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《望庐山瀑布》探究学习方式案例广丰县商城小学徐昌水设计思路：《望庐山瀑布》是人教版小学第七册选编的一首李白的诗。
本诗描绘了庐山瀑布壮丽的景色，抒发了作者热爱祖国山河的感情。
实施效果：教材选编这首唐诗的主要意图，一是丰富学生古诗的积累，从唐诗的音韵和谐、用词精炼中受到熏陶感染，培养语感；二是通过理解诗歌内容，了解祖国山河壮丽，体会作者表达的思想感情。
那么，根据唐诗音韵和谐、用词精炼的特点，我认为为了贯彻落实“课标”倡导的新学习方法，可以采用“分步朗读、逐渐深入”的方法，由浅入深，从易到难，分散难点，各个击破，从而达到本课的学习目标。
技术应用：本案例中使用了平板电脑、苏格拉底软件教学过程：一、复习旧知，导入新课同学们，我们在三年级时学过一首古诗《夜宿山寺》（齐背），这首诗是谁写的？是抓住哪一个词来写的？通过这首诗的学习，你认为李白的诗有什么特点？（紧扣题眼，展开想象，且想象丰富，气魄雄伟）。
今天，我们再一次来领略一下诗人的这种浪漫风格。
二、紧扣题眼品词析句（一）抓住课题，引导发现：同学们能用“望”组词吗？（遥望、观望、仰望……）请同学们仔细读一读课题，想想你能发现什么？（二）学生自读课题，探索发现[发现一]：课题中的望就是远望的意思。
（或遥望……）[自主探学]：1、你能到课文中找出你的理由吗？2、自课课文，品味词句，找出理由。
可采用以下学习步骤：（1）读：读准字音，读通全诗。
（2）想：这首诗大致讲的是什么意思。
（3）找：找出相关词句。
（4）品：品味词句的意思。
3、交流评议：重点读通全诗，理解“遥看”的意思，大致说出诗人所看到的景象，整体感知古诗的内容。
[发现二]：诗人李白是到庐山游玩的。
（指导书写庐）[自主探学]：1、根据平时的课外积累说说庐山的情况。
2、再读课文想象庐山的特点。
3、观看庐山光碟，进一步感受庐山的情况。
（光碟中语：庐山在江西省九江市的南边，庐山山峰重叠，非常雄伟壮丽。
其中有一座山峰叫香炉峰，因为山上常有云雾笼罩，在阳光照耀下有紫色雾气升腾，像正在焚香的香炉一样，所以取名叫香炉峰）。
初中物理课程标准中的教学目标度分成认识、了解、理解、科学探究、掌握运用等几个层次。
而且物理课根据内容的不同，按内容来通常分为概念定理课，实验探究课，复习课等。
因此按课型的不同和内容层次的要求不同，总结归纳了以下三种教学目标分解法：层层递进分解法、各个击破分解法、类比推理分解法。
（一）层层递进法层层递进法就是把课程标准中的相关内容分成几个有递进性的问题，先从学生身边的物理现象开始讨论，到达到第一个小目标后就沿着更高的目标进行科学探究，稳步向前推进，最终达到学生掌握本节课的学习目标。
层层递进法特别要运用到难点内容的突破上，所谓的难点就是有很多很多的小知识点综合放在一起，学生一下子很难理解，但是通过每个知识点逐步深入学习，把难点通过分解的办法分散了，学习起来就容易很多了。
而且对学生学习物理的兴趣和物理学习方法的培养也是一个好的方法。
初中物理关键是培养学生的兴趣，培养研究物理的初步思维。
如果学生学会了用目标分解的方法去学习物理，对培养他的创新能力有很大的帮助。
逐层深入法多运用于新概念和新定理的学习。
例如：课程标准要求“了解内能的概念”。
首先要学生了解分子在不停的做运动，了解分子间会有力的作用。
然后逐层深入，引导学生得出运动的分子具有分子动能，受力的分子会有分子势能，从而引出分子的内能。
最后在深入学习所有分子的动能和分子势能之和就是物体的内能。
内能的概念是一个比较抽象的概念来的，但是经过逐层的深入分解，然难点分散了，理解起来也非常简单。
又如：新课程标准中要求“知道牛顿第一定律的内容”。
这个目标看起来就几十个字，但是学生理解起来还是有一定的难度的。
用层层递进的方法把“知道牛顿第一定律”分解为：1．为什么运动的物体为什么会停下来？引出亚里士多德的思考。
2．观察探究实验中小车的运动情况并进行推理，引出伽利略的观点。
3．知道牛顿第一定理的内容。
学生通过学习就可以把牛顿第一定理的内容和研究的思维方式都了解了。
比单一的死记硬背牛顿第一定理强多了。
分类转化分散难点各个击破――分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性。
2.分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
3.分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
二.典例精析例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga (1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。
