称为直⾓坐标⽅法，因其⽅法简捷且应⽤⼴泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）⽽成为解析⼏何中最主要的内容；⽤⽅向（⾓）和距离来确定平⾯内的点的位置是极坐标的基本思想。

极坐标在⼯程中和军事上也有⼴泛应⽤。

1.1极坐标系定义在平⾯上选⼀定点O，由O出发的⼀条射线OX，规定⼀个长度单位和⾓的正⽅向（通常以反时针旋转为正⽅向）合称⼀个极坐标系。

其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极⾓两个量构成点的极坐标，⼀般记作（ρ，θ）。

1.2平⾯内的点与极坐标系的关系平⾯内有⼀点P，|OP|⽤ρ表⽰，ρ称为P点的极径；OX到OP的⾓θ叫极⾓，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有⼀组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯⼀的点与其对应；(2)在极坐标系中有⼀个点P，则有⽆数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极⾓不固定。

（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表⽰同⼀点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。

ρ＞0时，极⾓的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极⾓为任意⾓，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表⽰同⼀点。

∴极坐标与极坐标平⾯内的点不⼀⼀对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表⽰同⼀点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点⽽垂直于极轴的直线）对称。

故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三⾓形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极⾓相差π，A、B以极点对称，⼜|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极⾓为.∴或故选B 。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。

§1.2 极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课后篇巩固探究A组1.极坐标为的点的直角坐标为()A.(π,π)B.(π,-π)C.(-π,π)D.(-π,-π)(x,y),则有x=π·cos=π,y=π·sin=-π,故直角坐标为(π,-π).2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)3.已知极坐标平面内的点P,则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.,(1,)B.,(1,-)C.,(-1,)D.,(-1,-)P关于极点的对称点的极坐标为,由x=ρcos θ=2×cos=-1,y=ρsin θ=2×sin=-,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-).4.已知点M的直角坐标是(2,-2),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是()A. B.C. D.==4,tan θ==-.又点M在第四象限,故点M的极坐标为.5.若点M的极坐标为,则点M关于y轴对称点的直角坐标为.点M的极坐标为,∴x=6cos=6cos=6×=3,y=6sin=6sin=-3,∴点M的直角坐标为(3,-3),∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).-3,-3)6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为.点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ==2.又tan θ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=π.∴点P的极坐标为.7.将下列极坐标化成直角坐标.(1);(2);(3)(5,π).因为x=·cos=1,y=·sin=1,所以点的直角坐标为(1,1).(2)因为x=6·cos=3,y=6·sin=-3.所以点的直角坐标为(3,-3).(3)因为x=5·cos π=-5,y=5·sin π=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1);(2)(4,-4);(3);(4)(-,-).ρ=,tan θ=-1,θ∈[0,2π),因为点(-1,1)在第二象限,所以θ=,所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为.(2)ρ==8,tan θ==-,θ∈[0,2π),因为点(4,-4)在第四象限,所以θ=.所以直角坐标(4,-4)化为极坐标为.(3)ρ=,tan θ==1,θ∈[0,2π),因为点在第一象限,所以θ=.所以直角坐标化为极坐标为.(4)ρ==2,tan θ=,θ∈[0,2π),因为点(-,-)在第三象限,所以θ=.所以直角坐标(-,-)化为极坐标为.9.在极坐标系中,如果A,B为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积.利用坐标转化.对于点A,直角坐标为(),点B的直角坐标为(-,-).设点C的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,故=0,即(x-,y-)·(x+,y+)=0,(x-)(x+)+(y-)(y+)=0.得x2+y2=4.①又∵|AC|2=|BC|2,于是(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,即y=-x,代入①得x2=2,解得x=±,∴∴点C的直角坐标为.∴ρ==2,tan θ=-1,θ=,∴点C的极坐标为.S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.法二设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|,∴|AC|=|BC|=2,即①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos=0,∴θ-+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z,又0≤θ<2π,∴k可取0或1,∴θ=或θ=.∴点C的极坐标为,S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.B组1.在极坐标系中,确定点M的位置,下面方法正确的是()A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.在极坐标系中,已知点A,B,则OA与OB的夹角为()A. B.0 C. D.,夹角为.3.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A. B.C. D.ρ==2,极角θ满足tan θ==-,∵点(1,-)在第四象限,∴θ=-+2kπ(k∈Z).4.在极坐标系中,已知点P和点Q,则PQ的中点M的极坐标可以是()A. B.C. D.P,∴∴P(1,).∵Q,∴∴Q(-3,).∴PQ的中点M的直角坐标为(-1,).∴ρ2=(-1)2+()2=4,∴ρ=2,tan θ==-,∴θ=+2kπ,k∈Z.5.已知极坐标系中,极点为坐标原点,0≤θ<2π,点M,则在直线OM上与点M之间的距离为4的点的极坐标为.,|OM|=3,∠xOM=,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.所以点P,Q都满足条件.所以得点P,Q.6.在极坐标系中,已知点B,D,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并分别求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).B,D,知|OB|=|OD|=3,极角的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.设点B,D关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=,θ2=,故E,F为所求对称点的极坐标.7.导学号73144010如图,已知△ABC三个顶点的极坐标分别为点A,B,C,极点O(0,0).(1)判断△OAB是否为等边三角形;(2)求△ABC的面积.A(0,2),B(-,1),C,O(0,0).(1)∵|AB|==2,|OA|=|OB|=2,∴△OAB为等边三角形.(2)∵|AC|=,|BC|=,|AB|=2, ∴△ABC为等腰三角形.设点D为AB的中点,连接CD.∵点D为,∴|CD|==2,∴S△ABC=|AB||CD|=×2×2=2.。