（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。
难点突破七法尝试初中数学课堂教学难点是指在教学过程中，与学生已有的数学发展水平矛盾较突出的、在数学教材中所体现的教学目标和要求。
通俗来讲，课堂教学难点就是大部分学生在学习过程中难于理解和运用的知识点。
中学数学课堂教学难点内容往往蕴涵着丰富的教学功能，通常也是创设课堂教学高潮的重要环节，作为新课改浪潮下的教师，我们应视课堂教学难点为契机，认真研究难点内容、难点环节的知识结构，分析学生学习的实际情况巧妙进行教学方法的预设，充分利用难点激活课堂气氛，让学生经历感知、探究、分析、归纳、运用的过程，培养学生良好的数学思维能力、思维习惯。
基于此，我认为教学难点正是数学课堂的魅力所在。
采取适当方法突破数学课堂教学难点尤为重要。
下面就几种方法谈谈个人的看法，以供商榷。
一、预习先行，旧知铺垫“凡事预则立,不预则废。
”不论是杜郎口“三、三、六”自主学习模式，还是东庐中学的“讲学稿”，学生的自主预习都是必不可少的一个重要环节。
预习的过程是学生作为独立的个体，先入为主的学习过程。
通过预习，学生对教学内容初步进行了探索，什么地方已学懂，什么地方还不会，学生心中有数，听课时学生就能有效地把注意力集中在难以理解的知识点上，从而加强了听课的目的性。
从心理学的角度来讲，预习为学生上课打好了注意定向的基础；用教育学的角度来讲，带着问题上课，学生的求知欲望会更强烈，有利于变“被动学习”为“主动学习”。
故而于课堂知识难点的突破便有了很好的铺垫。
课前预习指上新课前利用较短的时间对学习内容进行学习。
课前预习是要把学生的行为引导到“最近发展区”，因而老师要精心布置课前预习,并为学生提供自学目标,学习知识重点，课前预习一般应做到以下二点：①复习、巩固与新课内容有关的旧知识、概念,以保证与新知识顺利衔接；②初步领会学习内容,找出划出自己预习中不懂的难点问题，标记疑惑，让学生并把不懂的问题记在预习本上，以便在课堂有针对性地听课。
二、创设情境，激发思维在数学课堂教学难点即将出现或者导入之前，创设一种情境，让学生在特定的氛围中展开积极的思维活动，激发探求欲望。
一、教学难点教学的难点是指学生不易理解的知识，或不易掌握的技能技巧。
难点不一定是重点。
也有些内容既是难点又是重点。
难点有时又要根据学生的实际水平来定，同样一个问题在不同班级里不同学生中，就不一定都是难点。
在一般情况下，使大多数学生感到困难的内容，教师要着力想出各种有效办法加以突破，否则不但这部分内容学生听不懂学不会，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困难。
二、如何有针对性地突破难点1.由于知识抽象造成的难点，要以形象、直观、实践的教学加以突破人的认识过程，是在实践活动中，从具体到抽象，从感性认识到理性认识。
有些理论性的知识，由于学生缺乏与之有关的感性认识，造成理解上的困难。
对这类难点，解决的办法有：（1）讲解时，多联系学生所熟悉的实际，用活生生的实例来讲解抽象的东西，或以形象的比喻方法进行讲解。
（2）运用板书、板画、挂图、模型、幻灯、录象、多媒体等直观教具进行讲解，为学生理解抽象知识创造条件。
（3）组织学生参观或现场教学，在实际体验的基础上讲清难以理解的抽象知识。
2.由于缺乏基础知识造成的难点，要以“以旧引新，以旧带新”的方法加以突破学生新知识的获得，必须是由浅入深，由近及远，由已知到未知，循序渐进。
如果学生对新知识课题缺乏必要的知识基础，就难以理解新知识。
有些已学过的知识，由于时间过长，应用不多，一时学生不知运用，这也是正常的。
此时教师应引导学生先回忆旧知识，然后再导入新知识。
3.由于对新知识过于生疏造成的难点，要以新的思维方式去突破有的知识，运用过去的思维逻辑很难理解，需要在认识上有个新飞跃，需要用新的思维方式来理解它。
教师要鼓励学生敢于“下水”，要创设一个合理的情境，让学生在解决问题的过程中去探索，使难点得以解决。
4.由于难点多难度大造成的难点，要采取化整为零、各个击破、分散难点的办法来解决。
对难点较多、难度较大的难点，可设计若干台阶，让学生一个一个地爬上去，最后使难点得以解决。
5.由于问题错综复杂造成的难点，要综合分析，化复杂为简单的加以突破。
如何突破难点？1.由于知识抽象造成的难点，要以形象、直观、实践的教学加以突破有些理论性的知识，由于学生缺乏与之有关的感性认识，造成理解上的困难。
对这类难点，解决的办法有：（1）讲解时，多联系学生所熟悉的实际，用活生生的实例来讲解抽象的东西，或以形象的比喻方法进行讲解。
（2）运用板书、板画、挂图、模型、幻灯、录象、多媒体等直观教具进行讲解，为学生理解抽象知识创造条件。
（3）组织学生参观或现场教学，在实际体验的基础上讲清难以理解的抽象知识。