空间直角坐标系》教案(人教A版必修)第一章：空间直角坐标系的建立1.1 坐标系的定义与分类让学生理解坐标系的概念，掌握坐标系的分类及特点通过实例让学生了解坐标系在几何图形中的应用1.2 空间直角坐标系的定义与结构让学生理解空间直角坐标系的定义，掌握其结构特点通过实例让学生了解空间直角坐标系在空间几何中的应用第二章：点的坐标2.1 坐标的概念与表示方法让学生理解坐标的概念，掌握坐标的表示方法通过实例让学生了解坐标在空间几何中的应用2.2 点的坐标与坐标轴的关系让学生了解点的坐标与坐标轴的关系，掌握坐标轴上点的坐标特点通过实例让学生了解坐标轴上点的坐标在空间几何中的应用第三章：直线的方程3.1 直线方程的概念与表示方法让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法通过实例让学生了解直线方程在空间几何中的应用3.2 直线方程的求解方法让学生掌握直线方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解直线方程通过实例让学生了解直线方程的求解方法在空间几何中的应用第四章：平面的方程4.1 平面方程的概念与表示方法让学生理解平面方程的概念，掌握平面方程的表示方法通过实例让学生了解平面方程在空间几何中的应用4.2 平面方程的求解方法让学生掌握平面方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解平面方程通过实例让学生了解平面方程的求解方法在空间几何中的应用第五章：空间几何图形与坐标系5.1 空间几何图形在坐标系中的表示让学生了解空间几何图形在坐标系中的表示方法，掌握坐标系中几何图形的性质通过实例让学生了解空间几何图形在坐标系中的应用5.2 空间几何图形的位置关系与坐标系的变换让学生了解空间几何图形的位置关系，掌握坐标系变换的方法通过实例让学生了解坐标系变换在空间几何中的应用第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离让学生理解空间两点间的距离公式，掌握如何计算空间两点间的距离通过实例让学生了解空间两点间距离在几何中的应用6.2 空间角度的计算让学生理解空间角度的计算方法，掌握如何计算空间角度通过实例让学生了解空间角度在几何中的应用第七章：向量及其应用7.1 向量的概念与表示方法让学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法通过实例让学生了解向量在空间几何中的应用7.2 向量的运算让学生掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘通过实例让学生了解向量运算在空间几何中的应用第八章：空间解析几何8.1 解析几何的基本概念让学生理解解析几何的基本概念，如参数方程、极坐标方程等通过实例让学生了解解析几何在空间几何中的应用8.2 解析几何与坐标系的转换让学生掌握如何将解析几何问题转换为坐标系问题，以及如何利用坐标系解决解析几何问题通过实例让学生了解解析几何与坐标系的转换在空间几何中的应用第九章：空间几何体的性质与判定9.1 空间几何体的性质让学生了解空间几何体的基本性质，如表面积、体积、对称性等通过实例让学生了解空间几何体的性质在几何中的应用9.2 空间几何体的判定让学生掌握如何判定空间几何体的类型，如球、圆柱、锥体等通过实例让学生了解空间几何体的判定在几何中的应用第十章：空间几何的综合应用10.1 空间几何问题的一般解决方法让学生掌握解决空间几何问题的基本方法，如分割、投影、对称等通过实例让学生了解空间几何问题的一般解决方法10.2 空间几何在实际问题中的应用让学生了解空间几何在实际问题中的应用，如建筑设计、物理学中的力学问题等通过实例让学生了解空间几何在实际问题中的应用重点和难点解析重点环节一：坐标系的概念与分类补充和说明：本环节需要重点关注坐标系的定义、各种坐标系的结构特点以及坐标系在几何图形中的应用。