2.由于缺乏基础知识造成的难点，要以“以旧引新，以旧带新”的方法加以突破学生新知识的获得，必须是由浅入深，由近及远，由已知到未知，循序渐进。
如果学生对新知识课题缺乏必要的知识基础，就难以理解新知识。
有些已学过的知识，由于时间过长，应用不多，一时学生不知运用，这也是正常的。
此时教师应引导学生先回忆旧知识，然后再导入新知识。
3.由于对新知识过于生疏造成的难点，要以新的思维方式去突破有的知识，运用过去的思维逻辑很难理解，需要在认识上有个新飞跃，需要用新的思维方式来理解它。
教师要鼓励学生敢于“下水”，要创设一个合理的情境，让学生在解决问题的过程中去探索，使难点得以解决。
4.由于难点多难度大造成的难点，要采取化整为零、各个击破、分散难点的办法来解决。
对难点较多、难度较大的难点，可设计若干台阶，让学生一个一个地爬上去，最后使难点得以解决。
5.由于问题错综复杂造成的难点，要综合分析，化复杂为简单的加以突破。
有的问题涉及到大量理论知识，牵扯的问题较多，需要同时综合地运用多种理论知识去分析解决。
先要细致地层层分析问题的复杂因素，然后再联系学生熟悉的知识，逐步将复杂的问题转化为几个简单而又基本的问题，这样学生就易于接受。
6.由于内容相近或相似易混淆造成的难点，要通过反复对比的方法加以突破有些内容相近或相似，容易使人混淆，使人误解。
解决的办法是新旧联系，反复对比，从分析比较中辨别正误。
初中英语课堂五步教学法社会生活的信息化和经济的全球化，使英语的重要性日益突出。
英语作为最重要的信息载体之一，已成为人类生活各个领域中使用最广泛的语言。
改革开放以来，我国的英语教育规模不断扩大，教育教学取得了显著的成就。
然而，英语教育的现状不能适应我国经济建设和社会发展的需要，与时代发展的要求还存在差距。
旧的英语课程过分重视语法和词汇知识的讲解与传授，忽视对学生实际语言运用能力的培养的倾向。
此次英语课程改革强调从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、合作与交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的综合运用能力，使语言学习的过程成为学生形成自主积极的情感态度、主动思维和大胆实际、提高跨文化意识和形成自主学习能力的过程。
同时新课标也指出基础教育阶段的任务是：激发和培养学生学习英语的兴趣，使学生树立自信心，养成良好的学习习惯和形成有效的学习策略，发展自主学习的能力和合作精神；使学生掌握一定的英语基础知识和听、说、读、写技能，形成一定的综合运用能力；培养学生的观察、记忆、思维、想象能力和创新精神；帮助了解世界和中西方文化的差异，拓展视野，培养爱国主义精神，形成健康的人生观，为他们的终身学习和发展打下良好的基础。
总目标是培养学生的综合语言运用能力。
综合语言运用能力的形成建立在学生语言技能、语言知识、情感态度、学习策略和文化意识等素养整体发展的基础上。
语言知识和语言技能是综合语言运用能力的基础，文化意识是得体运用语言的保证。
情感态度是影响学生学习和发展的重要因素，学习策略是提高学习效率、发展自主学习能力的保证。
这五个方面共同促进综合语言运用能力的形成。
通过对新编初中英语教材的学习和研究，不难看出新教材有以下的特点：1 、教科书的内容有利于提高学生的思想情感素质。
2 、教科书注重语言的使用。
提倡在理解的基础上习得语言，在用中学，积极地运用语言，而不是单纯地学习语言知识。
3 、教材内容的编排方式有利于学生自己进行归纳总结、举一反三，并有利于他们在语言运用中发现语言规律。
浅谈数学教学难点的认识及其怎样突破————广元市虎跳中学：吴从宗教学难点的认识：数学教学难点的产生与学生的认知结构有关，是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾而产生的。
所谓数学认知结构，就是“人们头脑中的数学知识(经验)按照自己的理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构”。
数学的学习过程就是原有的数学认知结构扩充、完善的过程或者说是把新知识纳入原有的数学认知结构，从而扩大原有数学认知结构的过程，对新知识进行加工，使之与原有认知结构相吻合。
当新知识不能同化于原有的数学认知结构时，就要改造数学认知结构，使新知识能适应这种结构的过程。
一般来说。
因为改造认知结构都比较困难，认知结构本身也有一种定势，定势的消极作用，阻碍认知的飞跃，如果新知识和原来的数学认知结构联系较少，从而就会造成学习新知识的困难，即形成教学难点。
在同一个学习过程中，由于学生个体的数学认知结构的差异，会出现遭遇难点或在突破难点的速度上的个别差异。
因此，同样一个问题，在不同班级的不同学生中，就不一定都是难点。
教学难点是我们教师教学中的难点，也更是很多学生学习的难点。
我们教师的教学效果也跟难点的处理是否得当有着密切的联系。
如果难点处理得当则学生的理解轻松，为学生的后续学习扫清了障碍。
从某种意义说我们的很多差生就是因为学习中的教学难点未突破，未理解，未掌握而造成的。
当然作为教师在教授难点时也难教，因为教师必须站在不同学生的不同认知结构的基础上带领他们来突破难点教学难点有两重性，一方面它可能成为学生学习上的分化点，另一方面又是学生智慧的开窍点。
因此，找准教学难点，花力气突破教学难点，既可以帮助学生克服畏难情绪，爱学数学，又可以引导学生不断完善其数学认知结构，会学数学，从整体上提高学生的数学素质与意识。
教学的难点正是数学的魅力所在，正是对学生进行积极训练的良好素材，正是发展学生思维能力和提高学生数学素养的大好时机。
各个击破法：实现时间集中内容集结1. 引言1.1 什么是各个击破法各个击破法是一种有效的时间管理方法，它的核心思想是将任务分解成小而具体的步骤，然后逐步完成这些步骤，以达成整体目标。
这种方法可以帮助我们更好地理清任务的逻辑关系，提高工作效率，避免任务过大而导致的拖延与焦虑。
通过将整体任务分解成小块，我们可以更容易地掌控任务的进度，更好地规划时间，提高工作的质量和效率。
各个击破法也有助于消除大任务带来的压力，让我们更加轻松地完成任务。
各个击破法还有助于增强工作的可持续性，避免疲劳情况下的不良决策。
通过分解任务，我们可以更好地控制工作量，保持专注度，避免过度疲劳和疲劳导致的工作效率下降。
各个击破法不仅可以提高工作效率，还有助于保持工作质量和工作状态的稳定。
在现代快节奏的工作环境中，各个击破法可以帮助我们更好地应对各种工作挑战，实现更好的工作表现。
1.2 为什么需要实现时间集中内容集结实现时间集中内容集结对于我们的生活和工作都是非常重要的。
时间是有限的资源，我们无法控制时间的流逝，但我们可以控制如何使用我们的时间。
通过实现时间集中内容集结，我们可以更有效地安排我们的时间，将精力集中在重要的事务上，提高工作效率，避免时间浪费。
内容集结可以帮助我们更好地管理信息，避免信息过载的情况发生。
当我们将信息集中在一起时，我们可以更容易地查找和使用这些信息，而不是让它们散落在各个地方，导致我们难以管理和利用。
实现时间集中内容集结还可以帮助我们更好地思考和决策。
当我们将相关的信息和事务集中在一起时，我们可以更容易地对这些信息进行分析和比较，从而做出更明智的决策。
时间集中内容集结也有助于我们提高注意力和专注力，让我们更容易进入状态，完成复杂的任务。
实现时间集中内容集结对于提高效率、管理信息、决策思考和提高专注力都具有重要意义。
我们需要努力学习和实践这种方法，以提升个人和工作生活质量。
2. 正文2.1 什么是各个击破法各个击破法是一种高效的时间管理技巧，通过将复杂的任务分解成小的部分，逐个攻克，最终完成整个任务的方法。
2018国家公务员考试行测备考技巧：利用“分类分步”思想解决行测排列组合问题分类分步思想，是分类讨论思想与分步讨论思想的总称，其不仅仅是行测考试当中需要重点掌握的思想之一，也是我们日常生活中的一种常用思想。
分类讨论思想具体指，在集合A上讨论某一数学问题时，可以根据某个标准P，把A划分为互斥子类的并集，并将所讨论的问题转换为在的并集上讨论的一种思想。
即为了解题将问题划分为几种情况，使条件具体化，使难点分散;对每种情况分别讨论，各个击破;最后归纳概括，使整个问题获解。
比如说，当大家想要成为公务员的时候就会考虑有哪几种方法可以实现我们的目标，可以通过考录的形式，也可以通过选任、聘任、调任、军转安置等形式，这就是对解决问题的方法进行了分类。
而有时在讨论某一数学问题B时，可以根据内部规律P，把B划分为总共n个步骤，只有逐一并全部完成时所讨论的问题B才能完成。
这种将对问题B的讨论转化为对的讨论的思想即为分步讨论思想。
即把解题的过程分化成有序的几个步骤，第一步实现问题的部分中间状态，顺次实现所有的中间状态，从而获得问题的最终解决。
例如，当我们最终选择了通过考录的形式成为公务员时，接下来就要考虑第一步应该参加笔试，第二步应该参加面试，第三步应该参加体检……，最终就能够达成我们成为公务员的目标。
分类分步思想对于行测考试来讲更是一种极为重要的解题思想，无论是言语问题、逻辑问题还是资料分析问题在分类分步思想的指导下都可以迎刃而解，它几乎可以说是贯穿整个行测考试的一种重要思想。
特别是在数学运算中，用分类分步的思想来解决让众多考生“望而生畏”的排列组合等问题，可以说是又“快”又“准”!在求方法数的问题中，即当题目的问法出现“有多少种不同的选择方案”、“有多少种不同的分配方式”、“有多少种不同的组合情况”等字眼时，通常需要采取分类分步的思想来解决问题，此时需要注意的是分类思想用加法计数原理，分步思想用乘法计数原理。
例1：有两个三口之家一起出行去旅游，他们被安排坐在两排相对的座位上，其中一排有3个座位，另一排有4个座位。