极坐标运动学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。

极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。

相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。

在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。

通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。

极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。

本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。

我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。

然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。

接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。

最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。

通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。

这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。

本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。

通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。

1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。

包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。

通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。

1.2.3 探讨极坐标运动学的应用：本节将介绍一些重要的极坐标运动学的应用场景。

第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换® :«x x,(九＞0)的作用下,点卩区y)对应到点y i .y, — 0P x,/ ,称‘为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换2•极坐标系的概念(1)极坐标系MR如图(1)所示，在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点O引一条射线Ox,叫做极轴。

再选定一个长度单位一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景。

平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•(2)极坐标设M是平面内一点，极点。

与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为。

以极轴Od始边射线0M为终边的角• xOM叫做点M的极角，记为厂有序数对「门叫做点M的极坐标，记作M「门•一般地，不作特殊说明时，我们认为'_0户可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为0宀R。

和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定亍• 0,0 "：：^ ：：：2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标几二表示。

同时，极坐标匸户表示的点也是唯一确定的•3•极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 ,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图(2)所示:(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是x, y，极坐标是■^■-0，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(x, y )极坐标(P,8 )互化公式X = P cos 日y =Psi n 日2 . 2 尸=x十ytan& （x 式0 ）x在一般情况下，由tan v确定角时，可根据点M所在的象限最小正角曲线图形极坐标方程4•常见曲线的极坐标方程有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程「- V 点 『兀兀、fn n ］ f 兀 5兀］M —+2兀 或—2兀 或M.——,——［等多种形式14 4 丿 14 4 丿 （44丿p=e .二、参数方程 i •参数方程的概念「X = f （t ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 （x, y ）都是某个变数t 的函数丿①,并且对』= g （t ）于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M x ，y 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同 •所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ，只要求至少 叱引可以表示为「江 Ji 、，其中,只有M —［的极坐标满足方程14 4丿方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2•参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方 程. （2） 如果知道变数x, y 中的一个与参数t 的关系,例如x 二f t ，把它代入普通方程,求出另一个变数与参数值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标和参数方程1. 极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用距离和角度来确定点的位置。

与直角坐标系不同，极坐标系统以原点为中心，用一个非负数表示点到原点的距离，用一个角度表示点与正半轴的夹角。

1.1 极坐标的表示方式在极坐标中，一个点可以由两个值来表示：极径（r）和极角（θ）。

其中，极径是指从原点到点的直线距离，而极角是指从正半轴逆时针旋转到该直线所需要的角度。

通常情况下，我们将极径和极角用圆括号括起来，并以逗号分隔。

例如，(r, θ) 表示一个位于距离原点 r 的位置上，并与正半轴夹角为θ 的点。

1.2 极坐标与直角坐标之间的转换关系在直角坐标系中，我们使用 x 和 y 坐标来确定一个点的位置。

而在极坐标系中，我们使用 r 和θ 来确定一个点的位置。

两种坐标系之间存在着一定的转换关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos 和 sin 分别代表余弦和正弦函数。

2. 参数方程参数方程也是一种描述平面上点位置的方法，它使用一个参数来表示点的位置。

与直角坐标系和极坐标系不同，参数方程使用一个或多个参数来确定点的位置。

2.1 参数方程的表示方式在参数方程中，一个点的 x 坐标和 y 坐标分别用一个或多个参数来表示。

常见的参数有 t 和θ。

例如，对于一条曲线 C，我们可以用下面的参数方程来描述：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于 t 的函数。

通过给定不同的 t 值，我们可以得到曲线上不同位置的点。

2.2 参数方程与直角坐标之间的转换关系与极坐标类似，参数方程也可以与直角坐标系进行转换。

假设我们已知一个点在直角坐标系中的坐标 (x, y)，我们可以将其转换为参数方程：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) = xg(t) = y反过来，如果已知一个曲线 C 的参数方程为：x = f(t)y = g(t)我们可以将其转换为直角坐标系中的表示：x = f(t)y = g(t)3. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理中有着广泛的应用。