分类转化分散难点各个击破――分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性。
2.分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
3.分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
二.典例精析例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga (1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。
（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。
解：∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1①当0<a<1时，loga (1－x)>0，loga(1＋x)<0，所以|loga (1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)>0;② 当a>1时，log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x) －log a (1＋x)＝－log a (1－x 2)>0；由①、②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|。
反思提高：1.本题要求对对数函数y ＝log a x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。
去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性；2.我们既要善于分类（有时还必须会主动地去进行分类），又要在不少问题上学会避免分类，在此题上我们就巧妙避开了对绝对值去除的分类讨论。
例2.已知a ＞0,函数a x ax x F --=)(.若)(x F 在),0(+∞上有最大值,求a 的取值范围.分析与简解：去掉绝对值得由a ＞0,1+a ＞0知)(x F 在),0(a 上单增;1-a 有正有负,因此应 以1为分类标准.①a ＞1时,)(x F 在),0(+∞上单增,无最大值;②1=a 时,)(x F 的最大值1)(==a F ;③0＜a ＜1时,)(x F 在),0(a 单调递增,在),(+∞a 上单调递减.∴)(x F 的最大值2)(a a F ==.综上可知,当]1,0(∈a 时,)(x F 在),0(+∞上有最大值.反思提炼：确定分类标准是关键，不重不漏是要点！例3. 设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围。
思维启动点：含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的位置关系进行分类讨论，最后综合得解。
解：当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a∴ 111220a f a ≤＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f a a ()＝ 或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪∴ a ≥1或12<a<1或φ 即 a>12； 当a<0时，f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ；(1-a )a x + ),[+∞∈a x (1+a )a x - ),0(a x ∈)(x F =当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a>12。
反思提炼：本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。
本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。
例4. 解不等式()()x a x aa+-+4621>0 (a为常数，a≠－12)思维启动点：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－12<a<0、a<－12分别加以讨论。
解：∵ 2a＋1>0时，a>－12；－4a<6a时，a>0 。
所以分以下四种情况讨论：①当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；②当a＝0时，x2>0，解得：x≠0；③当－12<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；④当a>－12时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。
综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－12<a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－12时，6a<x<－4a 。
反思提炼：一道简单不等式一旦将一个数字系数改为字母参数，可能就会变得很复杂，这也是高考中参考不衰的问题。
本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。
一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论。
一些问题必须对它们进行分类才能得到解决，而一些问题的解决本无须对它们分类，但这样处理起来却比较困难，此时我们可以人为地将它划分类别，把整体分为若干局部，分散难点，然后各个击破．．．．．．．．．．．，最终求得问题的整体解决。
这是一种具有哲学意义的策略思想。
从以下例子可看出，对分类思想的这一种主动应用是必要的且是行之有效的。
例5 对实函数f(x) = x6– x5 + x4- x3 + x2 – x +1，求证：f(x) 的值恒为正数。
思维启动点：将f(x) 的表达式分解因式，虽可证得结论但较难，分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。
证明：①当x ≤0时∵x5 - x3- x ≥0 ，∴f(x)≥1恒成立；②当0 < x <1时f(x) = x6 + ( x4–x5 ) + ( x2– x3 ) + ( x – 1)∵x4 > x5 , x2 > x3 , 1> x∴f(x) > 0 成立；③当x = 1 时, f(x) = 1 > 0 成立；④当x >1时f(x) = ( x6– x5 ) + ( x4– x3 ) + ( x2– x ) + 1∵x6 > x5 , x4 > x3 , x2 > x∴ f(x) > 1成立综上可知，f(x) > 0 成立。
反思提炼：此题通过主动分类，分散了难点，在各类下问题的解决变得很简单，是很值得我们学习的一种好方法。
例6 一个定义在有理数集合Q 上的函数f(x) ，对一切x , y ∈Q 都有f(x+y)=f(x)+f(y). 求证：对任意x ∈Q , f(x) = x ·f(x) .（此题适合高二年级以上同学学习）思维启动点；直接求证很难，考虑到当m ,n 为互质整数( m ≠ 0 )时，n/m ∈Q ,故可将x 试分为n ( n ∈N )、0与- n 、1/n ( m ∈N )及n/m 几类，从而分散难点、降低难度，分别求解。
证明：第一步，证明结论对一切 x ∈N 成立①当x = 1时，f(x) =1·f(1)成立；②设x = k ( k ∈N )时结论成立，则当x = k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)=k ·f(1)+f(1)结论也成立；第二步，证明结论对零和负整数成立∵ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) , ∴ f(0)=0·f(1)又∵ f(n)+f(-n)=f[n+(-n)]=f(0)=0 ,∴ f(-n)=-f(n)=-n ·f(1)，结论成立；第三步，证明当x =1/n （n ∈N ）时结论成立∵ f(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=f(n 1)+f(n 1)+… +f(n 1)=n ·f(n1)n 个 n 个 ∴ f(n 1) = (n1) ·f(1) 同时由f(n 1) + f(-n 1) = f(0) 有 f(-n 1)=(-n 1) ·f(1) 结论成立；第四步，证明结论对一切有理数成立设m ∈N 、n ∈Z,且n ≠0,对任意有理数mn f(m n )=f(n 1+n 1+ … +n 1)=m ·f(n1)=m n ·f(1) 即结论对一切有理数成立。
反思提炼此题的求解从对变量的巧妙划分到各个局部的解决充满了数学的策略和美。
尤其是在这样的划分下，一个变量是非自然数的命题居然主要由数学归纳法获得解决！这是通过解决此问题而得到的另一收获。
例7 平面内k 个整点（横纵坐标都是整数的点）两两相连得若干条线段，若要保证其中至少一条线段的中点也是整点，k 的最小值是多少？解 由中点坐标公式X =2x -x 21 知：只有当 X 1、X 2同奇偶性时，x 才会是整数。
